SMO 2015

[nowhere]

1. For any positive integer n, we have the set $P_{n}=\left\{\,n^{k}|k=0,1,2,...\right\}$, For positive integers a, b, c we define the group pf (a, b, c) as lucky if there is a positive integer m such that $a-1, ab-12, abc-2015$ (the three numbers need not be different from each other) belong to the set $P_{m}$. Find the number of lucky group.

2. In $\bigtriangleup ABC$ we have $AB>AC>BC$. D, E, F are the tangent points of the inscribed circle of $\bigtriangleup ABC$ with the line segments AB, BC, AC respectively. The points L, M, N are the midpoints of the segments DE, EF, FD. The straight line NL intersects with ray AB at P, straight line LM intersects ray BC at Q and the straight line NM intersects ray AC at R. Prove that $PA\cdot QB \cdot RC=PD\cdot QE\cdot RF$.

[Amankris]

ข้อ $2$
ไล่มุม
เจอสามเหลี่ยม $QEM$ คล้าย $QLE$ ได้ว่า $QL\cdot QM=QE^2$
เจอ $B,L,M,C$ concyclic ได้ว่า $QM\cdot QL=QB\cdot QC$
ดังนั้น $QB\cdot QC=QE^2$
จัดรูปได้ $\dfrac{QB}{QE}=\dfrac{EB}{EC}$

[otakung]

ผิดถูกอย่างไรรบกวนชี้แนะด้วยนะครับ หรือถ้ามีวิธีสั้นกว่านี้ก็แนะนำได้เลยครับ ตอนท้ายผมนึกไม่ออกว่าทำยังไงให้มันไม่ต้องแยกกรณีเยอะขนาดนี้

1. สมมติให้ $a-1=m^x, ab-12=m^y, abc-2015=m^z$

จะได้ $a=m^x+1, b=\frac{m^y+12}{m^x+1}, c=\frac{m^z+2015}{m^y+12} $

กรณี $m=1$
ลองแทนค่าจะเห็นว่า $b, c$ ไม่เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นกรณีนี้ไม่มีคำตอบ

ดังนั้น $m\geqslant 2$

กรณี $x, y, z$ ไม่มีตัวใดมีค่าเป็น $0$ เลย
จะได้ว่า ถ้า $m$ เป็นเลขคู่ จะได้ $m^x, m^y, m^z$ จะเป็นเลขคู่ด้วย และ $c=\frac{เลขคี่}{เลขคู่} $ ซึ่งไม่มีทางเป็นจำนวนเต็มได้ ดังนั้น กรณีนี้ไม่มีคำตอบ

ในทำนองเดียวกัน ถ้า $m$ เป็นเลขคี่ จะได้ $b=\frac{เลขคี่}{เลขคู่} $ ไม่มีทางเป็นจำนวนเต็มได้ ดังนั้นกรณีนี้ไม่มีคำตอบ

ดังนั้น $x, y, z$ ต้องมีบางตัวเป็น $0$

กรณี $y=0$
แทนค่าได้ $b=\frac{13}{m^x+1} $
ดังนั้น $m^x+1=13$ จะได้ $m^x=12$ ซึ่งมีคำตอบเดียวคือ $m=12, x=1$
จะได้ $c=\frac{12^z+2015}{13} $

เพราะว่า $13\mid 2015$ แต่ $13\nmid 12^z$ ดังนั้นกรณีนี้ไม่มีคำตอบ

ดังนั้น $y\geqslant 1$

กรณี $x=0$
แทนค่าได้ $a=2$
$b=\frac{m^y+12}{2}$ จะได้ว่า $m$ ต้องเป็นเลขคู่ จะทำให้ $b$ เป็นจำนวนเต็มเสมอ
$c=\frac{m^z+2015}{m^y+12}$ จะได้ว่า $z$ ต้องเป็น 0

แทนค่าได้ $c=\frac{2016}{m^y+12} $

ดังนั้น จะต้องหาค่าของ $m$ และ $y$ ที่ทำให้ $\frac{2016}{m^y+12} $ เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ $m$ เป็นเลขคู่และ $y\geqslant 1$

กรณี $y=1$
จะได้ $c=\frac{2016}{m+12} $
ดังนั้น $m+12$ เป็นตัวประกอบของ $2016$ ทุกตัวที่เป็นเลขคู่และมีค่ามากกว่า $12$ ซึ่งจะมีทั้งหมด $25$ ค่า
ดังนั้น กรณีนี้มี $25$ คำตอบ

กรณีหลังจากนี้จะมีค่า $y\geqslant 2$ ดังนั้น ให้ $m=2k$ จะได้ $c=\frac{504}{2^{y-2}k^y+3} $

กรณี $y=2$
$c=\frac{504}{k^2+3} $
ไล่แทนค่า $k$ จะได้ $k=1, 2, 3, 5, 9$
ดังนั้น กรณีนี้มี $5$ คำตอบ

กรณี $y=3$
$c=\frac{504}{2k^3+3} $
ไล่แทนค่า $k$ จะพบว่าไม่มี $k$ ที่เป็นไปได้

กรณี $y=4$
$c=\frac{504}{4k^4+3} $
ไล่แทนค่า $k$ จะได้ $k=1$
ดังนั้น กรณีนี้มี $1$ คำตอบ

กรณี $y=5$
$c=\frac{504}{8k^5+3} $
ไล่แทนค่า $k$ จะพบว่าไม่มี $k$ ที่เป็นไปได้

กรณี $y=6$
$c=\frac{504}{16k^6+3} $
ไล่แทนค่า $k$ จะพบว่าไม่มี $k$ ที่เป็นไปได้

กรณี $y=7$
$c=\frac{504}{32k^7+3} $
ไล่แทนค่า $k$ จะพบว่าไม่มี $k$ ที่เป็นไปได้

กรณี $y=8$
$c=\frac{504}{64k^8+3} $
ไล่แทนค่า $k$ จะพบว่าไม่มี $k$ ที่เป็นไปได้

กรณี $y=9$
$c=\frac{504}{128k^9+3} $
ไล่แทนค่า $k$ จะพบว่าไม่มี $k$ ที่เป็นไปได้

กรณี $y=10$
$c=\frac{504}{256k^10+3} $
ไล่แทนค่า $k$ จะพบว่าไม่มี $k$ ที่เป็นไปได้

กรณี $y\geqslant 11$
จะพบว่า ${2^{y-2}k^y+3} > 504 $
ดังนั้น ไม่มีคำตอบ

สรุปว่ามี $(a,b,c)$ ทั้งหมด $25+5+1=31$ ชุดคำตอบ

[nowhere]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ otakung

กรณี $x=0$
แทนค่าได้ $a=2$
$b=\frac{m^y+12}{2}$ จะได้ว่า $m$ ต้องเป็นเลขคู่ จะทำให้ $b$ เป็นจำนวนเต็มเสมอ
$c=\frac{m^z+2015}{m^y+12}$ จะได้ว่า $z$ ต้องเป็น 0

แทนค่าได้ $c=\frac{2016}{m^y+12} $

ดังนั้น จะต้องหาค่าของ $m$ และ $y$ ที่ทำให้ $\frac{2016}{m^y+12} $ เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ $m$ เป็นเลขคู่และ $y\geqslant 1$

มีกรณี $x\not= 0$ ด้วยหรือเปล่าครับ ซึ่งจริง ๆ เราจะได้ออกมาอยู่แล้วว่า $m$ ต้องเป็นเลขคู่ และ $z=0$

[otakung]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nowhere

มีกรณี $x\not= 0$ ด้วยหรือเปล่าครับ ซึ่งจริง ๆ เราจะได้ออกมาอยู่แล้วว่า $m$ ต้องเป็นเลขคู่ และ $z=0$

กรณี $x\not= 0$ นี่ยังไงหรอครับ แนะนำได้เลยครับ

[Amankris]

ข้อ1
สมบัติ สำหรับ $t\in P_n$
1 ทุกจำนวนเฉพาะ $q$ ถ้า $q|t$ แล้ว $q|n$
2 ถ้า $t\neq1$ แล้ว $n|t$
3 $n+1|t+1$ หรือ $n+1|t-1$

CLICK

ถ้า $2\nmid m$ จะได้ $2\nmid a-1$ ทำให้ $2|a$ ดังนั้น $2|ab-12$ นั่นคือ $2|m$ ซึ่งขัดแย้ง
เพราะฉะนั้น $2|m$

ถ้า $ab-12=1$ จะได้ $a=13$ และ $m=12$ แต่ $13|abc-2015$ ดังนั้น $13|m$ ซึ่งขัดแย้ง
เพราะฉะนั้น $ab-12\neq1$ นั่นคือ $m|ab-12$

ได้ว่า $2|ab-12$ ดังนั้น $2\nmid abc-2015$ นั่นคือ $m\nmid abc-2015$
จะได้ $abc-2015=1$ ดังนั้น $abc=2^5\cdot3^2\cdot7$

ถ้า $a-1\neq1$
ได้ว่า $m|a-1$ ดังนั้น $2|a-1$ ทำให้ $2\nmid a$
ถ้า $3|a$ จะได้ $3|ab-12$ ทำให้ $3|m$ นั่นคือ $3|a-1$ ซึ่งขัดแย้ง
เพราะฉะนั้น $3\nmid a$
ได้ว่า $a=7$ ทำให้ $m=6$ แต่ $7\nmid ab-11$ และ $7\nmid ab-13$ ซึ่งขัดแย้ง
เพราะฉะนั้น $a-1=1$ นั่นคือ $a=2$

ได้ว่า $bc=1008=2^4\cdot3^2\cdot7$ และ $2b-12>0$

ดังนั้นมี $(a,b,c)$ ทั้งหมด $30-5=25$ คำตอบ

note : มี $m\in\mathbb{N}$ ที่ $1,2b-12,1\in P_m$ เสมอ