จำนวน

[วิหก]

ขอเเนวคิดด้วยครับ ผมหาได้เเต่จำนวนตัวประกอบของ 2550

โจทย์มีอยู่ว่า ผลบวกทั้งหมดของจำนวนนับที่หาร 2550 ลงตัว มีค่าเท่าใด

[nongtum]

$2550=2\times3\times5^2\times17$ ผลรวมที่ต้องการจึงเป็น $(1+2)(1+3)(1+5+5^2)(1+17)=6696$

[Puriwatt]

วิธีคิดของคุณ Nongtum ยอดเยี่ยมมากเลยครับ

และทำให้พบข้อตระหนักว่าคุณ nongtum ได้รวม 1 ที่เป็นจำนวนนับไว้ด้วยแล้ว

ซึ่งถ้าโจทย์มีตัวเลขง่ายกว่านี้ คงมีคนลืมบวกอีก 1 แน่เลย ขอบคุณมากครับ

[วิหก]

ขอบคุณ คุณ Nongtum มากครับ

[areenart]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nongtum

$2550=2\times3\times5^2\times17$ ผลรวมที่ต้องการจึงเป็น $(1+2)(1+3)(1+5+5^2)(1+17)=6696$

ช่วยอธิบาย สูตรที่มาของ $(1+2)(1+3)(1+5+5^2)(1+17)$..... มายังไง

ขอบคุณมากค่ะ

[\+\SUKEZผู้ยิ่งใหญ่/+/]

สมมตินะครับว่าเราต้องการหาผลรวมของตัวประกอบของ60

จะได้ว่า60มีตัวประกอบคือ $1,2,3,4(2^2),5,6(2*3),10(2*5),12(3*2^2),15(3*5),20(5*2^2),30(2*3*5),60(2^2*3*5)$
จากนั้นก็นำมาจัดรูปเลยครับจะได้ $1+2+3+2^2+5+2*3+2*5+3*2^2+3*5+5*2^2+2*3*5+2^2*3*5$
$(1+2+2^2)(1+3)(1+5)$

หรือใช้หลักที่ต้องมองวิเคราะห์หน่อยนึง(เคยมีคนสอนว่าอย่างนี้ถ้าวิธีไม่โดนใจก็ขออภัยนะครับ)คือลองนึกดูว่าตัวประกอบที่หาร6 0ลงตัวทั้งหมดมันก็เกิดจากการเลือกตัวเลขในตัวประกอบของ$60(2^2*3*5)$มาจับกลุ่มกันเกิดเป็นตัวเลขใหม่ๆที่หาร60ลงตัวอ่ะครับ...ไม่เก็ท ก็ขออภัยด้วยนะครับ

[ภูษิต นวลพิจิตร]

ตามความเข้าใจของผมนะคับ

แยกตัวประกอบได้ $2\times3\times5^2\times17$

ถ้าหาจำนวนตัวประกอบเราจะได้ $(1+1)(1+1)(1+2)(1+1)$ ซึ่งมันก้อมาจาก $2^0 , 2^1 $ และก้อเลขที่เหลือมาเขียน ซึง่ทำให้เกิดสูตรที่เขาให้จำว่าเอาเลขชี้กำลังบวกกับ 1 มาคูณกัน ไอ้ที่บวกหนึ่งก้อคือตัวมันกำลัง 0 อ่ะแหละ และมันก้อเกี่ยวโยงกับความน่าจะเป็นที่เลขจะจับคู่กันหรือสามตัวหรือกี่ตัวก้อได้ไม่ไม่จำกัดก้อได้

การบวกก้อเช่นกัน

เขียนในรูปเลขชี้กำลังเรียงกัน บวกกันตั้งแต่กำลัง 0 ไปถึงกำลังสูงสุดที่แยกตัวประกอบได้ แล้วจับทุกตัวคูณกันก้อจะได้คำตอบของผลบวกตัวประกอบ

คือ

$(2^0+2^1)(3^0+3^1)(5^0+5^1+5^2)(17^0+17^1)$ ก้อจะได้คำตอบแล้วคับ

แต่ขอย้ำว่าจะทำแบบนี้ได้ต้องเขียนให้ฐานเป็นจำนวนเฉพาะนะคับ

[catengland]

มันแยกตามหลักมูลเลขคณิต Fundamental Thorem of Arithmetic

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nongtum

$2550=2\times3\times5^2\times17$ ผลรวมที่ต้องการจึงเป็น $(1+2)(1+3)(1+5+5^2)(1+17)=6696$

ตามความเข้าใจของผมนั้นเป็นแบบนี้ครับ
$2550 =2\times3\times5^2\times17$เราสร้างจำนวนนับที่หาร$2550$ลงตัวด้วยการเลือกหยิบจากกองของ$(2^0,2^1)$, $(17^0,17^1)$,$(5^0,5^1,5^2)$, $(3^0,3^1)$ มากองละ1จำนวนเท่านั้น ผมขอเลือกกองที่มีจำนวนน้อยก่อน เพื่อดูรูปแบบ คือกองของเลข$17$และ$2$
$2^0.17^0.3^0.5^0 +2^0.17^0.3^0.5^1+2^0.17^0.3^0.5^2$ กับ
$2^0.17^0.3^1.5^0 +2^0.17^0.3^1.5^1+2^0.17^0.3^1.5^2$
ทั้งสองนั้นมีตัวประกอบร่วมกันคือ$2^0.17^0$ และมีพจน์$5^0+5^1+5^2$ข้างในเหมือนกันจะได้ว่า$2^0.17^0[3^0(5^0+5^1+5^2)+3^1(5^0+5^1+5^2)]$ ทีนี้ก็ดึง$5^0+5^1+5^2$ ออกมาจัดได้เป็น
$2^0.17^0(3^0+3^1)(5^0+5^1+5^2)$ เช่นเดียวกับการเลือกเป็น$17^0.2^1$,$17^1.2^1$ และ$17^1.2^1$ นำมาดึงตัวประกอบร่วมจึงได้เป็น $(2+1)(17+1)(1+3)(1+5+5^2)$
ผมเข้าใจตามความรู้เดิมที่มีครับ...เหลือติดหัวเท่านี้ครับ
ดังนั้นพอสรุปเล่นๆว่าถ้า$x=m^a.n^b.p^c.r^d$....ผลบวกของจำนวนนับที่หาร$x$ลงตัวเท่ากับ$(1+m+m^2+m^3+...+m^a)(1+n+n^2+...+n^b)(1+p+ p^2+...+p^c)(1+r+r^2+..+r^d)$....คิดเล่นๆ คงต้องใช้วิธีพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ นี่เป็นเพียงข้อสังเกตุ ผิดก็ได้ถูกก็ได้

[areenart]

ขอบคุณทุกคำอธิบายค่ะ ยากจัง ................