ช่วยแก้ปัญหาเรื่องสมการพหุนามหน่อยครับ.

[Ne[S]zA]

1.ให้ $f(x)\in \mathbb{C} [x]$ และมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ $3$ หาร $f(1),f(2)$ และ $f(3)$ ไม่ลงตัว จงพิสูจน์ว่า $f(x)$ ไม่มีรากเป็นจำนวนเต็ม
2.ให้ $a,b,c\in \mathbb{Z} $ ที่แตกต่างกันทั้งหมดและให้ $p(x)\in \mathbb{Z} [x]$ จงหาพหุนาม $p(x)$ ที่ทำให้ $p(a)=b,p(b)=c$ และ $p(c)=a$
3.ให้ $\alpha ,\beta $ เป็นรากของสมการพหุนาม $x^2-6x+1=0$ จงพิสูจน์ว่าสำหรับทุกๆจำนวนเต็มบวก $n$ แล้ว $\alpha ^n+\beta ^n$ เป็นจำนวนเต็ม และไม่มี $5$ เป็นตัวประกอบ

[nooonuii]

3. induction

$\alpha+\beta=6,\alpha\beta=1$

ให้ $a_n=\alpha^n+\beta^n$

$a_n=\alpha^n+\beta^n$

$~~~=(\alpha+\beta)(\alpha^{n-1}+\beta^{n-1})-\alpha\beta(\alpha^{n-2}+\beta^{n-2})$

$~~~=6a_{n-1}-a_{n-2}$

ถ้าพิจารณา modulo $5$ จะได้ว่า

$a_n\equiv a_{n-1}-a_{n-2}\pmod{5}$

ดังนั้นลำดับ $a_1,a_2,... \pmod{5}$ จะเป็น periodic sequence ที่มีคาบเท่ากับ $6$

$1,4,3,4,1,2,1,4,3,4,1,2,...$

[nooonuii]

1. โดยกฎการคูณของ congruence เราสามารถพิสูจน์ได้ว่า

$f(x+3k)\equiv f(x)\pmod{3}$ ทุกจำนวนเต็ม $k$

ถ้ามี $c\in\mathbb{Z}$ ที่ทำให้ $f(c)=0$

เขียน $c=3k+r$ เมื่อ $r\in\{1,2,3\}$

จะได้ $0=f(c)=f(3k+r)\equiv f(r)\pmod{3}$ ซึ่งขัดแย้ง

[nooonuii]

2. ไม่มีครับ ลองพิสูจน์ว่า $a-b|P(a)-P(b)$

จากนั้นก็ใช้เงื่อนไขโจทย์หาข้อขัดแย้ง

[Ne[S]zA]

ขอบคุณครับ คุณ nooonuii

[Αρχιμήδης]

ถ้า $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}=6$

จงหา $\frac{a^3}{b^3}+\frac{b^3}{c^3}+\frac{c^3}{a^3}$

งงครับ ช่วยประกาศ หน่อยครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Αρχιμήδης

ถ้า $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}=6$

จงหา $\frac{a^3}{b^3}+\frac{b^3}{c^3}+\frac{c^3}{a^3}$

งงครับ ช่วยประกาศ หน่อยครับ

คำตอบสวยครับ

Hint: ให้ $x=\dfrac{a}{b},y=\dfrac{b}{c},z=\dfrac{c}{a}$

จะได้ว่า $x+y+z=6,xy+yz+zx=6,xyz=1$

จากนั้นลองใช้เอกลักษณ์

$x^3+y^3+z^3=3xyz+(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$

[Αρχιμήδης]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

คำตอบสวยครับ

Hint: ให้ $x=\dfrac{a}{b},y=\dfrac{b}{c},z=\dfrac{c}{a}$

จะได้ว่า $x+y+z=6,xy+yz+zx=6,xyz=1$

จากนั้นลองใช้เอกลักษณ์

$x^3+y^3+z^3=3xyz+(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$

ขอบคุณมากครับ เลขตองสวยจริงๆ....

[BLACK-Dragon]

มีโจทย์มาถามเจอในค่าย 1 ม.นเรศวรครั้งที่ 1

2. ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนเต็มโดยที่ $1<a<b<c$ และมีจำนวนเต็มบวก $k$ ที่ $(a−\frac{1}{c})(b−\frac{1}{a})(c−\frac{1}{b})=k$

จงหาค่าของ $a^2+b^2+c^2$

เราจะทำยังไงอ่ะครับ

[Amankris]

#9
ข้อนี้สนุกดีนะ

ว่าแต่ทำไมไม่ตั้งกระทู้ใหม่

[Yuranan]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

มีโจทย์มาถามเจอในค่าย 1 ม.นเรศวรครั้งที่ 1

2. ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนเต็มโดยที่ $1<a<b<c$ และมีจำนวนเต็มบวก $k$ ที่ $(a−\frac{1}{c})(b−\frac{1}{a})(c−\frac{1}{b})=k$

จงหาค่าของ $a^2+b^2+c^2$

เราจะทำยังไงอ่ะครับ

ลองกระจาย $$(a-\frac{1}{c})(b-\frac{1}{a})(c-\frac{1}{b})=abc-a-b-c+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{abc})$$

จะได้ว่าพจน์ $(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{abc})$ ต้องเป็นจำนวนเต็มด้วย และเมื่อ $a,b,c$ เป็นจำนวนเต็มโดยที่ $1<a<b<c$ จะได้ว่า $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1$ เพียงกรณีเดียว และจาก $\frac{1}{6}=\frac{1}{5}-\frac{1}{30}$ ดังนั้น $a=2,b=3,c=5$ ครับ

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Yuranan

ลองกระจาย $$(a-\frac{1}{c})(b-\frac{1}{a})(c-\frac{1}{b})=abc-a-b-c+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{abc})$$

จะได้ว่าพจน์ $(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{abc})$ ต้องเป็นจำนวนเต็มด้วย และเมื่อ $a,b,c$ เป็นจำนวนเต็มโดยที่ $1<a<b<c$ จะได้ว่า $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1$ เพียงกรณีเดียว และจาก $\frac{1}{6}=\frac{1}{5}-\frac{1}{30}$ ดังนั้น $a=2,b=3,c=5$ ครับ

ทำไมมันจึงเป็น 1 ได้กรณีเดียวอ่ะครับ

มันจะเป็น $2,3,4,...$ ไม่ได้เลยหรอครับ

[Yuranan]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

ทำไมมันจึงเป็น 1 ได้กรณีเดียวอ่ะครับ

มันจะเป็น $2,3,4,...$ ไม่ได้เลยหรอครับ

ลองยกตัวอย่างให้ผมดูได้ไหมครับ

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Yuranan

ลองยกตัวอย่างให้ผมดูได้ไหมครับ

ยังหาไม่เจออ่ะครับ แต่ที่เจอก็เกิน 1 ไม่เป็นจำนวนเต็ม

แล้วมันมีสิทธิ์จะมีไหมครับ

[จูกัดเหลียง]

อย่าหา a>8 เลย
ไม่มีเเน่นอนครับ