ขาหลังข้างซ้ายของแมลงสาบสมัยหิน

[Switchgear]

มาแล้วครับข้อสอบชุดที่ 3 หลังจากทิ้งช่วงไปนาน ... หวังว่าคงถูกใจผู้อ่านทุกคน


PROBLEM PAPERS 3

1. $A$ is the centre of a circle, and $B$ is any point outside it. $BC$ is a straight line drawn from $B$ to cut the circle at $C$, and $BD, BE$ are the tangents from $B$. Through $C$ a straight line is drawn perpendicular to $BC$ to cut $AD$ in $T$, and $AE$ in $U$. Prove that $AB$ is a mean proportional between $AT$ and $AU$.

2. $PGQ$ is a chord of a parabola meeting the axis in $G$. Prove that the distance of $G$ from the vertex, the ordinates of $P$ and $Q$ and the latus-rectum are proportionals.

3. Shew that the coefficient of $x^{n-2}$ in the expansion of $(1-\frac34x)^{-\frac{11}3}$ is
$$\frac{2\cdot5\cdot8...(3n+2)}{5\cdot4^n\cdot(n-2)!}.$$

4. Shew that the $42^{nd}$ power of any number which is not a multiple of $7$ is of the form $49m + 1$.

5. Prove that the ratio of the area of the triangle formed by the points of contact of the inscribed circle of a triangle $ABC$ to the area of $ABC$ is half the ratio of the radii of the inscribed and circumscribed circles of the triangle $ABC$.

6. Find approximately, by a graphical method, the circular measure of the acute angle which satisfies the equation $\cot x = 4x$.

7. Shew that the locus of the poles of tangents to the circle $x^2+y^2 = a^2$ with respect to the circle $x^2 + y^2 = 2bx$ is the conic
$$(a^2-b^2)x^2 + a^2y^2 - 2a^2bx + a^2b^2 = 0.$$

8. If tangents be drawn from points on the line $x = c$ to the parabola $y^2 = 4ax$, shew that the locus of the intersection of the corresponding normals is the parabola
$$ay^2 = c^2(x+c-2a).$$

9. Tangents are drawn from anv point on $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 4$ to $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$: prove that they form with their chord of contact a triangle whose centroid is on the latter conic.

10. The faces $AB, AC$ of a fixed triangular wedge make angles $\beta, \gamma$ with the horizon. Equal weights connected by a string which passes without friction over the vertex $A$ rest on the faces, the one weight being just on the point of moving up, the other of moving down. Shew that $\mu = \tan\frac12(\beta-\gamma)$, where $\mu$ is the coefficient of friction for either weight.

11. If the radii of a wheel and axle are $1$ ft. and $3$ in., and the suspended weights are $1$ lb., $3$ Ib. respectively, prove that the heavier weight will ascend with acceleration $\frac1{19}g$, the inertia of the machine being neglected.

12. It is required to throw a projectile from a given point below a given plane whose inclination to the horizon is $\alpha$, so as to strike the plane. Shew that the velocity of projection must exceed $(2gc \cos \alpha)^{\frac12}$, where $c$ is the distance of the point from the plane.


จบข้อสอบชุดนี้แล้ว ... ใครคิดออกก็ลองโพสต์ได้เลยครับ

[passer-by]

geometry ข้อ 1 ผมว่าโจทย์มันแปลกๆนะครับ และที่่สำคัญ D คือจุดไหนครับเนี่ี่ย

ส่วนข้อ 5

ให้ $ D,E,F$ เป็น point of contact บนด้าน $ AB, AC ,BC$ ตามลำดับ

ดังนั้น $ AD=AE = a \,\, , BD=BF = b \,\, , CF=CE = c $

ต้องการพิสูจน์ว่า $ \frac{\bigtriangleup DEF }{\bigtriangleup ABC } =\frac{r}{2R} $

โดยทฤษฎีบทเกี่ยวกับคอร์ดและเส้นสัมผัส สามารถแสดงได้โดยง่ายว่า $ \hat D = 90^{\circ}-\frac{C}{2} \,\, , \hat E = 90^{\circ}-\frac{B}{2} \,\, ,\hat F = 90^{\circ}-\frac{A}{2}$

และจาก law of cosine พบว่า $ DE = 2a \sin \frac{A}{2} \,\, , EF= 2c \sin \frac{C}{2}\,\, , DF = 2b \sin \frac{B}{2} $

ดังนั้น $ LHS= \frac{2ab \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}}{\frac{1}{2}(a+b)(a+c) \sin A}=\frac{2ab}{(a+b)(a+c)}\cdot \frac{1}{1+\tan \frac{C}{2} \cot \frac{B}{2}}=\frac{2abc}{(a+b)(a+c)(b+c)} $

ขณะเดียวกัน โดย Heron's formula และ law of sine จะได้ $ r = \sqrt{\frac{abc}{a+b+c}} $ และ $ R= \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{4 \sqrt{abc(a+b+c)}} $

และทำให้ $ RHS= \frac{r}{2R} = \frac{2abc}{(a+b)(a+c)(b+c)} $

[nongtum]

ผมคิดว่าข้อแรก $BC$ อยู่่ระหว่างเสันสัมผัส $BD$ และ $BE$ ครับ รบกวนคุณ Switchgear เช็คโจทย์ด้วยครับ

ส่วนข้อสี่ผมมีแนวคิดคร่าวๆดังนี้ครับ

เราจะแสดงว่าสำหรับจำนวนเต็ม $n$ ที่ $7\not\vert n$ จะได้ว่า $n^{42}\equiv1\pmod{49}$
ให้ $n=7q+r,\ 0<r<7$ กระจาย $n^{42}$ จะพบว่าเศษที่ได้จากการหารด้วย 49 จะขึ้นอยู่กับ $r^{42}$ เท่านั้น
หาก $49\vert r^{42}-1$ ไล่เช็คตามเศษจะพบว่า $7\vert r^{21}-1$ หรือ $7\vert r^{21}+1$ อย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น
จึงเหลือแต่กา่รตรวจสอบในแต่ละกรณีว่า $49\vert r^{21}-1$ หรือ $49\vert r^{21}+1$ ซึ่งเราสามารถแสดงแต่ละกรณีด้านล่างได้ง่ายๆ
$r=1:\quad7\vert r-1\quad\wedge\quad7\vert(r^{21}-1)/(r-1)$
$r=2:\quad7\vert r^3-1\quad\wedge\quad7\vert(r^{21}-1)/(r^3-1)$
$r=3:\quad7\vert r^3+1\quad\wedge\quad7\vert(r^{21}+1)/(r^3+1)$
$r=4:\quad7\vert r^3-1\quad\wedge\quad7\vert(r^{21}-1)/(r^3-1)$
$r=5:\quad7\vert r^3+1\quad\wedge\quad7\vert(r^{21}+1)/(r^3+1)$
$r=6:\quad7\vert r+1\quad\wedge\quad7\vert(r^{21}+1)/(r+1)$
เมื่อแสดงได้ครบก็จบการพิสูจน์ครับ

[Switchgear]

ขอบคุณคุณ passer-by และคุณ nongtum มากครับที่ช่วยแจ้งแก้ไขโจทย์ข้อ 1
ผมเช็คและแก้ไขแล้ว (เป็นไปอย่างที่คุณ nongtum แนะนำ)

ใครพบข้อสงสัย แจ้งได้เต็มที่ครับ เพราะผมรีบๆ ก็มีหลุดไปบ้าง

[Switchgear]

ช่วงเสาร์-อาทิตย์นี้เผื่อมีใครว่างๆ อยากลองคิดโจทย์คณิตศาสตร์แก้เหงา
ผมเอาข้อสอบชุดที่ 4 มาฝากให้ลองคิดกันดู ... หวังว่าคงถูกใจผู้อ่านอีกเช่นกัน


PROBLEM PAPERS 4

1. $AB, AC$ are two radii of a circle inclined at an angle of $60^\circ$. Upon $AC$ a point $P$ is taken such that a circle can be described with centre $P$ to touch the circle internally and also to touch a circle on $AB$ as diameter externally. Prove that $AP = \frac45AC.$

2. Given a directrix and two points on a conic, find the locus of the corresponding focus.

3. Prove that if $u = a^2 + ab + b^2$ and $v = a^2 - ab + b^2,$ then
$$ 4(a^4+b^4) = 6uv - u^2 - v^2,$$
$$ 4(a^6+b^6) = 3u^2v + 3uv^2 - u^3 - v^3.$$

4. If $x < 1,$ shew that
$$ \frac{x+2}{x^2+x+1} = 2 - x - x^2 + 2x^3 - x^4 - x^5 + ... \;\;.$$

5. Shew that
$$ \cos\frac{2\pi}{15} + \cos\frac{4\pi}{15} + \cos\frac{8\pi}{15} + \cos\frac{14\pi}{15} = \frac12 \;.$$

6. The inscribed circle of a triangle $ABC$ touches the sides at $D, E, F,$ and $I$ is its centre. Circles whose radii are $\rho_1,\; \rho_2,\; \rho_3$ are inscribed in the quadrilaterals $IEAF, IFBD, IDCE:$ prove that
$$ \frac{\rho_1}{r-\rho_1} + \frac{\rho_2}{r-\rho_2} + \frac{\rho_3}{r-\rho_3} = \frac{\rho_1 \rho_2 \rho_3}{(r-\rho_1)(r-\rho_2)(r-\rho_3)} \;.$$

7. A straight line parallel to $lx + my = 1$ meets the axes (supposed inclined at an angle $\omega$) in $P$ and $Q$. From $P$ and $Q$ perpendiculars are drawn to the lines $py + x = 0, qx + y = 0$ respectively. Shew that these perpendiculars meet on a fixed straight line, and find its equation.

8. Two tangents $t_1$ and $t_2$ are drawn to a parabola ; $h$ is the internal bisector of the angle between them and $t$ is the tangent parallel to $h$. Shew that the product of the perpendiculars from the focus on $t_1$ and $t_2$ is the same as that on $t$ and $h$.

9. If the points of intersection of the ellipses $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1,\; \frac{x^2}{\alpha^2} + \frac{y^2}{\beta^2} = 1$ are at the extremities of conjugate diameters of the former, prove that
$$\frac{a^2}{\alpha^2} + \frac{a^2}{\beta^2} = 2 \;.$$

10. The centre of gravity of a quadrilateral area is the same as that of four equal particles placed at its angular points : shew that the quadrilateral must be a parallelogram.

11. The masses in an Atwood s machine are $5$ lbs. and $3$ lbs., and the machine is being used in a lift which is ascending uniformly with acceleration $2$ ft. per sec. per sec. Find the accelerations of the two masses and the tension of the string.

12. A particle projected with a given velocity from a point on a horizontal plane strikes normally at $P$ a vertical wall at distance a. Shew that if $b$ is the vertical distance between the possible positions of $P$, and $c$ is the height to which the particle would have ascended if projected vertically, then $a^2+b^2 = c^2$.


ครบถ้วนทั้ง 12 ข้อของชุดนี้แล้ว ... เชิญปราบโจทย์กันตามสบายเลยครับ
.

[Switchgear]

บางครั้งเราอาจรู้สึกว่าโจทย์บางข้อในกระทู้นี้ดูคุ้นๆ กับที่เราเคยทำมาแล้ว หรืออาจเคยเห็นในข้อสอบแข่งขันที่ไหนซักแห่ง
แต่เราต้องไม่ลืมว่าข้อสอบเหล่านี้มาจากหนังสือเมื่อ 100 กว่าปีก่อน ซึ่งในคำนำของหนังสือเขากล้าคุยเลยว่าโจทย์ของเขา
เกือบทุกข้อ เพิ่งปรากฎครั้งแรกในหนังสือเล่มนั้น ... และผมเชื่อว่าสนามแข่งขันหลายแห่งก็คงไปเอาหรือลอกตามกันมา
เรื่อยๆ จนถึงทุกวันนี้

แต่ว่าเท่าที่ผมสังเกตเอง (อาจคิดไม่ตรงกับคนอื่น) ผมว่าข้อสอบในกระทู้นี้ ยากกว่าข้อสอบแข่งขันทั่วไปในบ้านเราพอสมควร
และจะว่าไปแล้ว ก็ยังเห็นข้อซ้ำน้อยมากเมื่อเทียบกับหนังสือปัจจุบันหรือโจทย์แข่งขันต่างๆ

ฉะนั้นหากใครเป็นครูอาจารย์หรือผู้ออกข้อสอบ จะลองเอาข้อสอบในกระทู้นี้ไปทดสอบเด็กดูบ้างก็ได้ครับ
(รับรองว่าได้รับคำสรรเสริญเชิงลบจากลูกศิษย์ลูกหาเป็นแถว...)

[Switchgear]

ผมเฉลย PROBLEM PAPERS 2 ไปแล้ว 7 ข้อ ... ว่างๆ จะมาเฉลยต่อให้

ส่วน PROBLEM PAPERS 3 และ 4 ก็ทิ้งไว้ให้ลองคิดกันเองก่อนซักพักหนึ่ง

[nongtum]

แวะมาเก็บเด็กก่อนครับ

PAPERS 4 ข้อ 3
สังเกตว่า $u+v=2(a^2+b^2),\ uv=a^4+a^2b^2+b^4$
ทั้งสองสมการจะได้มาจาก $6uv-u^2-v^2=8uv-(u+v)^2$
และจาก $3u^2v+3uv^2-u^3-v^3=[6uv-(u+v)^2](u+v)$ ตามลำดับ

[passer-by]

ข้อ 6 สวยดีครับ แต่ขอ post สั้นๆ แค่แนวคิดแล้วกััน

พิจารณา IFBD
จาก center วงกลมแนบในสี่เหลี่ยม ลากมายัง D (แบ่งครึ่งมุึมฉาก) และ ลากมาตั้งฉากกับ ID, BD
จะพบว่า $ \frac{\rho_2}{r-\rho_2} = \cot \frac{B}{2}$

ในทำนองเดียวกันกับสี่เหลี่ยมอีก 2 รูป ก็จะได้ $ \frac{\rho_1}{r-\rho_1} = \cot \frac{A}{2}$ และ $ \frac{\rho_3}{r-\rho_3} = \cot \frac{C}{2}$

ขณะเดีัยวกัน สำหรับสามเหลี่ยมใดๆ สามารถพิสูจน์ได้ไม่ยากว่า $\cot \frac{A}{2} +\cot \frac{B}{2}+\cot \frac{C}{2}=\cot \frac{A}{2}\cot \frac{ฺB}{2}\cot \frac{C}{2} $ ซึ่งสมมูลกับสิ่งที่โจทย์ถาม

[Switchgear]

8. Chords of the parabola $y^2 = 4ax$ are drawn through the fixed point $(h, k)$. Shew that the locus of their middle points is the parabola $y(y-k) = 2a(x-h).$

Solution:

$\;\;\;$ For the intersections of
$$\;\; \frac{x-x'}{\cos\theta} = \frac{y-y'}{\sin\theta} = r$$
with $y^2 = 4ax,\;\;$ we have $\;\;(r\sin\theta+y')^2 = 4a(r\cos\theta+x').$

$\;\;\;$ If $(x', y')$ is the middle point of the chord, the values of $r$ given by this equation will be equal and opposite, therefore $\;\; y'\sin\theta = 2a\cos\theta,$
i.e. the equation to the chord is $y'(y-y') = 2a(x-x').$

$\;\;\;$ If this passes through $(h, k)$ we have $y'(k-y') = 2a(h-x'),$ so that the locus of $(x', y')$ is $y(k-y) = 2a(h-x).$

[Switchgear]

9. $P$ and $Q$ are extremities of two conjugate diameters of an ellipse of minor axis $2b,$ and $S$ is a focus. Prove that $PQ^2-(SP-SQ)^2 = 2b^2.$

Solution:

$\;\;\;$ If $\phi$ be the eccentric angle of $P,$ we have
$\;\;\;\;\;\; SP = a-e \cdot a\cos\phi,\;\; SQ = a+e \cdot a\sin\phi,$
therefore $\;\; (SP-SQ)^2 = a^2e^2(\sin\phi+\cos\phi)^2.$

$\;\;\;$ Also $\;\; PQ^2 = a^2(\sin\phi+\cos\phi)^2+b^2((\sin\phi-\cos\phi)^2,$
therefore $\;\; PQ^2-(SP-SQ)^2 = b^2(\sin\phi+\cos\phi)^2+b^2((\sin\phi-\cos\phi)^2 = 2b^2.$

[Switchgear]

10. A rod of length $2a$ rests on a smooth vertical circle of radius $b,$ one end being attached to a string, to the other end of which is tied a weight which hangs down over the circle. The distance of the point of contact from this end of the rod is $na$. Prove that in the position of equilibrium the rod makes with the vertical an angle
$$\tan^{-1}\left(\frac{2abn^2}{(1-n)(b^2-a^2n^2)}\right).$$

Solution:

$\;\;\;$ Let $A$ be the upper end of the rod, $G$ its middle point, $N$ the point of contact with the circle (centre $O$), $\alpha$ the angle $AON$, the angle the rod makes with the vertical. Then if $ON$ and the direction of the string meet in $K, GK$ is vertical.

$\;\;\;$ Hence
$$ \frac{AN}{GN} = \frac{\tan AKN}{\tan GKN} = \frac{\cot 2\alpha}{\cot\theta}.$$

$\;\;\;$ But
$$ \tan\alpha = \frac{na}{b},$$
therefore
$$\tan\theta = \frac{n}{1-n} \cdot \tan 2\alpha = \frac{n}{1-n} \cdot \frac{2nab}{b^2-a^2n^2}.$$

[Switchgear]

11. The base angles of a wedge are $\alpha$ and $\beta$ and its mass is $M$. Two particles of masses $m$ and $m'$ are let fall simultaneously from the vertex down the two faces. Prove that the wedge will move on the smooth horizontal plane with which it is in contact with acceleration
$$ \frac12g \frac{m\sin2\alpha - m'\sin2\beta}{M+m\sin^2 \alpha + m'\sin^2 \beta}. $$

Solution:

$\;\;\;$ Let $f_1,\; f_2$ be the accelerations of $m$ along and perpendicular to the face of the wedge; $f_3,\; f_4$ those
of $m'$ ; $f$ the horizontal acceleration of the wedge; $R$ and $R'$ the pressures. Then
$$ mf_2 = mg \cos\alpha -R,\;\;\; m'f_4 = m'g\cos\beta-R',\;\;\; f_2 = f\sin\alpha,\;\;\; f_4 = -f\sin\beta.$$
$$ Mf = R\sin\alpha - R'\sin\beta = m(g\cos\alpha-f\sin\alpha)\sin\alpha - m'(g\cos\beta+f\sin\beta)\sin\beta,$$
giving the required value of $f.$

[Switchgear]

12. If the unit of kinetic energy be that of a train of mass $m$ tons moving with a velocity of $v$ miles an hour, the unit of power that of an engine of horse-power $h$, and the unit of force the weight of $n$ tons, prove that the unit of mass is $ \frac12m\left(\frac{448vn}{75h}\right)^2$ tons.

Solution:

$\;\;\;$ With the usual notation we have
$$ [M'][L']^2[T']^{-2} = \frac12 \cdot 2240m \cdot \left(\frac{22}{15}v\right)^2 [M][L]^2[T]^{-2},$$
$$ [M'][L']^2[T']^{-3} = 32 \cdot 550h \cdot [M][L]^2[T]^{-3},$$
$$ [M'][L']^2[T']^{-2} = 32 \cdot 2240n \cdot [M][L]^2[T]^{-2},$$

Multiplying the first equation by the square of the third, and dividing by the square of the second, we get the required value for $[M']$.

[Switchgear]

ผมโพสต์เฉลย PROBLEM PAPERS 2 ครบทั้ง 12 ข้อแล้ว ... ที่เหลือค่อยมาเฉลยวันหลัง

หวังว่าโจทย์เหล่านี้คงให้ความรู้กับผู้สนใจได้พอสมควร