ขอถามเรื่อง เรียงสับเปลี่ยน 1 ข้อครับ

Walk_on · #1 27 สิงหาคม 2009, 10:48

มี สี ต่างๆกันอยู่ 5 สี ถ้าต้องการทาสีลูกบาศก์ ให้ครบทุกด้าน โดยต้องใช้ให้ครบ 5 สี โดยห้ามให้สีเหมือนกันอยู่ติดกันจะทำได้กี่วิธี

ผมคิดได้ 360 แต่วิธีคิดดูหลวมๆ แล้ว ไม่แน่ใจว่าจะถูกหรือเปล่า ขอผู้รู้มาชี้แจงทีครับ

และอีกคำถามหนึ่งเป็นคำถามที่ผมค้างคาใจมานานมากแล้ว คือ

มีนักเรียนอยู่ 9 คน แบ่งเป็น ชาย 4 คน หญิง 5 คน จะเลือกคนมาทำเวร 3 คน โดยที่ต้องมีชายอย่างน้อย 1 คน

โจทย์ข้อนี้จะพบเห็นได้ทั่วไป โดยวิธีที่คนส่วนใหญ่นิยมใช้คือ การย้อนกลับ
โดย นำ 9c3 - 5c2 = 84 - 10 = 74
คือเอา ทั้งหมด ลบ กับ ญ 3 คน ก็จะได้คำตอบ
บางคนใช้โดยวิธีตรง
คือ นำ (4c1)(5c2)+(4c2)(5c1)+(4c3) = 40 + 30 + 4 = 74 เช่นเดียวกัน

แต่ที่ผมสงสัยคือ ในสมัยก่อน ผมเคยคิดว่า การมีชายอยางน้อย 1 คน คือการเลือกชายมาก่อน 1 คน
โดย (4c1) แล้วนำชายที่ไม่ถูกเลือก ไปรวมกับหยิงที่เหลือ แล้ว เลือกมาอีก 2 คน คือ (8c2)
แต่ (4c1)(8c2) = 112
คำตอบกลับ ไม่เท่ากัน จนถึงเวลานี้ผมเป็นครู ก็สอน 2 วิธีบนให้นักเรียนไป แต่พอมีเด็กมาถามว่า ทำไมทำแบบนี้ไม่ได้ ผมก็ไม่สามารถให้คำตอบที่ชัดเจนได้ครับ ผู้รู้โปรดชี้แจงทีครับ

* ขออภัยนะครับ พิมพ์คอมพ์โรงเรียน จึงไม่มี LATEX ครับ (ห้ามดาวน์โหลด -*-)

แมวสามสี · #2 27 สิงหาคม 2009, 14:26

สี ต่างๆกันอยู่ 5 สี ถ้าต้องการทาสีลูกบาศก์ ให้ครบทุกด้าน โดยต้องใช้ให้ครบ 5 สี

โดยห้ามให้สีเหมือนกันอยู่ติดกัน ผมคิดแบบนี้ครับ

เป็นลูกบาศก์แสดงว่าทุกหน้าเหมือนกัน

เลือกสี 1 สี จาก 5 สี เพื่อทาด้านตรงข้ามกันได้ $ \binom{5}{1} = 5$ วิธี

อีก 4 สี ที่เหลือจัดเรียงแบบวงกลม 3 มิติ ได้ $\frac{(4-1)!}{2} =3$ วิธี

จำนวนวิธี $ 5\times 3 =15 $ วิธี

อีกคำถาม

สมมุติให้ ผู้ชาย 4 คนคือ $ a,b,c,d$ ผู้หญิง 5 คน คือ $v,w,x,y,z$

ตอน $\binom{4}{1} $ เราจะเลือกได้ $a$ หรือ $b$ หรือ $c$ หรือ $d$ มา 1 คน

กรณีที่คนแรกเป็น $a$ แล้วเลือกอีก 2 คนหลังไ้ด้ $b$ กับ $c$

กับกรณีที่คนแรกเป็น $b$ แล้วเลือกอีก 2 คนหลังไ้ด้ $a$ กับ $c$ จะเกิดขึ้นได้และเป็นกรณีที่ซ้ำกันครับ

(จะสมมุติ ผู้หญิงมาทำไมเนี่ย อิ อิ)

gon · #3 27 สิงหาคม 2009, 15:26

ผมเห็นด้วยกับคำตอบและวิธีคิดของคุณแมวสามสีทั้งข้อลูกบาศก์และคำอธิบายข้อหลังครับ

(ถ้าจำไม่ผิดเป็นโจทย์สมาคมปี 25xx)

สำหรับผู้ชายนั้นเลือกกันคนละครั้ง ดังนั้นสำหรับผู้ชายจะเป็นการเรียงสับเปลี่ยนไม่ใช่การจัดหมู่ ลำดับก่อนหลังถือว่าต่างกัน

ที่ต้องระมัดระวังอีกจุดหนึ่งก็คือในส่วนของเรื่องความน่าจะเป็น บางคนเข้าใจคลาดเคลื่อน ตอนหา n(E) ไปหาแบบเรียงสับเปลี่ยน ส่วนตอนหา n(S) ไปคิดว่าเป็นการจัดหมู่ พอนำมาหารกันก็จะไมุุ่ถูกต้อง ถ้าจะคิดว่าเรียงสับเปลี่ยนก็ต้องเรียงสับเปลี่ยนทั้งคู่ หรือ ถ้าคิดว่าจัดหมู่ก็ต้องจัดหมู่ทั้งคู่

Walk_on · #4 27 สิงหาคม 2009, 19:34

โฮ้ ขอบคุณมากครับ ข้อ 2 ผมกระจ่างมาก แต่ว่าข้อ 1 ข้อแบบนี้ผมว่ามันแล้วแต่คนคิดมากเลยนะครับ แต่เรื่องจัดวงกลมผมเห็นด้วย ผมพลาดตรงนี้ไป
แต่ การเลือกสีมาทาด้านตรงข้ามกัน 5 สีนั้น เราสามารถ เลือกทาตรงข้ามกันได้ 3 คู่ไม่ใช่หรือครับ ผมเลย คูณ 3 เข้าไปอีกทีด้วย
เลยได้เป็น (5)(3)(4-1)! = 90

เอ้อ ขอถามอีกอย่างครับ ทำไม วงกลม สามมิติ จึงต้อง หาร 2 ด้วยครับ พอจะชี้แจงได้ไหมครับ
ขอบคุณสำหรับคำตอบครับ

แมวสามสี · #5 27 สิงหาคม 2009, 23:26

เนื่องจากลูกบาศก์มีทั้งหมด 6 หน้า แต่มีสีเพียง 5 สี ดังนั้นต้องมี 1 สีที่ต้องทา 2 หน้าที่ตรงกันข้ามกัน ตรงนี้จึงเลือกได้ 5 วิธี
ทีนี้จะเหลือสี 4 สี สำหรับทา 4 หน้า จึงไม่ต้องเลือกสีอีก ขั้นตอนนี้จึงได้$\frac{(4-1)!}{2}$ วิธีครับ
เหตุที่ต้องหารสองเพราะ สามมิติเราสามารถพลิกมองด้านบน-ล่างได้ ทำให้เกิดวิธีที่ซ้ำกันครับ