รวมโจทย์เรื่องแปรผัน ระดับมัธยมต้น

[banker]

ต้นทุนในการผลิตสินค้าแยกได้เป็น 2 ส่วน ส่วนหนึ่งคงตัว และอีกส่วนหนึ่งแปรผันตามจำนวนสินค้าที่ผลิต ถ้าผลิต 500 ชิ้น และขายชิ้นละ 50 บาท เมื่อขายหมดจะได้เงินเท่าทุนพอดี แต่ถ้าผลิต 750 ชิ้น และขายชิ้นละ 40 บาท เมื่อขายหมดจะขาดทุน 5% ต้นทุนคงตัวเท่ากับเท่าใด

A 12,000 บาท
B 13,000 บาท
C 15,000 บาท
D 18,000 บาท

ref : http://www.kukkai.org/problems/view/1875


ให้ค่าคงตัว = $A$ และ จำนวนผลิต = $x$

จะได้ ต้นทุน = $A + kx$

$500 x 50 = A + 500k$ .......(1)

$\frac{95}{100}(750 \times 40) = A + 750x$ .....(2)

$(2) - (1) \ \ \ $จะได้ $ \ \ k = \frac{3,500}{250}$

แทนค่า k ใน (1) จะได้ $25,000 = A + 500 \times (\frac{3,500}{250})$

$A = 18,000$

ตอบต้นทุนคงตัวเท่ากับ $18,000$ (ข้อ4.)

[banker]

กำหนดให้ $y = A + B + C \ $ เมื่อ $ \ A \ $ แปรผันตรงตาม $x, \ \ B$ แปรผกผันกับ $\frac{1}{x^{2}} \ $ และ $ \ C \ $ แปรผันตรงกับ $ \ \frac{1}{x^{3}} \ $ ถ้า $ x = 1 \ $ แล้ว $ \ y = 2, \ $ ถ้า $ \ x = 2 \ $ แล้ว $ \ y = -24 \ $ และถ้า $ \ x = -1 \ $ แล้ว $ \ y = 0 \ $ จงหาค่า $ \ y \ $ เมื่อ $ \ x = -2 $

1. 4
2. 9
3. 32
4. คำตอบเป็นแบบอื่น

ref : http://www.kukkai.org/problems/view/1772


$y = A+B+C = k_1x + \frac{k_2}{\frac{1}{x^2}} + \frac{k_3}{x^3} = k_1x+ k_2x^2 + \frac{k_3}{x^3}$


ถ้า $x = 1$ แล้ว $y = 2$
$2 = k_1(1)+ k_2(1)^2 +\frac{k_3}{(1)^3}$

$k_1+k_2+k_3 = 2$ ............(1)


ถ้า $x = 2$ แล้ว $y = -24$
$-24 = k_1(2)+ k_2(2)^2 + \frac{k_3}{2^3}$

$2k_1+4k_2+\frac{k_3}{8} = -24$ ............(2)


ถ้า $x = -1$ แล้ว $y = 0$
$0 = k_1(-1)+ k_2(-1)^2 + \frac{k_3}{(-1)^3}$

$-1k_1+k_2- k_3 = 0$ ............(3)


$(1)+(3) \ \ k_2 = 1 $............(4)

แทนค่า $k_2 = 1 \ $ใน (2) จะได้ $ \ 2k_1+4(1)+\frac{k_3}{8} = -24 \ \ \ \to \ -2k_1-\frac{k_3}{8} = 28$ ............(5)



จงหาค่า $y$ เมื่อ $x = -2$
$y = k_1(-2)+ k_2(-2)^2 + \frac{k_3}{(-2)^3} = -2k_1+4k_2-\frac{k_3}{8} = 28+4(1) = 32$


ตอบ ข้อ3.

[banker]

ข้อสอบเพชรยอดมงกุฏ มัธยมต้น 2552


ให้ $a$โอห์ม เป็นความต้านทาน $b$ เป็นความยาว $d$เป็นเส้นผ่าศูนย์กลาง (หน่วยเป็นเซนติเมตร) จะได้สมการ

$a= \dfrac{k_1l}{k_2d^2}$

แทนค่า

$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{\dfrac{k_1l_1}{k_2d_1^2}}{\dfrac{k_1l_2}{k_2d_2^2}} = \dfrac{\dfrac{k_1\cdot 600}{k_2(0.25)^2}}{\dfrac{k_1\cdot900}{k_20.35^2}} = \dfrac{98}{75}$

ตอบ ข้อ 2

[[T]ime[Z]ero]

ขอบคุณมากครับ
เป็นประโยชน์มากเลยครับ

[banker]

เครื่องบินลำหนึ่ง อัตราเร็วที่บินได้เร็วที่สุดแปรผันตรงกับกำลังเครื่องยนต์ และแปรผกผันกับน้ำหนักของเครื่องบิน ถ้ากำลังเครื่องบินเป็น 660,000 วัตต์ และเครื่องบินหนัก 121,000 นิวตัน เครื่องบินจะบินเร็วที่สุด 50 เมตรต่อวินาที ถ้ากำลังเครื่องบินเป็น 420,000 วัตต์ และเครื่องบินหนัก 110,000 นิวตัน เครื่องบินจะบินเร็วสูงสุดเท่าไร

1. 35 เมตรต่อวินาที
2. 45 เมตรต่อวินาที
3. 55 เมตรต่อวินาที
4. 65 เมตรต่อวินาที

ref : http://www.kukkai.org/problems/view/1402


อัตราเร็วที่บินได้เร็วที่สุด = V เมตรต่อวินาที

กำลังเครื่องยนต์ = E วัตต์

น้ำหนักเครื่องบิน = W นิวตัน

ให้ k เป็นค่าคงตัว

$ V = k\frac{E}{W} $

ถ้ากำลังเครื่องบินเป็น 660,000 วัตต์ และเครื่องบินหนัก 121,000 นิวตัน เครื่องบินจะบินเร็วที่สุด 50 เมตรต่อวินาที

$ 50 = k\frac{660000}{121000} $

$k= \frac{55}{6} $


ถ้ากำลังเครื่องบินเป็น 420,000 วัตต์ และเครื่องบินหนัก 110,000 นิวตัน

$V =\frac{55}{6} \times \frac{420000}{110000} $


$V =35 $


ตอบ ข้อ1.

[[T]ime[Z]ero]

ขอถามหน่อยครับ

ปล่อยก้อนหินก้อนหนึ่งจากยอดตึกใน 18 วินาที ก้อนหินจะอยู่สูงจากพื้นดิน 3595.7 ฟุต ในวินาทีที่ 19 ก้อนหินจะอยู่สูงจากพื้น 3000 ฟุต ถ้าระยะทางที่กอนหินตกจากยอดตึกแปรผันโดยตรงกับกำลังสองของเวลาที่ตก ความสูงตึกนี้เท่ากับกี่ฟุต

[poper]

ให้ตึกสูง $x$ ฟุต และสมการการแปรผันคือ $s=kt^2$ จะได้
$x-3595.7=k(18)^2$---(1)
$x-3000 =k(19)^2$----(2)
(2)-(1) $k=16.1$
แทนค่าก็ได้คำตอบแล้วครับ

[[T]ime[Z]ero]

ขอบคุณครับ

เวลาที่ก้อนหินก้อนหนึ่งตกลงมาจากที่สูงมายังพื้นดินแปรผันโดยตรงกับรากที่สองของระยะทางที่วัตถุนั้นตกลงมา ถ้าในวินาทีที่ 16 และ 17 วัตถุตกลงมาเป็นระยะทาง 2.0625 ฟุต ในวินาทีที่เท่าใด วัตถุจึงจะตกลงมาได้ทาง 1 ฟุต

[poper]

สมการการแปรผันคือ $t=k\sqrt{s}$
ให้ระยะทางที่ก้อนหินตกเป็นเวลา 16 วินาที และ $17$ วินาทีคือ $s_1$ และ $s_2$ ตามลำดับ
ดังนั้น $s_2-s_1=2.0625$ และจากสมการการแปรผันจะได้ว่า
$16^2=k^2s_1$---(1)
$17^2=k^2s_2$---(2)
(2)-(1) $17^2-16^2=k^2(s_2-s_1)$
แทนค่าแล้วแก้สมการหา $k$ได้ ครับ

[[T]ime[Z]ero]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

สมการการแปรผันคือ $t=k\sqrt{s}$
ให้ระยะทางที่ก้อนหินตกเป็นเวลา 16 วินาที และ $17$ วินาทีคือ $s_1$ และ $4s_2$ ตามลำดับ
ดังนั้น $s_2-s_1=2.0625$ และจากสมการการแปรผันจะได้ว่า
$16^2=k^2s_1$---(1)
$17^2=k^2s_2$---(2)
(2)-(1) $17^2-16^2=k^2(s_2-s_1)$
แทนค่าแล้วแก้สมการหา $k$ได้ ครับ

ขอบคุณมากฮะ เข้าใจแล้วครับ

[banker]

ถ้า y แปรผันโดยตรงกับ x และแปรผกผันกับ $z^{2}$ และถ้า x เพิ่มขึ้น 4เท่า zลดลง $\frac{1}{3}$ เท่า ค่าของ y จะมีต่าเพิ่มขึ้นเท่าใด


[/quote]
$y = \dfrac{k_1 x}{k_2 z^2} = \dfrac{k_1}{k_2} \cdot \dfrac{x}{z^2}$

$y _1= \dfrac{k_1}{k_2} \cdot \dfrac{4x}{(\frac{2}{3}z)^2} = \dfrac{k_1}{k_2} \cdot \dfrac{x}{z^2} \cdot \dfrac{4 \cdot 9}{4} = \dfrac{k_1}{k_2} \cdot \dfrac{x}{z^2} \cdot \dfrac{9}{1} $

$ \dfrac{y_1}{y} = \dfrac{9}{1}$

เพิ่มขึ้น 9 เท่า

ref : http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=14451

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Cachy-Schwarz

8. รถไฟความเร็วสูงสุด 140km/hr เเละความเร็วที่ลดลงแปรผันรากที่สองของจำนวนรถที่พ่วงเข้ามา
ถ้าความเร็วลดลงเหลือ 110km/hr จะมีรถพ่วง 9 ถามว่าถ้าความเร็วเหลือ 100 km/hr
จะมีรถพ่วงมากที่สุดกี่คัน

ให้ $b$ เป็นจำนวนตู้พ่วง, $v$ ความเร็วที่ลดลง จะได้

$v = k\sqrt{b} $

ถ้าความเร็วลดลงเหลือ 110km/hr จะมีรถพ่วง 9
$30 = k\sqrt{9} $

$k = 10$

ถ้าความเร็วเหลือ 100 km/hr

$ 40 = 10\sqrt{b} $

$b = 16$

ตอบ จะมีรถพ่วงมากที่สุด 16 คัน

ref : http://www.mathcenter.net/forum/show...d=1#post124136

[banker]

ข้อสอบสมาคมคณิตศาสตร์ มัธยมศึกษาตอนต้น ปี2554



$y = a+b$

$a = k_1xv^2$

$b = k_2\frac{1}{\sqrt{v} }$

$ y = k_1xv^2 + k_2\frac{1}{\sqrt{v} } $ ............*


ถ้า $y = 8 $เมื่อ $x = v = 1$

$ 8 = k_1(1)(1^2) + k_2\frac{1}{\sqrt{1} } = k_1+k_2$ .....**


$y = 12, \ \ x = 1.5, \ \ v = 4$

$ 12 = k_1(1.5)(4)^2 + k_2\frac{1}{\sqrt{4} } $

$24 = 48k_1 + k_2$

$24 = 48k_1 +(8-k_1)$

$k_1 = \frac{16}{47}, \ \ \ k_2 = 7\frac{31}{47}$

$x=4, \ \ v =0.25$



$ y = (\frac{16}{47})(4)(0.25)^2 + (7\frac{31}{47})\frac{1}{\sqrt{0.25} } = 15.404 $

ตอบ ข้อ ก

[banker]

ข้อสอบโครงการช้างเผือก21/01/2555





ต้นทุน = b บาท

ค่าคงตัว = a

จำนวนผลิต = c ตัว


b = a + kc ...........(*)

500x190 = a +500k

$k = \frac{500 \times 190 -a}{500}$

ผลิต 100 ตัว ขายตัวละ 350 ได้เงิน 35000 คิดเป็นทุน 50000 บาท

$50000 = a + (\frac{500 \times 190 -a}{500})100$

a = 38750

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Night Baron

2.จำนวนงานที่ทำใน1ชม.แปรผันตรงกับค่าจ้างที่ได้รับใน1ชม.และแปรผกผันกับราที่สองของจำนวนชม.ที่ทำใน1วัน งานชิ้นหนึ่งทำวันละ9ชม.และได้ค่าจ้างชั่วโมงละ2บาทงานเสร็จภายใน6วันจงหาว่าถ้าทำงานชิ้นเดียวกันนี้วันละ16ชม.ได้รับค่าจ้างชม.ละ4.50 บาทงานจะเสร็จภายในกี่วัน

http://www.mathcenter.net/forum/newr...treply&t=15744

$a = \ $จำนวนงานที่ทำใน1ชม

$b = \ $ค่าจ้างที่ได้รับใน1ชม

$c = \ $จำนวนชม.ที่ทำใน1วัน

$a = k_1 \cdot b \cdot k_2 \cdot \frac{1}{\sqrt{c} }$

งานชิ้นหนึ่งทำวันละ9ชม.และได้ค่าจ้างชั่วโมงละ2บาทงานเสร็จภายใน6วัน

$ \frac{1}{9 \cdot 6} = k_1 \cdot 2 \cdot k_2 \cdot \frac{1}{\sqrt{9} }$

$ k_1 k_2 = \frac{1}{36 } $

ถ้าทำงานชิ้นเดียวกันนี้วันละ16ชม.ได้รับค่าจ้างชม.ละ4.50 บาทงานจะเสร็จภายใน m วัน

$\frac{1}{16m} = \frac{1}{36 } \cdot 4.50 \frac{1}{\sqrt{16} }$

$m = 2$