โจทย์ ตรีโกณ

[จอมยุทธแห่งบ้านหนองเข้]

ช่วยแสดงแนวคิดหน่อยครับ ไฟล์ภาพไม่ชัด (3sinA)กำลังสาม +(3cosA)กำลังสาม = 22

[nooonuii]

ยากครับ และมีหลายคำตอบด้วย ยังไม่กล้าเอามาลงเพราะกลัวคิดผิดครับ

[nongtum]

งั้นผมลองลงที่ผมทดได้ก่อนละกันนะครับ

จาก $\sin^3A+\cos^3A=(\sin A+\cos A)(1-\sin A\cos A)=\frac{22}{27}$ จะได้ $$\sin A\cos A(\sin A+\cos A)=-\frac{22}{27}+\sin A+\cos A$$
ดังนั้น $$\begin{eqnarray}
(\sin A+\cos A)^3&=&\sin^3A+\cos^3A+3\sin A\cos A(\sin A+\cos A)\\
&=&-\frac{44}{27}+3(\sin A+\cos A)\\
\end{eqnarray}$$
ให้ $u:=\sin A+\cos A$ ดังนั้น $$27u^3-81u+44=(3u-4)(9u^2+12u-11)=0$$ มี $u=\frac43$ เป็นคำตอบที่เป็นจำนวนจริงหนึ่งตัวที่เป็นไปได้
เพราะ $\sin A\cos A=\frac12(u^2-1)=\frac7{18}$ จะได้ $\sin^4 A+\cos^4 A=1-2\sin^2 A\cos^2 A=\frac{113}{162}$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nongtum

$$27u^3-81u+44=(3u-4)(9u^2+12u+11)=0$$

ผมทำคล้ายๆคุณ nongtum ครับ แต่ $$27u^3-81u+44=(3u-4)(9u^2+12u-11)$$
มีรากจริงทั้งสามรากครับ ผมเลยไม่กล้าตอบแบบฟันธง

[gnopy]

อีกสองรากที่เหลือเป็นจำนวนเชิงซ้อนหนิครับ

[nongtum]

แหะๆๆ ผมแยกตัวประกอบผิดหรือเนี่ย

แต่อีกสองคำตอบเท่าที่ดูคร่าวๆจะมีอันหนึ่ี่งที่ไม่สอดคล้องกับ $|\sin A+\cos A|\le\sqrt2$
ส่วนอีกตัวเป็นไปได้ ทำคล้ายๆกัน แต่คิดติดราก ยังไงรอเจ้าของโจทย์มาดูดีกว่าครับ...