ช่วยโจทย์ FE ผมด้วยครับ

[LightLucifer]

จงหา $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} $ ทั้งหมดซึ้งสอดคล้องกับสมการเชิงฟังชั่น
$$f(x+f(y))=f(x)+y$$


ปล. ข้อเดิมไม่ไรเป็นแล้วครับคิดออกแล้ว (โพสเสร็จแล้วเพิ่งคิดออก =='') ขอเปลี่ยนอีกข้อครับๆ

[picmy]

ผมไมได้่ทำโจทย์แบบนี้มา 6 ปีกว่าแล้ว ไม่รู้ว่าคิดมากไปรึเปล่านะครับ
คือผมไม่แน่ใจนะครับว่า $\mathbb{N}$ ในที่นี้รวม 0 ด้วยรึเปล่า (ในประวัติศาสตร์นั้น บางครั้งเราใช้ $\mathbb{N}$ แทน$\{1,2,3,...\}$ แต่ในบางครั้ง(ยุคหลังๆ) ก็ใช้แทน $\{0,1,2,3...\}$)
ถ้ารวม 0 ด้วย ก็จะง่ายกว่า ไม่รวม 0 เยอะทีเดียว(กรณีรวม 0 Hint ว่า สามารถแสดงได้โดยง่ายว่า $f$ เป็นฟังก์ชั่น 1-1 ทั่วถึงบน $ \mathbb{N}$ และ $f(0)=0$ )
ข้างล่า่งนี้ จะคิดในกรณีที่ ไม่รวม 0 ละกันนะครับ (นั่นคือ กำหนดว่า $ \mathbb{N}=\{1,2,3,...\}$ )
สมมติ $f(1)=c>0$
จะได้ว่า $f(1+c)=f(1+f(1))=f(1)+1=c+1$
จากนั้นใช้เงื่อนไขจากโจทย์ และ หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ จะได้ว่า ทุก $k\in \mathbb{N} $
$f(k(c+1))=k(c+1)$ -----------------(*)

ในอีกด้านนึง จาก $f(x+f(y))=f(x)+y$
จะได้ว่า ทุก $k\in \mathbb{N}$
$f(kc+k)=f((k-1)c+k+c)=f((k-1)c+k+f(1))=f((k-1)c+k)+1=...=f(k)+k$ ------(**)
จาก(*)และ(**) จะได้ว่า $f(k)=kc$ (ทุก $k\in \mathbb{N}$) -------------(***)

จาก $f(x+f(y))=f(x)+y$
ได้ว่า $cx+c^2y=cx+y$ (ทุก $x,y\in \mathbb{N}$)
จึงได้ว่า $c^2=1$
และเนื่องจาก $f$ เป็นฟังก์ชั่นบน $ \mathbb{N}$ ดังนั้น $c=1$
จาก (***) ได้ว่า $f(x)=x$

[LightLucifer]

ขอบคุณครับ

ผมยังสงสัยอีกนิดหนึ่งครับว่าถ้าผมอ้างว่า $f(f(x+f(y)))=x+f(y)$ จะสามารถสรุปได้หรือไม่ครับว่า $f(f(x))=x$ อ่ะครับ

[picmy]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ขอบคุณครับ

ผมยังสงสัยอีกนิดหนึ่งครับว่าถ้าผมอ้างว่า $f(f(x+f(y)))=x+f(y)$ จะสามารถสรุปได้หรือไม่ครับว่า $f(f(x))=x$ อ่ะครับ

จาก $f(f(x+f(y)))=x+f(y)$ ตรงๆ อาจจะยังสรุปไม่ได้ว่า $f(f(x))=x$ จะเป็นจริงทุก $x$ ครับ
เพราะว่า อาจจะมี $x_0\in \mathbb{N} $ ที่ทุก $x,y \in \mathbb{N} ，x_0\not= x+f(y)$
ซึ่งทำให้สรุปไม่ได้ด้วยว่า $f(f(x_0))=x_0$

แต่ถ้าแสดง ให้ได้ว่ามี $y_0\in \mathbb{N} $ที่ทำให้ $f(y_0)=1$ ก็สรุปได้แล้วหละครับ ซึ่งผมเชื่อว่าวิธีการพิสูจน์ต้องมีหลายวิธีแน่นอน และวิธีที่ผมได้แสดง ก็เป็นวิธีหนึ่งครับ

[LightLucifer]

อ๋อครับๆ ขอบคุณมากเลยครับๆ

[owlpenguin]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

จงหา $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} $ ทั้งหมดซึ้งสอดคล้องกับสมการเชิงฟังชั่น
$$f(x+f(y))=f(x)+y$$


ปล. ข้อเดิมไม่ไรเป็นแล้วครับคิดออกแล้ว (โพสเสร็จแล้วเพิ่งคิดออก =='') ขอเปลี่ยนอีกข้อครับๆ

Another approach:
$f(x+z)+y=f(x+z+f(y))=f(x+f(y+f(z)))=f(x)+y+f(z)$
$\therefore f(x+z)=f(x)+f(z);\forall x,z\in\mathbb{N}$
ดังนั้น $f(x)=cx\forall x\in\mathbb{N}$ สำหรับบาง $c\in\mathbb{N}$
แทนกลับไปในโจทย์ได้ว่า $f(x)=x$ เท่านั้น

[LightLucifer]

ขอบคุณครับๆ

มีงงอีกข้อครับ

จงหา $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ ทั้งหมด ซึ่งสอดคล้องกับสมการ
$$f(\frac{x+y+z}{3})=\frac{f(x)+f(y)+f(z)}{3}$$ ทุก $x,y,z\in \mathbb{R} $

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ขอบคุณครับๆ

มีงงอีกข้อครับ

จงหา $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ ทั้งหมด ซึ่งสอดคล้องกับสมการ
$$f(\frac{x+y+z}{3})=\frac{f(x)+f(y)+f(z)}{3}$$ ทุก $x,y,z\in \mathbb{R} $

ให้ $g(x)=f(x)-f(0)$ แล้วแสดงว่า $g$ สอดคล้องสมการโคชีครับ

[LightLucifer]

THX ครับๆ

มีให้ช่วยอีกข้อครับ ข้อนี้สอวนค่ายมีนา ปีที่แล้วอ่ะครับ

จงหา $f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} $ ทั้งหมดที่สอดคล้ิองกับสมการ

$$f(m+f(f(n)))=-f(f(m+1))-n$$

[beginner01]

Hint

เพื่อสะดวกในการเขียน ขอให้ $f(f(f(f(x))))=f^{(4)}(x)$

Step 1

1.ก่อนอื่นแสดงว่า $f^{(4)}(x)=-f(x)+c$ สำหรับบางจำนวนเต็ม $c$

Step 2

2.แสดงว่า $f$ เป็นฟังก์ชัน 1-1

Step 3

3.นำผลจากข้อ 2 มาช่วยในการแสดงว่า $f^{(4)}(x)-f^{(4)}(y)=x-y$ สำหรับทุกจำนวนเต็ม $x,y$

Step 4

4.นำผลจากข้อ 1,3 มาสรุปให้ได้ว่า $f(x)=-x+k$ สำหรับบางจำนวนเต็ม $k$ แล้วแทนค่ากลับไปในโจทย์ หาค่า $k$ และสรุปคำตอบ

Answer

f(x)=-x-1 สำหรับทุกจำนวนเต็ม $x$

[หยินหยาง]

ผมให้อีกวิธี เผื่อเป็นทางเลือกครับ
จากโจทย์จะพิสูจน์ได้ว่า f เป็นฟังก์ชั่น 1:1 และทั่วถึง ดังนั้น f มีอินเวอร์ส $(f^{-1})$
แทน $m =-f(f(n))$ ในโจทย์ จะได้ว่า
$f(0) = -f(f(-f(f(n))+1))-n$
$f(f(-f(f(n))+1)) =-f(0)-n ... (1)$
แทน $m =f^{-1}(0)-1$ ในโจทย์ จะได้ว่า
$f(f^{-1}(0)-1+f(f(n))) = -f(f(f^{-1}(0)-1+1))-n = -f(0)-n ...(2)$
จาก $(1)$ และ $(2)$ จะได้ว่า
$f(f(-f(f(n))+1)) = f(f^{-1}(0)-1+f(f(n)))$
ดังนั้น $f(-f(f(n))+1) = f^{-1}(0)-1+f(f(n)) ...(3)$
แทน $n$ ด้วย $f^{-1}(f^{-1}(n))$ ใน $(3)$ จะได้ว่า
$f(-f(f(f^{-1}(f^{-1}(n))))+1) = f^{-1}(0)-1+f(f(f^{-1}(f^{-1}(n))))$
ดังนั้น $f(-n+1)=f^{-1}(0)-1+n$ หรือ $f(n)= -n+c$ ทำให้ $f(f(n)) = n$
และจากโจทย์ จะได้ว่า $f(m+n)= f(m+f(f(n)))=-f(f(m+1))-n=-(m+1)-n$
ดังนั้น $-m-n+c =-m-1-n$
ได้ $c=-1$
ดังนั้น $f(n)=-n-1$

ปล. ผมดู hint คุณ beginner01 แล้วไม่ค่อยเข้าใจถ้าไม่รบกวนเกินไปช่วยแสดงวิธีทำให้ดูหน่อยครับ เผื่อจะได้เทคนิคใหม่ๆไว้ใช้ครับ

[beginner01]

เอ่อ... คือผมพิมพ์ผิดครับ ขอโทษครับ พอแก้แล้ว คงโอเคนะครับ...

[LightLucifer]

THX ครับๆทั้งสองท่านเลย

ปล ไม่รู้ว่า อ.อังสนา จะออกข้อสอบโหดไปไหน T_T

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

THX ครับๆทั้งสองท่านเลย

ปล ไม่รู้ว่า อ.อังสนา จะออกข้อสอบโหดไปไหน T_T

ก็คงจะให้ไปพิษณุโลกมั้งครับ แต่ถ้าเป็นของ อ.ไพศาล อาจไปแล้วไม่กลับครับ

[LightLucifer]

#14

เกรงว่าผมอาจจะเชื้อเพลิงหมดกลางทาง เลยไปไม่ถึง มน. อย่างที่ อ. เค้าตั้งใจยากให้ไปพิษณุโลกอ่ะสิครับ