โจทย์คณิตในIndian?National?Junior?Science?Olympiad ?

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

*****________ชุดที่๕__________*****

9.(์NSEA 2010-11)
$\alpha, \beta $ เป็นรากของสมการ $x^2+x+3=0$ จงหาค่าของ $\alpha^6+ \beta^6 $

$(x-\alpha )(x-\beta ) = 0 $

$x^2-(\alpha + \beta )x +\alpha \beta = 0$

$\alpha +\beta = -1$......(1)

$\alpha \beta = 3$

$\alpha ^2 +2\alpha \beta +\beta ^2 =1$

$\alpha ^2 +\beta ^2 = -5$ ......(2)

(1)*(2) $ \ \ \ (\alpha +\beta )(\alpha ^2+\beta ^2) = 5$

$\alpha ^3+\alpha \beta (\alpha +\beta )+ \beta ^3 = 5$

$\alpha ^3+ \beta ^3 = 8$

$ \alpha ^6 + \beta ^6 +2\alpha^3 \beta ^3= 64$

$ \alpha ^6 + \beta ^6 = 64 - 54 = 10$

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

*****________ชุดที่๕__________*****
14.(์NSEA_senior 2009)
$\alpha, \beta, \gamma, \delta $ เป็นรากของสมการ $x^2(4x^2-9)+x(4x-6)=6$.จงหาค่าของ $\frac{1}{\alpha}+ \frac{1}{\beta }+ \frac{1}{\gamma} +\frac{1}{\delta} $

เขียนสมการใหม่
$4x^4-5x^2-6x-6=0$

$\alpha \beta \gamma +\beta \gamma \delta+\alpha \gamma \delta+\alpha \beta \delta = \dfrac{3}{2}$ ---(1)

$\alpha \beta \gamma \delta = -\dfrac{3}{2}$ ---(2)

(1)/(2);

$\dfrac{1}{\alpha}+ \dfrac{1}{\beta }+ \dfrac{1}{\gamma} +\dfrac{1}{\delta} = -1$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

*****________ชุดที่๕__________*****

4.(NSEJS_2011-12)
$a,b,c$ เป็นจำนวนบวก แล้ว $\frac{a+c}{b+c} $ มีค่า
(1) $<\frac{a}{b} $ เสมอ
(2) $>\frac{a}{b} $ เสมอ
(3) $>\frac{a}{b} $ เมื่อ $a>b$
(4) $>\frac{a}{b} $ เมื่อ $a<b$

ข้อ (1) กับ ข้อ (2) ขึ้นกับว่า a กับ b อันไหนมากกว่า จึงไม่จริงเสมอไป

$a > b \ $ เช่น a = 5, b = 3, c = 1 $ \ \ \ \to \frac{a+c}{b+c} = \frac{6}{4} $ $ \ \ \to \ \ $ $ \ \frac{a}{b} = \ \frac{5}{3} \ \ \to $ข้อ3 ไม่จริง

$a < b \ $ เช่น a = 1, b = 5, c = 2 $ \ \ \ \to \frac{a+c}{b+c} = \frac{3}{7} $ $ \ \ \to \ \ $ $ \ \frac{a}{b} = \ \frac{1}{5} \ \ \to $ข้อ4 จริง

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

*****________ชุดที่๕__________*****

1.(NSEJS_2011-12)
ถ้า $a^2+b^2+c^2+d^2+d^2=25$ แล้วข้อใดถูก
(1) $ab+bc+cd+da \leqslant 25$
(2) $ab+bc+cd+da\geqslant 25$
(3) $ab+bc+cd+da \geqslant \frac{25}{2} $
(4) $ab+bc+cd+da \geqslant \frac{25}{2}$

เข้าใจว่ามันคือ $a^2+b^2+c^2+d^2=25$ นะครับ
แต่อีกแบบก็ได้ครับ
$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-d)^2+(d-a)^2 \ge 0$

$2a^2+2b^2+2c^2+2d^2 \ge 2ab+2bc+2cd+2da$

$ab+bc+cd+da \leqslant a^2+b^2+c^2+d^2 \le a^2+b^2+c^2+d^2+d^2 = 25$

[กิตติ]

ขอขอบคุณทุกท่านที่เข้ามาช่วยกันไขคำตอบ ระดับความยาก ผมให้ปานกลาง

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

****_______ชุดที่3_____________****
7.(NSEJS_2010-11) จงหาผลคูณของรากสมการ $\sqrt[3]{8+x} +\sqrt[3]{8-x}=1$

ถ้า $a+b+c=0$ แล้วจะได้ว่า $a^3+b^3+c^3=3abc$
จัดรูปใหม่เป็น $\sqrt[3]{8+x} +\sqrt[3]{8-x}=1$
$\sqrt[3]{8+x} +\sqrt[3]{8-x}+(-1)=0$
$(8+x)+(8-x)+(-1)=3(-1)(\sqrt[3]{8+x})(\sqrt[3]{8-x})$
$15=-3(\sqrt[3]{64-x^2})$
$\sqrt[3]{64-x^2}=-5$
$64-x^2=-125$
$x^2-189=0$
$x=\pm 3\sqrt{21} $

ผลคูณของรากคือ $-189$

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

****_______ชุดที่3_____________****
8.(NSEJS_2010-11) เส้นรอบรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีมุมยอดเป็นมุมฉากเท่ากับ $2p$ จงหาพื้นที่สามเหลี่ยมนี้ในเทอมของ $p$

ให้ด้านประกอบมุมยอดคือ $x$
ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ $y$
จะได้ว่า $2x+y=2p$
$y=\sqrt{2}x $
$x=\frac{2p}{2+\sqrt{2} } $
จากสูตรพื้นที่สามเหลี่ยมเท่ากับ $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} $
$s=p$
$s-x=p-\frac{2p}{2+\sqrt{2} }=p\left(\,1-\frac{2}{2+\sqrt{2} }\right)= \frac{\sqrt{2} p}{2+\sqrt{2} } $
$s-y=p-\frac{2\sqrt{2} p}{2+\sqrt{2} }=p\left(\,1-\frac{2\sqrt{2} }{2+\sqrt{2} }\right) =\frac{(2-\sqrt{2} )p}{2+\sqrt{2} }$

พื้นที่สามเหลี่ยมเท่ากับ $\sqrt{s(s-x)(s-x)(s-y)}$
$=(s-x)\sqrt{s(s-y)}$

$=\frac{\sqrt{2} p}{2+\sqrt{2} }\sqrt{p\times \frac{(2-\sqrt{2} )p}{2+\sqrt{2} } } $

$=\frac{\sqrt{2} p^2}{2+\sqrt{2} }\times \frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} $

$=(3-2\sqrt{2} )p^2$

อีกวิธีหนึ่งจากคุณสมบัติสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ที่บอกว่าเส้นตรงที่ลากจากมุมยอดมาตั้งฉากกับฐาน จะแบ่งครึ่งฐาน ได้ตามรูป และแบ่งครึ่งมุมยอด



ความสูงของสามเหลี่ยมเท่ากับ $\frac{y}{2} $
พื้นที่สามเหลี่ยมเท่ากับ $\frac{y^2}{4} $ เท่ากับ $\frac{x^2}{2} $
จากที่รู้ว่า $x=\frac{\sqrt{2}p}{1+\sqrt{2} } \rightarrow x^2=\frac{2p^2}{(1+\sqrt{2})^2 }$
$\frac{x^2}{2} =\frac{p^2}{(1+\sqrt{2})^2 }=\frac{p^2}{(3+2\sqrt{2})}= (3-2\sqrt{2})p^2$

[artty60]

ชุดที่5 ข้อ13

คิดว่าเอาสองเส้นมาต่อกันเป็นเส้นตรงเดียวกันได้มั๊ย เพราะให้มาตั้ง5เส้น

ถ้าได้มันจะเกิน4รูป เช่น $(1+2),(3),(4) $ เป็นต้น

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

ชุดที่5 ข้อ13

คิดว่าเอาสองเส้นมาต่อกันเป็นเส้นตรงเดียวกันได้มั๊ย เพราะให้มาตั้ง5เส้น

ถ้าได้มันจะเกิน4รูป เช่น $(1+2),(3),(4) $ เป็นต้น

อืมมม .. ผมลืมมุมมองนี้ไป

อีกคำถาม แล้วใช้เส้นซ้ำได้ไหม เช่น 1+1+1, 2+2+2, ..., (1+2)+(1+2)+(1+2)


ถ้าเปลี่ยนโจทย์เป็น ไม้ 5 ท่อน ยาวท่อนละ 1, 2, 3, 4, 5 หน่วย อย่างนี้ก็น่าจะนำมาต่อกันได้ และใช้ซ้ำไม่ได้

แต่เป็นเส้น ... ผมว่าน่าจะต่อกันได้เหมือนกันนะ เพราะโจทย์ไม่ได้บอกห้ามไว้


(หมายเหตุ จากโจทย์ .. "นำเส้นตรงกลุ่มนี้มาสร้าง" ... ไม่น่าใช้ซ้ำได้)

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

****_______ชุดที่3_____________****

13.(์NSEA 2010-11)
จงหาเลขสองหลักท้าย(หลักสิบกับหลักหน่วย)ของ $1!+2!+3!+...+101!$

ตั้งแต่ 10! เป็นต้นไป สองตัวท้ายมี 0 สองตัวหรือมากกว่า จึงหาแค่ 9!

1! = 1
2! = 2
3! = 6
4! = 24
5! = ...20
6! = ..20
7! = ..40
8! = ..20
9! = ..80

รวม 213

เลขท้ายสองตัวคือ 13

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

****_______ชุดที่3_____________****


2.(NSEJS_2010-11)เมื่อ $AD,BE,CF$ เป็นจุดกึ่งกลางของสามเหลี่ยม $ABC$ แล้วผลรวมความยาวของส่วนเส้นตรง $BE$ กับ $CF$ คือ
(1) $< \frac{3}{2}BC $
(2) $> \frac{5}{3}BC $
(3) $> \frac{3}{2}BC $
(4) $< \frac{2}{3}BC $

ใช้หลัก เส้นตรงสองเส้นรวมกันยาวกว่าเส้นที่สาม

สามเหลี่ยม CEF ---> FE + EC > CF

สามเหลี่ยม BEF ---> FE + FB > BE

2FE + (EC + FB) > CF + BE

BC + (AE + AF ) > CF + BE

BC + (FE +a) > CF + BE .... (เมื่อ AE + AF มากกว่า FE อยู่ a)

BC + ($\frac{1}{2}BC$ +a) > CF + BE

$\frac{3}{2}BC +a > CF + BE$

$CF + BE > \frac{3}{2}BC \ \ \ (a \not= 0)$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

*****_______ชุดที่4_______*****


5.(NSEJS_2011-12)
ตัวเลขแปดหลักคือ $2575d568$ หารด้วย $54$ และ $87$ ลงตัว.จงหาค่าของ $d$

$54$ และ $87$ มี 3 เป็นตัวประกอบ

ดังนั้นผลรวมเลขโดดของ $2575d568$ ต้องเท่ากับ 3 หรือพหุคูณของ 3

$2+5+7+5+d+5+6+8 = 38 + d \ \ \ d \ $จึงเป็นได้เท่ากับ 1, 4, 7

ลองแทนค่าแล้ว $d = 7 \ $ ใช้ได้ตัวเดียวคือ $ \ 2575$$7$$568 \ $หารด้วย $54$ และ $87$ ลงตัว

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

*****_______ชุดที่4_______*****


6.(NSEJS_2011-12)
$6x^4+8x^3+17x^2+21x+7$ หารด้วย $3x^2+4x+1$ แล้วเหลือเศษ $ax+b$ จงหา $a,b$

$6x^4+8x^3+17x^2+21x+7 -ax - b $ หารด้วย $3x^2+4x+1 \ $ลงตัว

$3x^2+4x+1 \ = (x+1)(3x+1)$

แทนค่า f(x) ด้วย f(-1), f($-\frac{1}{3}$)

$6(-1)^4+8(-1)^3+17(-1)^2+21(-1)+7 -a(-1) -b = 0$

$a-b = -1 $

$6(-\frac{1}{3})^4+8(-\frac{1}{3})^3+17(-\frac{1}{3})^2+21(-\frac{1}{3})+7 -a(-\frac{1}{3}) -b = 0$

$27a-81b = -135$

$a = 1, \ \ b = 2$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

*****_______ชุดที่4_______*****

7.(NSEJS_2011-12)
กำหนดให้ $\sqrt{600}=24.49 $ จงหาค่าของ $\frac{\sqrt{2} +\sqrt{3} }{\sqrt{3}- \sqrt{2} } $ ในรูปทศนิยม ให้ตอบถึงทศนิยมสามหลัก

$\frac{\sqrt{2} +\sqrt{3} }{\sqrt{3}- \sqrt{2} } $

$ = \frac{\sqrt{2} +\sqrt{3} }{\sqrt{3}- \sqrt{2} } \times \frac{\sqrt{2} +\sqrt{3} }{\sqrt{3}+ \sqrt{2} } $

$ = 5 + 2\sqrt{6} $


$\sqrt{600}=24.49 = 10 \sqrt{6} \ \ \to \ \sqrt{6} = 2.449 $

$ = 5 + 2\sqrt{6} = 5 +2(2.449) = 9.898 $

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

*****_______ชุดที่4_______*****

10.(NSEJS_2011-12)
จงหาค่า $x$ ที่ทำให้ $2^{2x-1}+2^{1-2x}=2$

$2^{2x-1}+2^{1-2x}=2$

$\frac{2^{2x}}{2} + \frac{2}{2^{2x}} = 2 $

ให้ $A = \frac{2^{2x}}{2}$

$A + \frac{1}{A} = 2$

$A^2 -2A +1 = 0$

$(A-1)^2 =0 $

$A = 1$

$A = \frac{2^{2x}}{2} = 1 \ \ \to \ 2^{2x} = 2 = 2^1$

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

****_______ชุดที่3_____________****
16.(NSEA 2010-11)
$x+\frac{1}{x}=2\cos \theta $. จงหาค่าของ $x^3+\frac{1}{x^3}$

$x^2+\frac{1}{x^2}+2=4\cos^2 \theta $
$x^2+\frac{1}{x^2}=2(2\cos^2 \theta-1)=2\cos 2\theta$
$x^2+\frac{1}{x^2}-1=2\cos 2\theta-1$
$x^3+\frac{1}{x^3}=(x+\frac{1}{x})(x^2+\frac{1}{x^2}-1)$
$=(2\cos \theta)(2\cos 2\theta-1)$
$=4\cos \theta\cos 2\theta-2\cos \theta$
$=2\left(\,\cos 3\theta+\cos \theta\right)-2\cos \theta $
$=2\cos 3\theta$