Hyperbola Equation

[Influenza_Mathematics]

จงหาสมการของเส้นสัมผัสกราฟไฮเปอร์โบลา $\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16} = 1$ ที่จุด $(5,\dfrac{-16}{3})$

ผมเห็นในหนังสือมันแยกเป็น $\dfrac{xx_0}{9}-\dfrac{yy_0}{16} = 1 , x_0 = 5$ และ $ y_0 = -\dfrac{16}{3}$ แล้วก็หาตามปกติ อยากทราบว่าที่มาของอันนี้คืออะไร มีวิธีอื่นในการหาหรือไม่

[กิตติ]

$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=(\frac{x}{3}-\frac{y}{4})(\frac{x}{3}
+\frac{y}{4}) =1 $
แทนจุดตัดไปทีละวงเล็บ
$(\frac{5}{3}+\frac{16}{12})(\frac{x}{3}
+\frac{y}{4}) =1 $
$x+\frac{3}{4}y=1$
$4x+3y-4=0$
แทนอีกวงเล็บหนึ่ง
$(\frac{x}{3}-\frac{y}{4})(\frac{5}{3}-\frac{16}{12})=1$
$\frac{x}{9}-\frac{y}{12}=1$
$4x-3y-36=0$

ไม่รู้ว่าทำแบบนี้ได้ไหมครับ

[Influenza_Mathematics]

ผมแทนวิธีที่หนังสือเขาทำกัน คิดว่าคำตอบของ คุณกิตติ มันผิดอะครับ

[หยินหยาง]

สมการเส้นสัมผัสที่ว่า คือ $5x+3y-9 =0$

[กิตติ]

มัวไปเที่ยวเวปอื่น
วิธีที่ผมทำก็แค่มั่วเล่นๆครับ แต่ถ้าลองนำไปหาจุดตัดระหว่างสมการเส้นตรงกับสมการไฮเปอร์โบลา มันก็ได้จุดสองจุด
วิธีมาตรฐานน่าจะหาได้แล้วมั้งครับ
มีเพียงสมการที่ซือแป๋ตอบที่มีจุดตัดจุดเดียว

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

มัวไปเที่ยวเวปอื่น
วิธีที่ผมทำก็แค่มั่วเล่นๆครับ แต่ถ้าลองนำไปหาจุดตัดระหว่างสมการเส้นตรงกับสมการไฮเปอร์โบลา มันก็ได้จุดสองจุด
วิธีมาตรฐานน่าจะหาได้แล้วมั้งครับ
มีเพียงสมการที่ซือแป๋ตอบที่มีจุดตัดจุดเดียว

เส้นตรงที่ว่า มันเป็นเส้นสัมผัส ดังนั้นจะมีเพียงแค่จุดเดียวที่สอดคล้องทั้งสองสมการครับ

[กิตติ]

สมการเส้นสัมผัสนั้นมีจุดตัดเพียงจุดเดียว ของที่ผมหามานั้นมันตัดสองจุดเลยใช้ไม่ได้ครับ
เขียนให้ชัดเจนเดี๋ยวคนอ่านเข้าใจผิด

[poper]

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ มีเส้นสัมผัสที่จุด $P(x_0,y_0)$ แล้ว สมการเส้นสัมผัสคือ
$y-y_0=y'(x-x_0)$ และจุด $P$ อยู่บนไฮเพอร์โบลาด้วย ดังนั้น $\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}=1$
หาความชันเส้นสัมผัสจาก
$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
$b^2x^2-a^2y^2-a^2b^2=0$ $\ \ \ y'=\frac{b^2x_0}{a^2y_0}$
ดังนั้นสมการคือ
$y-y_0=(\frac{b^2x_0}{a^2y_0})(x-x_0)$
$a^2yy_0-a^2y_0^2=b^2xx_0-b^2x_0^2$
$b^2xx_0-a^2yy_0=b^2x_0^2-a^2y_0^2$
$\frac{xx_0}{a^2}-\frac{yy_0}{b^2}=\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}$
$\frac{xx_0}{a^2}-\frac{yy_0}{b^2}=1$

[Influenza_Mathematics]

ถามหน่อยครับ
สมการที่อยู่รูปแบบ $xy = c$

ถ้าเราเลื่อนแกนไปจุด $(h,k)$ คือ $(x-h)(y-k) = c$

สามารถหาจุดโฟกัส จุดยอด และอื่น ๆ ได้ไหมครับ

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Influenza_Mathematics

ถามหน่อยครับ
สมการที่อยู่รูปแบบ $xy = c$

ถ้าเราเลื่อนแกนไปจุด $(h,k)$ คือ $(x-h)(y-k) = c$

สามารถหาจุดโฟกัส จุดยอด และอื่น ๆ ได้ไหมครับ

เมื่อ $x\not=0$ จะได้ว่า $y=\frac{c}{x}$ ซึ่งเป็นฟังก์ชันเศษส่วน
ถ้าเลื่อนแกนจะได้ $y-k=\frac{c}{x-h}$ กราฟจะเป็นรูปคล้ายกราฟไฮเพอร์โบลา มีสมการเส้นกำกับคือ
$x=h,y=k$ ไม่แน่ใจว่ามีการหาจุดยอดกับจุดโฟกัสหรือไม่นะครับ

[Influenza_Mathematics]

สมการภาึคตัดกรวยซึ่งมีผลบวกของระยะทางจุดใดๆบนกราฟไปยังจุด $(1,0)$ และ $(-5,c)$ มีค่าเท่ากับ $12$ หน่วย คือสมการในข้อใด

[poper]

ให้ $P(x,y),A(1,0),B(-5,0)$ (ถ้าเป็นตามที่คุณ lek2554 บอก)
ดังนั้น $PA+PB=\sqrt{(x-1)^2+y^2}+\sqrt{(x+5)^2+y^2}=12$---(1)
$\sqrt{(x-1)^2+y^2}=12-\sqrt{(x+5)^2+y^2}$
$(x-1)^2+y^2=144-24\sqrt{(x+5)^2+y^2}+(x+5)^2+y^2$
$\sqrt{(x+5)^2+y^2}=\frac{x}{2}+7$
$x^2+10x+25+y^2=\frac{x^2}{4}+7x+49$
$\frac{(x+2)^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1$

[MiNd169]

ผมว่าน่าจะตั้งสมการเป็น $\sqrt{(x-1)^2+y^2} + \sqrt{(x+5)^2+(y-c)^2} = 12$ มากกว่านะครับ

[lek2554]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

ให้ $P(x,y),A(1,0),B(-5,c)$
ดังนั้น $PA=\sqrt{(x-1)^2+y^2}=12$ และ $PB=\sqrt{(x+5)^2+(y-c)^2}=12$---(1)

สมการภาึคตัดกรวยซึ่งมีผลบวกของระยะทางจุดใดๆบนกราฟไปยังจุด (1,0) และ (-5,c) มีค่าเท่ากับ 12 หน่วย $PA + PB = 12$ ครับ

ข้อนี้ไม่ทราบว่า คุณ Influenza_Mathematics พิมพ์ผิด จาก (-5, 0) เป็น (-5, c) หรือเปล่าครับ
เพราะข้อมูลที่กำหนด ก็คือนิยามของวงรีนั่นเอง $ PF_1 + PF_2 = 2a$

[poper]

จริงด้วยครับ อ่านโจทย์ผิดไป
ขอบคุณคุณ MiNd169 ครับ
แกไขแล้วนะครับ