โจทย์ให้พิสูจน์ค่ะ ช่วยทีนะ

[Ding Dong]

ไม่รู้จะพิสูจน์ไงดี ก็เลยคูณแบบถึกๆ
(1-w₁)(1-w₂)(1-w₃)(1-w₄)
= 1 - w₂ - w₁ + w₁w₂ - w₃ + w₂w₃ + w₁w₃ - w₁w₂w₃ - w₄ + w₂w₄ + w₁w₄ - w₁w₂w₄ + w₃w₄ - w₂w₃w₄ - w₁w₃w₄ + w₁w₂w₃w₄
= 4 - w₁ - w₂ - w₃ - w₄
เนื่องจาก w₁w₂ - w₃=o , w₂w₃=1 , w₁w₃ - w₄=0 , - w₁w₂w₃ + w₂w₄=0 , w₁w₄=1 , - w₁w₂w₄ + w₃w₄=0 , - w₂w₃w₄= - w₄ ,
- w₁w₃w₄= - w₃ , w₁w₂w₃w₄=1
แต่พอทำมาถึงเท่านี้ก็หยุดกึกทำต่อไม่เป็น เพราะไม่รู้ว่า - w₁ - w₂ - w₃ - w₄ หาได้ยังไง
ใครรู้ช่วยตอบที
หรือถ้ามีวิธีอื่นดีๆก็มาพิสูจน์ให้ดูหน่อยนะ

[M@gpie]

วิธีที่คุณ Ding Dong ทำมานั้นเกือบเสร็จแล้วครับ
ขออนุญาต ยกยอดจากที่คุณ Ding Dong ทำไว้ (คิดว่าถูกนะครับ) นั่นคือ
\( (1- \omega _1)(1-\omega _2)(1-\omega _3)(1-\omega _4) = 4 - (\omega_1 + \omega_2 + \omega_3 + \omega_4) \)
ส่วนค่าที่ต้องการคือ \( \omega_1 + \omega_2 + \omega_3 + \omega_4 \) หาได้จากการแก้สมการ \( x^5 = 1 \) ครับ
ซึ่งโดยผลบวกของรากจะได้ว่า \( 1 + \omega_1 + \omega_2 + \omega_3 + \omega_4 = 0 \)
ดังนั้น \( \omega_1 + \omega_2 + \omega_3 + \omega_4 = -1 \)
แทนค่ากลับไปก็จะได้ คำตอบตามต้องการ
วิธีการคิด ตรงกับบทความเรื่อง รากที่ n ของ 1 ในหน้าหลักของเวบ นะคร้าบ ลองศึกษาเพิ่มเติมได้

[nooonuii]

\[ \Large{ \text{ It is well-known that } \omega_{1},\omega_{2},\omega_{3},\omega_{4} \text{ are fifth roots of unity(because their fifth power are all equal to 1).} } \]
Thus \[ \Large{ (z-1)(z^4 + z^3 + z^2 + z + 1) = z^5 - 1 = (z-1)(z-\omega_{1})(z-\omega_{2})(z-\omega_{3})(z-\omega_{4}) } \]
and hence
\[ \Large{ (z-\omega_{1})(z-\omega_{2})(z-\omega_{3})(z-\omega_{4}) = z^4 + z^3 + z^2 + z + 1. } \] The result follows by letting z=1.