ช่วยดูโจทย์หน่อยคะ

[คน-อ่อน-เลข]

1.ถ้า ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส โดยจุด E เป็นจุดภายในของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ทำให้ AE = ED = EF =20 หน่วย และ EF ตั้งฉากกับ BC ที่จุด F แล้วสี่เหลี่ยม ABCD มีพื้นที่กี่ตารางหน่วย

2.ถ้า $x + \sqrt{x + \frac{1}{2} + \sqrt{x + \frac{1}{4} } } = 64$ แล้ว $x$ มีค่าเท่าไหร่

3.ถ้า $ p(n) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n} $
$q(n) = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \frac{1}{n + 3} + ... + \frac{1}{2n} $ แล้ว $p(2014) - q(2014)$ มีค่าเท่าไหร่

4.กำหนด $0 < \theta < 90 $ ถ้า $a = sin\theta $ และ $b = cos\theta $ แล้วข้อใดต่อไปนี้มีค่าน้อยที่สุด
ก.$\sqrt[3]{a + b} $
ข.$a + b$
ค.$\sqrt{a^3 + b^3}$
ง.$a^3 + b^3$

[RER]

ข้อ2 ให้ $\sqrt{x+\frac{1}{4}} = a$
$\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}$
= $\sqrt{a^2+a+\frac{1}{4}}$
=$a+\frac{1}{2}$
ได้เป็น $x+\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2}$$=64$
ย้ายข้างยกกำลังสองก็จบแล้วครับ

[RER]

ข้อ4ลองวาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากให้มีด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $1$ ดูครับ
ได้ว่า $a+b>1$ ครับ

[RER]

ขอโทษด้วยครับ ข้อ 2 ลืมดู
$x+\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2}$ $=$$ (\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2})^2$$=64$
$\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2} =8$
$x=56$ ครับ

[กขฃคฅฆง]

3.

$p(n) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n} $

$= (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{2n}) - 2(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2n})$

$= (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{2n}) - (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n})$

$= \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \frac{1}{n + 3} + ... + \frac{1}{2n} $

$=q(n)$

[RER]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กขฃคฅฆง

3.

$p(n) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n} $

$= (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{2n}) - 2(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2n})$

$= (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{2n}) - (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n})$

$= \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \frac{1}{n + 3} + ... + \frac{1}{2n} $

$=q(n)$

$solution$ สวยมากเลยครับคิดไม่ถึงจริงๆ

[กขฃคฅฆง]

#6 ขอบคุณครับ

1. ต่อ EF พบ AD ที่ G จะได้ว่า EG ตั้งฉากกับ AD จาก $\triangle $AED เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว จะได้ AG = AD/2 = 10 + EG/2

EG^2 + (10+EG/2)^2 = 20^2

EG = 12

พ.ท.ABCD = 32^2

[กขฃคฅฆง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RER

ข้อ4ลองวาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากให้มีด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $1$ ดูครับ
ได้ว่า $a+b>1$ ครับ

ข้อนี้ยังไงครับ

[RER]

อันนี้เรารู้ว่าด้านประกอบมุมฉากยาว $sin\theta$ และ $cos\theta$ ตามลำดับ
ผลบวก 2 ด้านใดๆของรูป สามเหลี่ยมจะยาวกว่าด้านที่เหลือเสมอ
ดังนั้น $a+b>1$ $\rightarrow$ $a+b>\sqrt{a+b}$
$sin^3\theta+cos^3\theta<1$
$\therefore$ $\sqrt{a^3+b^3}>a^3+b^3$
มาเรียงๆกันได้
$a+b>\sqrt{a+b}$$>$ $\sqrt{a^3+b^3}>a^3+b^3$
ผมก็ไม่มั่นใจตรงบรรทัดนี้เหมือนกัน $sin^3\theta+cos^3\theta<1$ ตอนแรกนึกว่าให้หามากที่สุด
ผมลองๆกดเครื่องคิดเลขดูแล้วครับ ถ้า $0<\theta<90$ มันจะน้อยกว่า $1$ ครับ
แต่ผมก็พิสูจน์ไม่เป็น

[คน-อ่อน-เลข]

ขอบคุณมากคะ

[lek2554]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RER

ผมก็ไม่มั่นใจตรงบรรทัดนี้เหมือนกัน $sin^3\theta+cos^3\theta<1$ ตอนแรกนึกว่าให้หามากที่สุด
ผมลองๆกดเครื่องคิดเลขดูแล้วครับ ถ้า $0<\theta<90$ มันจะน้อยกว่า $1$ ครับ
แต่ผมก็พิสูจน์ไม่เป็น

$\sin^3\theta+\cos^3\theta$
$=(\sin\theta+\cos\theta)(\sin^2\theta-\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta)$
$=(\sin\theta+\cos\theta)(1-\sin\theta\cos\theta)$
$=(\sin\theta+\cos\theta)(1-\frac{1}{2} \sin2\theta)$

ปล. $\sin2\theta =2\sin\theta\cos\theta$