โจทย์สพฐ. รอบ2 2555

[Euler-Fermat]

21. ให้
$A = \sqrt[3]{x} , B = \sqrt[3]{20-x}$

ได้ว่า $A+B = 2$

$\therefore A^3+B^3 = 20$

$(A+B)^3-3AB(A+B) = 20$

$8-6AB = 20 $

$AB = -2 $

$\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{20-x} = -2$

$x(20-x) = -8$

$20x-x^2=-8$

$x^2-20x-8 = 0$

$\alpha$ และ $\beta$ เป็นคำตอบของสมการ

$\therefore \alpha+\beta = 20$

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

21.$(\sqrt[3]{x})^3+(\sqrt[3]{20-x} )^3=20$
$(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{20-x}) )(\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{x^2(20-x)^2} +\sqrt[3]{(20-x)^2} )=20$
$(\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{x^2(20-x)^2} +\sqrt[3]{(20-x)^2} )=10$.......(1)
$(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{20-x})^2=4$
$\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x^2(20-x)^2} +\sqrt[3]{(20-x)^2} =4 $..........(2)
(2)-(1)
$3\sqrt[3]{x^2(20-x)^2}=-6$
$\sqrt[3]{x^2(20-x)^2}=-2$
$x^2(20-x)^2+8=0$
$x^2(400-40x+x^2)+8=0$
$x^4-40x^3+400x^2+8=0$
รากคำตอบไเป็นจำนวนเชิงซ้อนทั้งสี่ค่า ไม่รู้ว่าผมทำอะไรผิดหรือเปล่า เดี๋ยวขอเช็ควิธีทำในกระดาษอีกที

$(\sqrt[3]{x^2}-$$\sqrt[3]{x^2(20-x)^2}$$ +\sqrt[3]{(20-x)^2} )=10$.......(1)

$\sqrt[3]{x^2}+$$2\sqrt[3]{x^2(20-x)^2}$ $+\sqrt[3]{(20-x)^2} =4 $..........(2)

ผมว่าตรงสีแดงมันแปลกๆครับ ผมอาจจะจำสูตรผิดนะครับ ผมยิ่งเมาๆอยู่

[กิตติ]

ผมเมาเองครับ ในวงเล็บในรูทต้องเป็นกำลังหนึ่ง
แก้แล้วครับ

[Euler-Fermat]

13. $\sqrt{x^2-3\sqrt{2}x+9}+\sqrt{x^2-4\sqrt{2}x+16} = 5$

ให้ $a = \sqrt{x^2-3\sqrt{2}x+9}, b = \sqrt{x^2-4\sqrt{2}x+16}$

$a^2-b^2 = \sqrt{2}x-7$

$a+b = 5$ ได้ $a-b = \frac{\sqrt{2}x-7}{5}$

จะได้ $10a = \sqrt{2}{x}+18 $

$10\sqrt{x^2-3\sqrt{2}x+9} = \sqrt{2}x+18$

$100x^2-300\sqrt{2}x+900 = 2x^2+36\sqrt{2}x+324$

$98x^2 - 336\sqrt{2}x+576 = 0 $

$x^2 - \frac{24\sqrt{2}}{7}x+\frac{576}{98} = 0 $

$(x-\frac{12\sqrt{2}}{7})^2 = 0 $

$\therefore x = \frac{12\sqrt{2}}{7}$

ได้ $7x^2 - 5\sqrt{2}x+3 = 7(\frac{288}{49})-5\sqrt{2}(\frac{12\sqrt{2}}{7})+3 = 27$

[Euler-Fermat]

17. $\sqrt{\sqrt{3}-x} = x\sqrt{\sqrt{3}+x}$

$\sqrt{3}-x = x^2(\sqrt{3}+x)$

$\sqrt{3}-x = \sqrt{3}x^2+x^3.......(1)$

นำ $3\sqrt{3}$ คูณตลอด $(1)$

ได้ $9-3\sqrt{3}x = 9x^2+3\sqrt{3}x^3$

บวกด้วย $3\sqrt{3}x+1$ ตลอดสมการ

ได้ $10 = 1+3\sqrt{3}x+9x^2+3\sqrt{3}x^3 = (1+\sqrt{3}x)^3$

$\therefore (\sqrt{3}x+1)^3 = 10$

[artty60]

$A\hat DB=140-2a$

$2b+140-2a=180\Rightarrow b-a=20.....(1)$

$b=a+x$ แทนค่าในสมการ (1) จะได้ $x=20 \therefore A\hat BE=20^{\circ} $

[artty60]

อีกวิธีคิดของข้อ2

มี2กรณี

1.มี2และ3อย่างละตัว อีก1หลักก็จะเหลือให้ใส่ได้ 8ตัว แต่ละจำนวนซึ่งไม่มีตัวซ้ำจะสลับได้ $3!=6$
ยกเว้น0 เป็นหลักร้อยไม่ได้ ดังนั้นจะสร้างได้ทั้งหมด $(7\times6)+(1\times 4)=46$ วิธี

2.มีซ้ำ 2หรือ3 อีก 1ตัว ดังนั้น1 ช่องที่เหลือ ตัวเลขที่จะนำมาใส่ได้คือ2หรือ3 จะได้สร้างได้ $\frac{3!}{2!}\times 2=6$ วิธี

ตอบ 46+6= 52 วิธี

[artty60]

อ้าว! นี่มันรอบ2ของปีก่อนนี่นานึกว่าล่าสุด

[Euler-Fermat]

30.
$\sqrt{n+12\sqrt{5}}-\sqrt{n-12\sqrt{5}} $

$\sqrt{n+2\sqrt{180}}-\sqrt{n-2\sqrt{180}}$

ตัวประกอบของ $180 = 1,2,3,4,5,6,9,10,12,15,18,20,30,36,45,60,90,180$

$\therefore n = 181,49,29$ ที่ทำให้ $\sqrt{n+12\sqrt{5}}-\sqrt{n-12\sqrt{5}}$ เป็นจำนวนเต็ม

ผลรวม ของ $n = 259 $

[Euler-Fermat]

10. ให้ จำนวนคี่ สามจำนวนคือ $x-2 , x , x+2$

ผลบวกกำลังสองของแต่ละจำนวนคือ $x^2-4x+4+x^2+x^2+4x+4 = 3x^2+8 $

เท่ากับเลข 4 หลักที่เหมือนกันหมด คือ $\overline{aaaa}$

$3x^2+8 = 1111(a)$

$1111(a) \equiv a \equiv 2 (mod 3) $

therefore $a = 2,5,8$

$\therefore$ จำนวน $4$ หลัก คือ $5555$ เท่านั้น ที่ใช้ได้

[ปากกาเซียน]

$21.a+b=2, a^3+b^3=20 ได้ a^2-ab+b^2=10 จาก a^2+2ab+b^2=4 ได้ 3ab=-6, ab=-2 ดังนั้น$ $a+\frac{-2}{a}=2 ,a^2-2=2a ,a=1\pm \sqrt{3}, \alpha +\beta =20 $

[ปากกาเซียน]

$17.จัดรูปได้ (x+\frac{1}{\sqrt{3} } )=\sqrt{3} +\frac{1}{3\sqrt{3} } $
$ดังนั้น (\sqrt{3}x+1 )^3=10$

[ปากกาเซียน]

$4.a+b+c=7,\frac{1}{a+b} +\frac{1}{b+c} +\frac{1}{c+a}=0.7 นำ2สมการมาคูณกันแล้วลบ3จะได้คำตอบ
1.9$

[Euler-Fermat]

19.
$A(a,b) , B(c,d)$

$AB$ มีจุดศูนย์กลางคือ จุด $(0,0)$

$\therefore \dfrac{a+c}{2} = 0 ,\dfrac{b+d}{2} = 0$

ได้ $a = -c , b = -d$

ดังนั้นได้ว่า $b = 3a^2+2012a-3$

$d = 3c^2+2012c-3 = 3a^2-2012a-3$

$3a^2+2012a-3 = -3a^2+2012a+3$

$6a^2 = 6$

$a^2 = 1$

$a = 1,-1$ แต่ $A$ อยู่ในควอดรันต์ $1$

$\therefore A(1,2012)$

ได้ $a+b = 2013$

[Euler-Fermat]

14.$n(S) = 3^5$

$n(E) = \dfrac{5!}{2!2!} = 30$

$P(E) = a = \dfrac{30}{243} $

$\therefore \dfrac{10}{a} = 81$

20.$n(S) = 3^{12}$

$n(E) = 3^{12} - (8*3^{10})$

$P(E) = P = \dfrac{3^{12}-(8*3^{10})}{3^{12}} = \dfrac{3^{10}}{3^{12}} = \dfrac{1}{9}$

$\therefore 144P = 144*\dfrac{1}{9} = 16$