ช่วยทีเกี่ยวกับ linear

[palo]

Let V and W be finite-dimensional vector spaces,and T be a linear transformation from V toW.
If dim V = dim im T , then kerT={0}.
ข้อความในบรรทัดที่สองเป็นจริงมั้ยอ่ะ เราคิดว่าจริงนะแ่ต่ลองพิสูจน์แล้วก้อไม่ได้ซะที
แล้วก้อตัวอย่างค้านไม่ได้เหมือนกัน ครายที่รู้ช่วยทีละกัน จนปัญญาแล้วจิงๆ
อ้อ อีกอันนึง
Let W be a subspace of a finite-dimensional vector space V. If T is a linear transformation from W to V , then can we extend T to a linear transformation on V ?
ช่วยหน่อยนะ ทำไม่ได้ซะที คิดมานานมากแล้ว ไม่ได้ทำอย่างอื่นเลย

[M@gpie]

ลองดูนะครับ ไม่แน่ใจ อันแรกน่าจะเป็นจริงนะครับ เนื่องจากมี Dimension เท่ากัน

ข้อสองไม่เข้าใจโจทย์ครับ

[nooonuii]

ข้อแรกใช้ทฤษฎีที่ว่า

Dim V = Dim Im(T) + Dim Ker(T)

ข้อสอง จริงครับ

ให้ $B=\{v_1,...,v_k\}$ เป็น basis ของ W จากนั้นใช้ทฤษฎีที่ว่า เราสามารถขยาย $B$ ไปเป็น basis ของ V ได้ จึงได้ $\tilde{B}=\{v_1,...,v_k,v_{k+1},...,v_n\}$

จากนั้น นิยาม $\tilde{T}(v_i)=T(v_i)$ ทุกค่า $i=1,...,k$ และ $\tilde{T}(v_i)=0$ ทุกค่า $i=k+1,...,n$

พิสูจน์ได้ไม่ยากว่า $\tilde{T}$ เป็น extension ของ $T$