วิธีหาคำตอบ

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

จงหาค่าของ $\!x_{48}\;\;เมื่อ \;\;x_{n+1}=3-\frac{3}{x_n}\;และ\;x_1=4\;$

อยากทราบวิธีทำ ที่ไม่ได้เกิดจากการสังเกตการวนของค่า x ครับ

[nooonuii]

ให้ $g(x)=\dfrac{3x-3}{x}$

$g$ เป็น Mobius transformation ที่มี order เท่ากับ $6$ นั่นคือ $g^6(x)=x$ เมื่อ $g^6$ หมายถึง $g$ composite กัน $6$ ครั้ง

ดังนั้น

$x_{n+1}=g(x_n)$

$x_{n+2}=g^2(x_n)$

$x_{n+3}=g^3(x_n)$

$x_{n+4}=g^4(x_n)$

$x_{n+5}=g^5(x_n)$

$x_{n+6}=g^6(x_n)=x_n$

ในการหา order ของ $g$ สามารถใช้ matrix representation ของ $g$ ในรูป

$M=\bmatrix{3 & -3 \\ 1 & 0} $

จากนั้นถ้าจะหา $g^k$ ก็แค่หา $M^k$ ครับ

ในที่นี้ $M^6=\bmatrix{-27 & 0 \\ 0 & -27} $

ซึ่งเมื่อแปลงกลับจะเป็นฟังก์ชันเอกลักษณ์พอดี

[~ArT_Ty~]

แล้วเราจะหา matrix representation ของฟังก์ชันได้ยังไงอ่ะครับ??

[nooonuii]

Mobius transformation

$f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d},ad-bc\neq 0$ จะมี stand อ๊ะไม่ใช่

มี matrix representation คือ $M_f=\bmatrix{a & b \\ c & d} $

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

Mobius transformation

$f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d},ad-bc\neq 0$ จะมี stand อ๊ะไม่ใช่

มี matrix representation คือ $M_f=\bmatrix{a & b \\ c & d} $

แล้วจำเป็นหรือเปล่าครับที่ทุกอันจะสามารถแปลงจนกลายเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์อ่ะครับ??

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

แล้วจำเป็นหรือเปล่าครับที่ทุกอันจะสามารถแปลงจนกลายเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์อ่ะครับ??

ไม่จำเป็นครับ ยกตัวอย่างเช่น $f(x)=x+1$ ก็เป็น Mobius transformation แบบหนึ่ง แต่จะเห็นว่า composite กันยังไงก็ไม่กลับมาเป็นฟังก์ชันเอกลักษณ์ แบบนี้เรียกว่ามี infinite order ครับ