ทำไม รูท 2 จึงเป็นจำนวน อตรรกยะช่วยหา คำตอบทีครับ

-

ลองพิจารณาเล่นๆนะ

สมมติว่า sqrt(2) เป็นจำนวนตรรกยะ ดังนั้น sqrt(2) ต้องเขียนได้ในรูปของ p / q โดยที่ p , q เป็นจำนวนเต็มบวก และหรม.(p,q) = 1 หรือ
sqrt(2) = p / q
ยกกำลังสองทั้งสองข้างจะได้ 2 = (p * p) / (q * q)
ดังนั้น p * p = 2 * q * q
แสดงว่า p ต้องมี 2 เป็นตัวประกอบ จึงสามารถเขียนได้ในรูป p = 2 * m
แทนค่ากลับลงไปในสมการจะได้ว่า 4 * m * m = 2 * q * q
นั่นคือ q * q = 2 * m * m
แสดงว่า q ต้องมี 2 เป็นตัวประกอบเช่นกัน
แต่เนื่องจากทั้ง p และ q ต่างก็มี 2 เป็นตัวประกอบ ทำให้ได้ว่า หรม.(p,q) >= 2 ขัดแย้งกับเงื่อนไข หรม.(p,q) = 1 ทำให้สรุปได้ว่า sqrt(2) ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ และเรากำหนดไว้ว่าเซ็ตของจำนวนจริงที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ ต้องเป็นจำนวนอตรรกยะ ดังนั้น sqrt(2) จึงเป็นจำนวนอตรรกยะ

ลองพิจารณา sqrt(3) อีกสักตัวอย่าง
สมมติว่า sqrt(3) เป็นจำนวนตรรกยะ แสดงว่า sqrt(3) ต้องเขียนได้ในรูปของ p / q โดยที่ p , q เป็นจำนวนเต็มบวก และหรม.(p,q) = 1 หรือ
sqrt(3) = p / q
ยกกำลังสองทั้งสองข้างจะได้ 3 = (p * p) / (q * q)
ดังนั้น p * p = 3 * q * q
แสดงว่า p ต้องมี 3 เป็นตัวประกอบ จึงสามารถเขียนได้ในรูป p = 3 * m
แทนค่ากลับลงไปในสมการจะได้ว่า 9 * m * m = 3 * q * q
นั่นคือ q * q = 3 * m * m
แสดงว่า q ต้องมี 3 เป็นตัวประกอบเช่นกัน
แต่เนื่องจากทั้ง p และ q ต่างก็มี 3 เป็นตัวประกอบ ทำให้ได้ว่า หรม.(p,q) >= 3 ขัดแย้งกับเงื่อนไข หรม.(p,q) = 1 ทำให้สรุปได้ว่า sqrt(3) ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ และเรากำหนดไว้ว่าเซ็ตของจำนวนจริงที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ ต้องเป็นจำนวนอตรรกยะ ดังนั้น sqrt(3) จึงเป็นจำนวนอตรรกยะ

ลองพิจารณา sqrt(4) อีกสักตัวอย่าง
สมมติว่า sqrt(4) เป็นจำนวนตรรกยะ แสดงว่า sqrt(4) ต้องเขียนได้ในรูปของ p / q โดยที่ p , q เป็นจำนวนเต็มบวก และหรม.(p,q) = 1 หรือ
sqrt(4) = p / q
ยกกำลังสองทั้งสองข้างจะได้ 4 = (p * p) / (q * q)
ดังนั้น p * p = 4 * q * q
แสดงว่า p ต้องมี 4 เป็นตัวประกอบ จึงสามารถเขียนได้ในรูป p = 4 * m !!! จะทำมั่วๆโดยเลียนแบบ 2 จำนวนข้างบน ไม่ได้แล้วนะ ขืนมั่วแบบนี้ต่อไป จะสรุปได้เลยว่า sqrt(a) เป็นจำนวนอตรรกยะเสมอ !!!
เนื่องจาก 4 = 2 * 2 ดังนั้นจึงสรุปได้แต่เพียงว่า p ต้องมี 2 เป็นตัวประกอบ(แบ่งครึ่งกันไป)เท่านั้น จึงสามารถเขียนได้ในรูป p = 2 * m
แทนค่ากลับลงไปในสมการจะได้ว่า 4 * m * m = 4 * q * q
นั่นคือ m = q หรือ p = 2 * q ไม่ได้ให้ข้อมูลอะไรเพิ่มเลยนี่นะ แก้สมการข้างบนก็ได้ผลแบบเดียวกัน
sqrt(4) = p / q = 2 เป็นจำนวนตรรกยะจริง (ความจริงแล้วแค่บอกว่า sqrt(4) = 2 ก็พิสูจน์ได้แล้วว่า sqrt(4) เป็นจำนวนตรรกยะ)

ลองพิจารณา sqrt(6) อีกสักตัวอย่าง
สมมติว่า sqrt(6) เป็นจำนวนตรรกยะ แสดงว่า sqrt(6) ต้องเขียนได้ในรูปของ p / q โดยที่ p , q เป็นจำนวนเต็มบวก และหรม.(p,q) = 1 หรือ
sqrt(6) = p / q
ยกกำลังสองทั้งสองข้างจะได้ 6 = (p * p) / (q * q)
ดังนั้น p * p = 6 * q * q
แสดงว่า p ต้องมี 6 เป็นตัวประกอบ จึงสามารถเขียนได้ในรูป p = 6 * m (กรณีนี้ เขียนแบบนี้ได้เพราะ 6 = 2 * 3 แบ่งครึ่งกันไม่ลงตัว)
แทนค่ากลับลงไปในสมการจะได้ว่า 36 * m * m = 6 * q * q
นั่นคือ q * q = 6 * m * m
แสดงว่า q ต้องมี 6 เป็นตัวประกอบเช่นกัน
แต่เนื่องจากทั้ง p และ q ต่างก็มี 6 เป็นตัวประกอบ ทำให้ได้ว่า หรม.(p,q) >= 6 ขัดแย้งกับเงื่อนไข หรม.(p,q) = 1 ทำให้สรุปได้ว่า sqrt(6) ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ และเรากำหนดไว้ว่าเซ็ตของจำนวนจริงที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ ต้องเป็นจำนวนอตรรกยะ ดังนั้น sqrt(6) จึงเป็นจำนวนอตรรกยะ

ลองพิจารณา sqrt(12) อีกสักตัวอย่าง
สมมติว่า sqrt(12) เป็นจำนวนตรรกยะ แสดงว่า sqrt(12) ต้องเขียนได้ในรูปของ p / q โดยที่ p , q เป็นจำนวนเต็มบวก และหรม.(p,q) = 1 หรือ
sqrt(12) = p / q
ยกกำลังสองทั้งสองข้างจะได้ 12 = (p * p) / (q * q)
ดังนั้น p * p = 12 * q * q
เนื่องจาก 12 = 2 * 2 * 3 สรุปได้แต่เพียงว่า p ต้องมี 6 เป็นตัวประกอบเท่านั้น(เอามาจาก 2 * 3) จึงสามารถเขียนได้ในรูป p = 6 * m
แทนค่ากลับลงไปในสมการจะได้ว่า 36 * m * m = 12 * q * q
นั่นคือ q * q = 3 * m * m
แสดงว่า q ต้องมี 3 เป็นตัวประกอบเช่นกัน
แต่เนื่องจากทั้ง p และ q ต่างก็มี 3 เป็นตัวประกอบ ทำให้ได้ว่า หรม.(p,q) >= 3 ขัดแย้งกับเงื่อนไข หรม.(p,q) = 1 ทำให้สรุปได้ว่า sqrt(12) ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ และเรากำหนดไว้ว่าเซ็ตของจำนวนจริงที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ ต้องเป็นจำนวนอตรรกยะ ดังนั้น sqrt(12) จึงเป็นจำนวนอตรรกยะ

ในทำนองเดียวกัน จะพบว่า sqrt(a) โดยที่ a ไม่ได้เป็นค่ากำลังสองของจำนวนเต็มใดๆทั้งสิ้น sqrt(a) เป็นจำนวนอตรรกยะเสมอ