ขอถามอีกครั้ง

ธนบัตรมีหมายเลข 0000 0000 - 9999 9999 ให้ธนบัตรที่ผลรวมของ 4 หลักแรกเท่ากับผลรวมของ 4 หลักหลังเป็นธนบัตรพิเศษ ให้พิสูจน์ว่าธนบัตรพิเศษมีจำนวนเท่ากับธนบัตรที่มีผลรวมของ 8 หลัก เป็น 36
ที่มีคนถามไปแล้วครับอ่านแล้วไม่ค่อยเข้าใจช่วยอธิบายหน่อยครับ

สงสัยตอบแบบรวบรัดไปหน่อยเลยอ่านกันไม่เข้าใจ
จะอธิบายหลักการโดยรวมทั้งหมดเพื่อให้เห็นภาพ

เริ่มต้นจาก
1) หาจำนวนธนบัตรที่มีผลรวมของเลข 4 หลักแรก เท่ากับผลรวมของเลข 4 หลักหลัง
2) หาจำนวนธนบัตรที่มีผลรวมของเลขทั้ง 8 หลัก เป็น 36
3) เปรียบเทียบจำนวนธนบัตร ในข้อ 1 และ 2 ว่าเท่ากันหรือไม่ ถ้าเท่ากันก็จบการพิสูจน์


1) หาจำนวนธนบัตรที่มีผลรวมของเลข 4 หลักแรก เท่ากับผลรวมของเลข 4 หลักหลัง
เราจะแบ่งออกเป็นขั้นตอนย่อยดังนี้

1.1) หาจำนวนธนบัตรที่มีผลรวมของเลข 4 หลักแรก เป็นเลข 0 , 1 , 2 , ... , 36 ตามลำดับ (เนื่องจากผลรวมที่น้อยที่สุดมาจาก 0000 และผลรวมที่มากที่สุดมาจาก 9999)
1.2) หาจำนวนธนบัตรที่มีผลรวมของเลข 4 หลักหลัง เป็นเลข 0 , 1 , 2 , ... , 36 ตามลำดับ กรณีนี้เราจะพบว่า ได้จำนวนเหมือนในข้อ 1.1
1.3) หาผลรวมของ ผลคูณของจำนวนธนบัตรในข้อ 1.1 และ 1.2 ที่มีผลรวมของเลข 4 หลักเท่ากัน กรณีนี้เราจะพบว่า คือผลรวมของ กำลังสองของจำนวนธนบัตรในข้อ 1.1 นั่นเอง

2) หาจำนวนธนบัตรที่มีผลรวมของเลขทั้ง 8 หลัก เป็น 36
ข้อนี้ไม่ยากแล้ว ถ้าเราสามารถทำข้อ 1.1 ได้ ข้อนี้เพียงแต่เพิ่มจำนวนหลักเป็น 8 หลัก เท่านั้นเอง

3) เปรียบเทียบจำนวนธนบัตร ในข้อ 1 และ 2 ว่าเท่ากันหรือไม่ ถ้าเท่ากันก็จบการพิสูจน์
ข้อนี้ยิ่งง่ายเข้าไปใหญ่

พิจารณาดูแล้ว ข้อ 1.1 นี่เป็นหัวใจสำคัญที่สุดในการแก้ปัญหาของโจทย์ข้อนี้

1.1) หาจำนวนธนบัตรที่มีผลรวมของเลข 4 หลักแรก เป็นเลข 0 , 1 , 2 , ... , 36 ตามลำดับ
ข้อนี้เหมือนกับการตั้งโจทย์ 37 ข้อ คือ

การหาจำนวนธนบัตรที่มีผลรวมของเลข 4 หลักแรก เป็นเลข 0
การหาจำนวนธนบัตรที่มีผลรวมของเลข 4 หลักแรก เป็นเลข 1
การหาจำนวนธนบัตรที่มีผลรวมของเลข 4 หลักแรก เป็นเลข 2
.....................................................................................
การหาจำนวนธนบัตรที่มีผลรวมของเลข 4 หลักแรก เป็นเลข 36

ดังนั้น เราอาจตั้งโจทย์นี้เป็น การหาจำนวนธนบัตรที่มีผลรวมของเลข 4 หลักแรก เป็นเลข x เพื่อให้มันเป็นกรณีทั่วไป
สมมติว่าเลข 4 หลักแรกคือ abcd ดังนั้นจะได้ว่า
a + b + c + d = x โดยที่ a,b,c,d เป็นจำนวนเต็ม และ 0 <= a,b,c,d <= 9
จำนวนธนบัตรที่มีผลรวมของเลข 4 หลักแรก เป็นเลข x จึงเท่ากับ จำนวนคำตอบในการเลือก a,b,c,d ที่ทำให้สมการนี้เป็นจริง
และนี่คือปัญหาที่สำคัญที่สุดในข้อ 1.1 นี่เอง

จำนวนคำตอบในการเลือก a,b,c,d ที่ทำให้ a + b + c + d = x โดยที่ a,b,c,d เป็นจำนวนเต็ม และ 0 <= a,b,c,d <= 9

เงื่อนไขในโจทย์ข้อนี้ยังยากเกินไปที่จะแก้เสร็จในขั้นตอนเดียว เราลองพิจารณาโจทย์ที่ง่ายกว่านี้ คือ
จำนวนคำตอบในการเลือก a,b,c,d ที่ทำให้ a + b + c + d = x โดยที่ a,b,c,d เป็นจำนวนเต็ม และ 0 <= a,b,c,d

ก่อนที่เราจะเริ่มแก้โจทย์ข้อนี้ ขอให้ลองพิจาณาโจทย์แนวเดียวกัน ที่บางคนอาจคุ้นเคยดีอยู่แล้ว
จงหาจำนวนวิธีในการแจกสิ่งของเหมือนกัน n ชิ้น ให้คน r คน โดยทุกคนต้องได้รับสิ่งของอย่างน้อย 1 ชิ้น
ปัญหาข้อนี้แก้โดยใช้หลัก นำของ n ชิ้นมาวางเรียงกันเป็นเส้นตรง จะมีที่ว่างระหว่างของแต่ละชิ้นทั้งหมด n - 1 ที่ว่าง นำไม้หรือที่กั้นจำนวน r - 1 อัน มาเสียบกั้นตรงที่ว่างเหล่านี้ ทำให้แบ่งสิ่งของออกเป็น r กลุ่ม สิ่งของในแต่ละกลุ่มจะให้กับคนแต่ละคนไป ทุกคนจึงได้รับสิ่งของอย่างน้อยคนละ 1 ชิ้น ดังนั้นวิธีการนำไม้หรือที่กั้นมาเสียบลงในช่องว่าง จึงเป็นวิธีในการแจกสิ่งของทั้งหมด
เนื่องจาก มีที่ว่างอยู่ n - 1 ที่ว่าง เลือกมาให้ไม้หรือที่กั้นเสียบ r - 1 ที่ จึงทำได้ทั้งหมดคือ ((n - 1) C (r - 1)) วิธี

ทีนี้ถ้าเรากำหนดเงื่อนไขใหม่ โดยอาจมีบางคนไม่ได้รับสิ่งของเลย จะทำได้ทั้งหมดกี่วิธี
ปัญหานี้แก้ได้โดยอาศัยลูกเล่นนิดหน่อย คือ เราจะเพิ่มจำนวนสิ่งของที่ใช้ในการแจกเท่ากับจำนวนคนทั้งหมด หลังจากแจกสิ่งของโดยทุกคนได้รับสิ่งของอย่างน้อยคนละ 1 ชิ้นแล้ว เราจะเรียกคืนสิ่งของจากทุกคนมา 1 ชิ้น ดังนั้นคนที่ได้รับแจกสิ่งของไป 1 ชิ้นในตอนแรก จะกลายเป็นคนที่ไม่ได้รับแจกสิ่งของเลยนั่นเอง
จากลูกเล่นนี้ทำให้ได้ว่า จำนวนวิธีทั้งหมดคือ ((n + r - 1) C (r - 1)) วิธี

กลับมามองที่โจทย์ของเราอีกครั้ง
จำนวนคำตอบในการเลือก a,b,c,d ที่ทำให้ a + b + c + d = x โดยที่ a,b,c,d เป็นจำนวนเต็ม และ 0 <= a,b,c,d
โจทย์นี้ก็เหมือนกับการแจกสิ่งของ(ตัวเลข 1)เหมือนกันจำนวน x ชิ้น ให้กับคน 4 คน(a,b,c,d) โดยที่อาจมีบางคนไม่ได้รับสิ่งของเลย จำนวนสิ่งของ(จำนวนตัวเลข 1)ที่แต่ละคนได้รับก็คือค่าของ a,b,c,d ที่สมการนี้เป็นจริงนั่นเอง(จำนวนสิ่งของที่ทุกคนได้รับ รวมกันแล้วเป็น x ชิ้น)
ดังนั้น จำนวนคำตอบในการเลือก a,b,c,d ที่ทำให้ a + b + c + d = x โดยที่ a,b,c,d เป็นจำนวนเต็ม และ 0 <= a,b,c,d คือ
((x + 4 - 1) C ( 4 - 1)) = ((x + 3) C 3) วิธี

เรามาลองดูโจทย์ที่ซับซ้อนขึ้นไปอีก
จำนวนคำตอบในการเลือก a,b,c,d ที่ทำให้ a + b + c + d = x โดยที่ a,b,c,d เป็นจำนวนเต็ม และ 0 <= a,b,c,d และ 10 <= a

เป็นการเพิ่มเงื่อนไขที่ทำให้ a ต้องมากกว่าหรือเท่ากับ 10 เข้าไปด้วย การแก้ปัญหานี้ทำได้ง่ายมาก โดยการแจกตัวเลข 1 จำนวน 10 ตัว ไปให้กับ a เลยตั้งแต่แรก จึงเหลือตัวเลข 1 ให้แจกอีก x - 10 ตัว แจกตามปกติอย่างที่ทำมา ก็จะได้ว่ามีเพียง a เท่านั้นที่มีค่าตั้งแต่ 10 ขึ้นไป ในขณะที่ b,c,d มีค่าตั้งแต่ 0 ขึ้นไป
ดังนั้น จำนวนคำตอบในการเลือก a,b,c,d ที่ทำให้ a + b + c + d = x โดยที่ a,b,c,d เป็นจำนวนเต็ม และ 0 <= a,b,c,d และ 10 <= a คือ ((x + 3 - 10) C 3) = ((x - 7) C 3) วิธี

ในทำนองเดียวกันจะได้ว่า

จำนวนคำตอบในการเลือก a,b,c,d ที่ทำให้ a + b + c + d = x โดยที่ a,b,c,d เป็นจำนวนเต็ม และ 0 <= a,b,c,d และ 10 <= a,b คือ ((x + 3 - 20) C 3) = ((x - 17) C 3) วิธี

จำนวนคำตอบในการเลือก a,b,c,d ที่ทำให้ a + b + c + d = x โดยที่ a,b,c,d เป็นจำนวนเต็ม และ 0 <= a,b,c,d และ 10 <= a,b,c คือ ((x + 3 - 30) C 3) = ((x - 27) C 3) วิธี

จำนวนคำตอบในการเลือก a,b,c,d ที่ทำให้ a + b + c + d = x โดยที่ a,b,c,d เป็นจำนวนเต็ม และ 0 <= a,b,c,d และ 10 <= a,b,c,d คือ ((x + 3 - 40) C 3) = ((x - 37) C 3) วิธี

เราจะนำจำนวนวิธีหลายๆอย่างที่หามาได้ ช่วยแก้ปัญหา
จำนวนคำตอบในการเลือก a,b,c,d ที่ทำให้ a + b + c + d = x โดยที่ a,b,c,d เป็นจำนวนเต็ม และ 0 <= a,b,c,d <= 9
ได้อย่างไร ?

หากเรากำหนดให้เอกภพสัมพัทธ์ คือ การเลือก a,b,c,d ที่ทำให้ a + b + c + d = x โดยที่ a,b,c,d เป็นจำนวนเต็ม และ 0 <= a,b,c,d

A คือเงื่อนไขที่ทำให้ a <= 9
B คือเงื่อนไขที่ทำให้ b <= 9
C คือเงื่อนไขที่ทำให้ c <= 9
D คือเงื่อนไขที่ทำให้ d <= 9

โดยอาศัยหลักการรวมเข้าและหักออก(ลองไปอ่านบทความเรื่องนี้ดูก่อนละกัน) จะได้ว่า
N(ABCD) = N - (N(~A) + N(~B) + N(~C) + N(~D))
+ (N(~A~B) + N(~A~C) + N(~A~D) + N(~B~C) + N(~B~D) + N(~C~D))
- (N(~A~B~C) + N(~A~B~D) + N(~A~C~D) + N(~B~C~D))
+ N(~A~B~C~D)

เนื่องจาก N(~A) = N(~B) = N(~C) = N(~D)
และ N(~A~B) = N(~A~C) = N(~A~D) = N(~B~C) = N(~B~D) = N(~C~D)
และ N(~A~B~C) = N(~A~B~D) = N(~A~C~D) = N(~B~C~D)
ดังนั้นจะได้ว่า
N(ABCD) = N - 4N(~A) + 6N(~A~B) - 4N(~A~B~C) + N(~A~B~C~D)
หรือเขียนเป็นคำพูดออกมาได้ว่า

จำนวนคำตอบของสมการ a + b + c + d = x โดยที่ 0 <= a,b,c,d <= 9 คือ
จำนวนคำตอบของสมการ a + b + c + d = x โดยที่ 0 <= a,b,c,d
- 4 * จำนวนคำตอบของสมการ a + b + c + d = x โดยที่ 10 <= a (มาจาก a > 9 นั่นเอง)
+ 6 * จำนวนคำตอบของสมการ a + b + c + d = x โดยที่ 10 <= a,b (มาจาก a,b > 9 นั่นเอง)
- 4 * จำนวนคำตอบของสมการ a + b + c + d = x โดยที่ 10 <= a,b,c (มาจาก a,b,c > 9 นั่นเอง)
+ จำนวนคำตอบของสมการ a + b + c + d = x โดยที่ 10 <= a,b,c,d (มาจาก a,b,c,d > 9 นั่นเอง)

แทนค่าลงไปจะได้ว่า
= ((x + 3) C 3) - 4((x - 7) C 3) + 6((x - 17) C 3) - 4((x - 27) C 3) + ((x - 37) C 3)
่ถ้าสังเกตให้ดีจะพบว่า เงื่อนไขที่ 10 <= a,b,c,d หรือเงื่อนไขสุดท้ายนี้ ไม่มีทางเกิดขึ้นได้จริง เพราะผลรวมที่มากที่สุดคือ 36 เท่านั้น จึงตัดเทอมนี้ทิ้งไปได้ จึงได้
= ((x + 3) C 3) - 4((x - 7) C 3) + 6((x - 17) C 3) - 4((x - 27) C 3)
อย่างไรก็ตามค่าของ x ในแต่ละช่วง จะมีบางเงื่อนไขที่ไม่มีทางเกิดขึ้นได้จริงเช่นกัน จึงต้องมีการตัดบางเทอมทิ้งไป หรือคิดง่ายๆว่า ถ้า n < r แล้วจะได้ว่า (n C r) = 0

หลังจากแทนค่า x ตั้งแต่ 0 , 1 , 2 , ... , 36 แล้ว จึงได้จำนวนคำตอบของสมการนี้ หรือจำนวนธนบัตรที่มีผลรวมของเลข 4 หลักแรก เป็นเลข 0 , 1 , 2 , ... , 36 ตามลำดับ คือ
1 , 4 , 10 , 20 , 35 , 56 , 84 , 120 , 165 , 220 , 282 , 348 , 415 , 480 , 540 , 592 , 633 , 660 , 670 , 660 , 633 , 592 , 540 , 480 , 415 , 348 , 282 , 220 , 165 , 120 , 84 , 56 , 35 , 20 , 10 , 4 , 1 ตามลำดับ

เป็นอันสิ้นสุด การแก้ปัญหาข้อ 1.1 ข้อที่เหลือก็ไม่มีอะไรยากแล้ว สามารถทำต่อเองได้