พิสูจน์ ผลบวกกำลัง

[ppoomm]

รบกวนช่วยพิสูจน์ ในกรณีที่ k=1 ด้วยค่ะ

สำหรับจำนวนจริง k ใดๆ
$$1^{k}+2^{k}+...+n^{k} = \frac{1}{n}(\rho (n,k)+ \sum_{i=1}^{n}\sigma _{k+1}(i))$$

เมื่อ$(n~ mod ~d)$ หมายถึง เศษที่เกิดจาก d หาร n
$\rho (n)$ หมายถึง ผลรวมของฟังก์ชันเศษเหลือ ดังนั้นจะได้ $\rho (n) = \sum_{d=1}^{n}(n ~mod ~d)$
$\sigma (n)$ คือ ผลบวกของตัวหารที่เป็นบวกทั้งหมดของ n
$\sigma _{k}(n) = \sum_{d\mid n}d^{k}$
และ $\rho (n,k) = \sum_{d=1}^{n}d^{k}(n ~mod ~d)$