ข้อสอบประกายกุหลาบ ม.ต้น ครั้งที่ 10 ปี 2555

[BLACK-Dragon]

ข้อนี้เขาพิมพ์โจทย์ผิดหรือเปล่าครับตรง $(c)(10^{20})(2^9)$ อ่ะจาก 20 ต้องเป็น 24 รึเปล่าเอ่ย ถ้าใช่นะครับ

$P=10^2 \cdot 2^5 \left(\,a \cdot 10^{24}+b\cdot 10^{23} \cdot 4 +...+ x \cdot 10 \cdot 4^{23}+y\cdot 4^{24}\right) $

ซึ่งข้อมูลที่ให้มาคือ Pascal's Triangle ดังนั้น

$P=10^2 \cdot 2^5 (10+4)^{24}$

$ \ \ = 2^{31} \cdot 5^2 \cdot 7^{24}$

$7^8 -1$ หารด้วย 5 ลงตัว

N=8

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

มาบรรทัดสุดท้ายใช้ อสมการ อะไรหรอครับ

$(x+1)(y+1)(z+1) \geq 8\sqrt{xyz}$

$\dfrac{x+y+z}{3} \geq \sqrt[3]{xyz}$

$ xyz \ge \sqrt{27}$

$\therefore \dfrac{1}{(x+1)(y+1)(z+1)} \leq \dfrac{1}{8\sqrt[4]{27}}$

[BLACK-Dragon]

$-x^2+15x+100=(20-x)(x+15)$

$\sqrt{-(20-x)(5+x)} \geq 0$

$ \therefore 20 \geq x \geq 0$

$\sqrt{x^2+10x-504} \geq 0$

$\sqrt{(x-18)(x+28)} \ge 0$

$\therefore x\geq 18 $

ดังนั้น $20 \geq x \geq 18$

แทนค่า 3 ค่านี้พบว่า 18 ใช้ได้เพียง 1 ตัวเท่านั้น

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

Attachment 7718

ให้ $A(x_0,y_0)$ เป็นจุดสัมผัส
หาค่าของ $dy/dx$ $$2x+2y\frac{dy}{dx}+9+9\frac{dy}{dx}=0\leftrightarrow (2y+9)\frac{dy}{dx}=-2x-9\leftrightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{-2x-9}{2y+9}$$
จะได้ว่าความชันของสมการเส้นตรงที่สัมผัสกราฟของเส้นโค้งคือ $$\frac{dy}{dx}|(x_0,y_0)\leftrightarrow -1=\frac{-2x_0-9}{2y_0+9} \therefore x_0=y_0$$
เเละกราฟเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นตรงที่เป็นเส้นสัมผัสของวงกลมที่จุด $A$ คือ $y=x+c$
เเทน $x_0=y_0\therefore c=0$ นั่นคือสมการคือ $y=x$

[จูกัดเหลียง]

ได้เเบบนี้อ่ะครับ $$\sum_{cyc}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\le \sum_{cyc} \frac{1}{\sqrt{2x}}\le 3\sqrt[6]{\frac{1}{8xyz}}\le \frac{3}{8\times 27}=\sqrt{\frac{3}{2}}$$

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

ได้เเบบนี้อ่ะครับ $$\sum_{cyc}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\le \sum_{cyc} \frac{1}{\sqrt{2x}}\le 3\sqrt[6]{\frac{1}{8xyz}}\le \frac{3}{8\times 27}=\sqrt{\frac{3}{2}}$$

$ \displaystyle \sum_{cyc} \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \geq 3 \sqrt[6]{\dfrac{1}{8xyz}}$ ครับ

[mini-j]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ NoTNoT

ข้อเจ็ด ตอน สุดท้ายอ้ะ จากการสันนิษฐานของผม.....คนร้ายมีเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น เขาคนนั้นคือ ............เต๊ะ(มั้ง)
และเขียน เลข 1จำนวน 3 ตัว เลข 0 จำนวน 4 ตัว จาก blood ---> 1010001

ตอบเต๊ะเหมือนกัน แต่คำว่าbloodเขาบอกว่าพลิกกระดาษกลับหลังแนวซ้ายขวาด้วย
น่าจะได้1000101ฐาน2 =69ฐาน10ปะ แต่คำถามถามว่าพิมพ์เลขศูนย์และหนึ่งอย่างละกี่ตัว
งงเลย อุตส่าห์คิดมาเยอะๆ

[จูกัดเหลียง]

#66 จริงด้วยเเฮะ 555 เเต่ยังไงผมว่าสูงสุดน่าจะเป็น $3/2$ อ่ะ เเต่พิสูจน์เเล้วตกขอบอยู๋ -*-

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

#66 จริงด้วยเเฮะ 555 เเต่ยังไงผมว่าสูงสุดน่าจะเป็น $3/2$ อ่ะ เเต่พิสูจน์เเล้วตกขอบอยู๋ -*-

จริงๆ มันก็ 3/2 อ่ะแหละครับ

เปิด Hojoolee แล้ว ลองกดของผมดูWolfram Alpha

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

จริงๆ มันก็ 3/2 อ่ะแหละครับ

เปิด Hojoolee แล้ว ลองกดของผมดูWolfram Alpha

ได้เเล้ว 555 ตอนเเรกเปลี่ยน $a=1/x^2$ ก่อนนะครับ เเล้วเปลี่ยนกลับไปใช้ตัวเเปรเดิม (ชอบ $x,y,z$ 555+)
เเทน $a=1/x^2,b=1/y^2,c=1/z^2$ จะได้ว่า $a+b+c\ge 1$
จึงต้องการพิสูจน์ $$\sqrt{\frac{a}{1+a}}+\sqrt{\frac{b}{1+b}}+\sqrt{\frac{c}{1+c}}\le \frac{3}{2}$$
เเต่ จาก $a+b+c\ge 1$ เเละโดยโคชี จะได้ $$\sum_{cyc} \sqrt{\frac{a}{1+a}}\le \sum_{cyc} \sqrt{\frac{a}{2a+b+c}}\le \sqrt{3}\sqrt{\sum_{cyc}\frac{a}{2a+b+c}}$$
จึงเหลือเเค่พิสูจน์ว่า $$\sum_{cyc}{\frac{a}{2a+b+c}}\le \frac{3}{4} \leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{(a+b+c)^2}{(2a+b+c)(a+b+c)}\ge \frac{9}{4}$$
พิจารณาโดยโคชี $$\sum_{cyc} \frac{(a+b+c)^2}{(2a+b+c)(a+b+c)}\ge \frac{(3(a+b+c))^2}{3(a^2+b^2+c^2)+9(ab+bc+ca)}$$ $$=\frac{3(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ca)}\ge \frac{9}{4}$$

[banker]

ข้อนี้มีหลายคำตอบ

ถ้าจะเอาให้ตรงกับใน choice ก็มี 2 คำตอบ



① + ② + ③ - (④ + ⑤) = 40 + 60 +40 - (60 + 40) = 40

ตอบ $40^\circ $

อีก choice ตอบ $25^\circ $ ก็แบบนี้

① + ② + ③ - (④ + ⑤) = (35+55+40) - (70 + 35) = 25




ขออภัย คำตอบ $40^\circ $ ผิดครับ


AEC เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า และ ABE เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

ดังนั้น AB = AC

แต่มุมในรูป มุมที่ฐาน B กับ C ไม่เท่ากัน จึงผิด


ดังนั้นข้อนี้ตอบ $25^\circ \ $ครับ

[banker]

ข้อมูลภาคบังคับตามโจทย์








พ่อของสมศรีชื่อ สมหมาย

[Amankris]

#71
มีคำตอบที่แน่นอนคำตอบเดียวนะครับ

[banker]

พื้นที่ทั้งหมด = 5 เท่าของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

เราจะหาว่าพื้นที่แรเงาเป็นอัตราส่วนเท่าไรของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ตัดมา 1 สี่เหลี่ยมด้านขนานจะได้ดังรูป


เส้นทแยงมุมแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน จะได้อัตรส่วน DE : EB =1 : 1


2(2x+y) = 3y+2y

4x = 3y

พื้นที่ BCD = 2x + 6y = 2x +8x = 10x

ดังนั้นพื้นที่แรเงา DEF = $\frac{1}{10}BCD = \frac{1}{20} $พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน


ทำนองเดียวกัน

พื้นที่แรเงา DEP = $\frac{1}{14} \ $สี่เหลี่ยมด้านขนาน

ดังนั้น 4 พื้นที่แรเงาเท่ากับ $4( \frac{1}{20}+ \frac{1}{14}) = \frac{17}{35}$พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน

$\frac{พื้นที่แรเงา}{พื้นที่ทั้งหมด} = \frac{ \frac{17}{35}}{5} = \frac{17}{175}$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

#71
มีคำตอบที่แน่นอนคำตอบเดียวนะครับ

ขอบคุณครับ แก้ไขแล้วครับ