อุ่นเครื่อง!!! ก่อนสอบมหิดล

[GaO]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ อยากเก่งเลขครับ

โยนเหรียญ1อัน5ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่เหรียญออกหน้าเหมือนกันติดกันอย่างน้อย3เหรียญ

ตอบ $\frac{3}{4}$

[หยินหยาง]

มีโจทย์มาฝากให้คิดเล่นๆ 2 ข้อ
1. มาลีซื้อปลาช่อนและปลาดุกไปขายรวมกันแล้วมากกว่า 40 กิโลกรัมแต่ไม่ถึง 50 กิโลกรัม เป็นเงิน 1100 บาท ถ้าปลาช่อนราคากิโลกรัมละ 30 บาท ปลาดุกกิโลกรัมละ 20 บาทจงหาว่าซื้อปลาดุกได้มากที่สุดเป็นกี่กิโลกรัม(ตอบเป็นจำนวนเต็ม)

2. มีวัสดุทำรั้วยาว 100 เมตรต้องการล้อมรั้วที่ดินที่อยู่ริมฝั่งแม่น้ำเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดยมีความยาวด้านกว้าง x เมตรและพื้นที่ดินที่ล้อมได้ A ตารางเมตรถ้า $3\leqslant x \leqslant 10$ แล้วพื้นที่ A มีค่าอยู่ช่วงใด
ก. $282\leqslant A \leqslant 800$ $~~~~~~~~~$ ข. $318\leqslant A \leqslant 1200$
ค. $100\leqslant A \leqslant 982$ $~~~~~~~~~$ ง. $100\leqslant A \leqslant 800$

[~king duk kong~]

1. 39 kg
2. ก.

[หยินหยาง]

#63
ถ้าตามที่หนังสือเฉลยก็จะถูกข้อผิดข้อ แต่ถ้าตามที่เป็นจริงก็จะถูกข้อผิดข้อเหมือนกันแต่สลับถูกผิดกันครับ

[~king duk kong~]

ข้อ 1 ผมสับสนว่า มากกว่า กับ ไม่ถึง รวม40 กับ 50 ด้วยรึเปล่าอ่ะครับ ถ้ารวมก็ตอบ 40 ครับ
พอดีคำพวกนี้ผมไม่ค่อยจะรู้เรื่องด้วยอ่ะครับ

ส่วนข้อ 2 จุดยอดของพาราโบลา คือ (25,...) ซึ่งยังไม่อยู่ในช่วงที่กำหนด จึงเพิ่มขึ้นเรื่อยๆตาม x ครับ

[หยินหยาง]

หมายถึงอย่างนี้ครับ 40<x+y<50

[~king duk kong~]

แล้วผมผิดข้อไหนหรอครับ
จะได้ฝึกตัวเองด้วยครับ ขอบคุณครับ

[หยินหยาง]

โจทย์ที่ฝากให้คิด 2 ข้อพอดีมีคนมาถามแล้วเอาเฉลยมาให้ดู ผมดูแล้วรู้สึกว่าจะไม่ถูกต้องเลยเอามาโพสต์ถามกันสนุกๆ ครับ สำหรับคำตอบที่ผมทำ
ข้อ 1 ตอบผิด ไม่ใช่ตอบ 39
ข้อ 2. ตอบถูกครับ
หมายเหตุ ไม่จำเป็นต้องเชื่อก็ได้นะครับ

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

มีโจทย์มาฝากให้คิดเล่นๆ 2 ข้อ
1. ซื้อปลาช่อนและปลาดุกไปขายรวมกันแล้วมากกว่า 40 กิโลกรัมแต่ไม่ถึง 50 กิโลกรัม เป็นเงิน 1100 บาท ถ้าปลาช่อนราคากิโลกรัมละ 30 บาท ปลาดุกกิโลกรัมละ 20 บาทจงหาว่าซื้อปลาดุกได้มากที่สุดเป็นกี่กิโลกรัม(ตอบเป็นจำนวนเต็ม)

ได้ 37 kg. หรือเปล่าครับ

ถ้า ปลาดุก 37 กิโลกรัม และปลาช่อน12กิโลกรัม จะได้ตามเงื่อนไขอ่ะครับ

ไม่รู้ว่าถูกหรือเปล่านะครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

ได้ 37 kg. หรือเปล่าครับ

ถ้า ปลาดุก 37 กิโลกรัม และปลาช่อน12กิโลกรัม จะได้ตามเงื่อนไขอ่ะครับ

ไม่รู้ว่าถูกหรือเปล่านะครับ

ถูกครับ
อันที่จริงการทำโจทย์ข้อที่ 1 สิ่งที่ต้องระวังคือต้องนำคำตอบที่ได้มาตรวจสอบด้วยว่าตรงเงื่อนไขของโจทย์หรือไม่ ส่วนอีกข้อเดี๋ยวค่อยมาต่อให้ว่าวิธีที่หนังสือทำอย่างไรมาให้ดู ตอนนี้ขอทำธุระก่อน

[หยินหยาง]

มาต่อให้ครับ ลองดูวิธีข้อ 2 ดูว่ามีจุดบกพร่องตรงไหน

พื้นที่ $A = x(100-2x) = 100x-2x^2$
กำหนดให้ $3 \leqslant x \leqslant 10$
ดังนั้น $300 \leqslant 100x \leqslant 1000$ ....................................(1)
และเนื่องจาก x>0 จะได้ว่า $ 9 \leqslant x^2 \leqslant 100$
นำ -2 คูณตลอดจะได้ $-18 \geqslant -2x^2 \geqslant -200$
หรือ $ -200 \leqslant -2x^2 \leqslant -18$ ....................................(2)
(1)+(2) จะได้ว่า $ 100 \leqslant 100x-2x^2 \leqslant 982$
$\therefore 100 \leqslant A \leqslant 982$

เอามาให้ดูสนุกๆ ครับ อย่าคิดมาก

[banker]

มาไม่ทันโจทย์คุณหยินหยาง แต่ไม่เป็นไร มาแจมสายไปหน่อย คงไม่เป็นไรนะครับ

สำหรับข้อแรก ก็ไม่มีอะไรซับซ้อน

1. มาลีซื้อปลาช่อนและปลาดุกไปขายรวมกันแล้วมากกว่า 40 กิโลกรัมแต่ไม่ถึง 50 กิโลกรัม เป็นเงิน 1100 บาท ถ้าปลาช่อนราคากิโลกรัมละ 30 บาท ปลาดุกกิโลกรัมละ 20 บาทจงหาว่าซื้อปลาดุกได้มากที่สุดเป็นกี่กิโลกรัม(ตอบเป็นจำนวนเต็ม)

ถ้าเอาไปติวหลาน แก็คงตีตารางไล่จาก 49 ลงมา

สุดท้ายก็ได้คำตอบว่า ซื้อปลาดุก 37 กิโลกรัม และปลาช่อน 12 กิโลกรัม
(ซึ่งไม่ตรงกับเงื่อนไขของโจทย์ .... อนุมานเอาว่า โจทย์คงผิด)

ขออนุญาตไปให้หลานทำดูนะครับ

[banker]

ส่วนข้อสอง อันนี้น่าสนใจ มีเรื่องที่น่าสนใจอยู่ 2 ประด็น

ประเด้นแรก โจทย์ไม่รัดกุม

ประเด็นถัดมา เรื่องที่คุณหยิยหยางพิสูจน์แล้วถามว่ามีจุดบกพร่องตรงไหน

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

2. มีวัสดุทำรั้วยาว 100 เมตรต้องการล้อมรั้วที่ดินที่อยู่ริมฝั่งแม่น้ำเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดยมีความยาวด้านกว้าง x เมตรและพื้นที่ดินที่ล้อมได้ A ตารางเมตรถ้า $3\leqslant x \leqslant 10$ แล้วพื้นที่ A มีค่าอยู่ช่วงใด
ก. $282\leqslant A \leqslant 800$ $~~~~~~~~~$ ข. $318\leqslant A \leqslant 1200$
ค. $100\leqslant A \leqslant 982$ $~~~~~~~~~$ ง. $100\leqslant A \leqslant 800$

ประเด็นแรก ที่ว่าโจทย์ไม่รัดกุมก็คือ

"มีวัสดุทำรั้วยาว 100 เมตรต้องการล้อมรั้วที่ดินที่อยู่ริมฝั่งแม่น้ำเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดยมีความยาวด้านกว้าง x เมตร"

โจทย์ไม่ได้ระบุว่าล้อมรั้วด้วยวัสดุที่ว่าเพียงสามด้าน

โจทย์ข้อนี้ ถ้าเป็นโจทย์เติมคำตอบ จะมีปัญหาให้โต้แย้ง

บางคนอาจบอกว่า "มีวัสดุทำรั้วยาว 100 เมตรต้องการล้อมรั้วที่ดิน(ที่อยู่ริมฝั่งแม่น้ำ) เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดยมีความยาวด้านกว้าง x เมตร"

คำว่า "ที่อยู่ริมฝั่งแม่น้ำ" เป็นคำขยายคำว่า "ที่ดิน" ว่าอยู่ตรงไหน

ส่วนการล้อมรั้ว อาจล้อมเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้วยวัสดุที่ว่าทั้งสี่ด้าน (เพื่อกันสัตว์ตกน้ำก็ได้ หรือกันโขมยที่อาจมาทางด้านแม่น้ำก็ได้)

ไม่มีตรงไหนในโจทย์ระบุว่า ล้อมด้วยวัสดุที่ว่าเพียงแค่ 3 ด้าน ปล่อยด้านแม่น้ำไม่ต้องล้อม เป็นเรื่องที่เราเข้าใจกันเอาเองทั้งนั้น

แต่ ... บังเอิญข้อนี้มีคัวเลือก ก็เลยตัดปัญหาเรื่องล้อมสี่ด้านหรือล้อมสามด้าน


ส่วนคำตอบ ผมว่าตอบข้อ ก. ถูกแล้วครับ

มาดูเงื่อนไขที่ว่า $3\leqslant x \leqslant 10$

แปลว่า $x$ มีต่าน้อยที่สุด 3 เมตร และมากที่สุด 10 เมตร

ถ้า $x$ น้อยที่สุด เท่ากับ 3 เมตร ก็จะได้พื้นที่ 282 ตารางเมตร

ถ้า $x$ มากที่สุด เท่ากับ 10 เมตร ก็จะได้พื้นนที่ 800 ตารางเมตร

ดังนั้น $ 282\leqslant พื้นที่ \leqslant 800$

ตอบ ก. $282\leqslant A \leqslant 800$

[banker]

ขออนุญาต แยกประเด็นที่คุณหยินหยางตั้งข้อสังเกตไว้ มาแสดงไว้ใน reply นี้นะครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

มาต่อให้ครับ ลองดูวิธีข้อ 2 ดูว่ามีจุดบกพร่องตรงไหน

พื้นที่ $A = x(100-2x) = 100x-2x^2$
กำหนดให้ $3 \leqslant x \leqslant 10$
ดังนั้น $300 \leqslant 100x \leqslant 1000$ ....................................(1)
และเนื่องจาก x>0 จะได้ว่า $ 9 \leqslant x^2 \leqslant 100$
นำ -2 คูณตลอดจะได้ $-18 \geqslant -2x^2 \geqslant -200$
หรือ $ -200 \leqslant -2x^2 \leqslant -18$ ....................................(2)
(1)+(2) จะได้ว่า $ 100 \leqslant -2x^2 \leqslant 982$
$\therefore 100 \leqslant A \leqslant 982$

เอามาให้ดูสนุกๆ ครับ อย่าคิดมาก

ดูแล้วก็สนุกครับ

ถ้าจบตรงนี้ก็ เห็นด้วย ไม่มีจุดบกพร่องตรงไหน

แต่ถ้าทำต่อ โดยการแทนค่า $A$ เราจะพบว่า

กรณี $100 = 100x - 2x^2$

ก็จะได้ $2x^2 -100x + 100 = 0 $

$x^2 -50x + 50 = 0$

จากสูตรพื้นฐาน $x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} }{2a}$

จะได้ $x = 48.98 $ เมตร กับ $1.02 $เมตร

ซึ่งไม่เข้ากับเงื่อนไขโจทย์ที่ว่า $3 \leqslant x \leqslant 10$


ในทำนองเดียวกัน

กรณี

$100x-2x^2 =982$

จะได้ $2x^2 -100x+982$

จะได้ $x = 36.57$ กับ 13.425

ซึ่งก็ขัดแย้งกับเงื่อนไขโจทย์ ที่ว่า $3 \leqslant x \leqslant 10$


สรุปในความเห็นของผม

ความเห็นที่คุณหยินหยางแสดงข้างต้น ไม่มีข้อบกพร่อง
เพียงแต่เมื่อตรวจสอบคำตอบโดยการแทนค่าแล้ว ไม่ valid กับเงื่อนไขโจทย์
ดังนั้นอสมการที่ได้นั้น ถูกต้อง แต่ใช้ไม่ได้

ผมก็สรุปอย่างนี้แหละครับ

(เท่าที่ความรู้แค่หางอึ่งที่ผมมี .... ปอดๆเหมือนกันที่เห็นไม่เหมือนเทพ ...จาหน้าแตกไหมเนี๊ยะ)

[banker]

อีกข้อครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ อยากเก่งเลขครับ

โยนเหรียญ1อัน5ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่เหรียญออกหน้าเหมือนกันติดกันอย่างน้อย3เหรียญ

ข้อนี้ ไปนั่งเทียนนับแล้ว (เมื่อคืนไฟฟ้าที่บ้านดับ) ได้ว่า ความน่าจะเป็นที่เหรียญออกหน้าเหมือนกันติดกันอย่างน้อย3เหรียญ เท่ากับ $\dfrac{1}{2}$ ครับ