โจทย์ทฤษฏีจำนวนในหนังสือสอวน.

[Erken]

1.ให้ $a,m,n$ $\in \mathbb{N}$ โดยที่ $m > n$ จงพิสูจน์ว่า $(a^{2^{m}}+1,a^{2^{n}}+1)=1$ ถ้า $a$ เป็นจำนวนคู่ และ $=2$ เมื่อ $a$ เป็นจำนวนคี่
2.ถ้า $a,b,c \in \mathbb{N}$ แล้ว $([a,b],c) = [(a,c),(b,c)]$ และ $[(a,b),c]=([a,c],[b,c])$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Erken

1.ให้ $a,m,n$ $\in \mathbb{N}$ โดยที่ $m > n$ จงพิสูจน์ว่า $(a^{2^{m}}+1,a^{2^{n}}+1)=1$ ถ้า $a$ เป็นจำนวนคู่ และ $=2$ เมื่อ $a$ เป็นจำนวนคี่

็

Hint:

พิสูจน์ว่า $a^{2^n}+1\mid a^{2^m}-1$ โดยใช้สูตรผลต่างกำลังสองแยกตัวประกอบของ $a^{2^m}-1$

[Spotanus]

ข้อหนึ่งเข้าใจแล้วครับ ขอบคุณคุณ nooonuii มากเลยครับ
(ตอนแรกผมไปมัวแต่สนใจหา $x,y$ ที่ทำให้ $x\left(a^{2^{m}}+1\right) +y\left(a^{2^{n}}+1\right) =2$ แล้วหาไม่เจอเลยงงอยู่นาน )

[Erken]

ขอบคุณคุณ nooonuii มากครับผมไ้ด้แล้วครับ (ข้อ 2.ผมใช้ max,min ครับ)
3.ถ้า $F_{n}=2^{2^{n}}+1$ จงพิสูจน์ว่า $(F_n,n)=1$
4.จงพิสูจน์ว่าจำนวนเฉพาะที่อยู่ในรูป $8k+5$ มีจำนวนอนันต์

[dektep]

hint!

3.จำนวนเฉพาะที่หาร $F_n$ ลงตัวจะอยู่ในรูป $k*2^{n+2}+1$

[Erken]

ผมเจอการพิสูจน์ว่าจำนวนเฉพาะที่อยู่ในรูป 4k+1 มีจำนวนอนันต์ใครเข้าใจช่วยอธิบายหน่อยครับ
4. Suppose that there are only finitely many primes of the form $4k+1$,
say $q_1,...,q_r$, and consider $N=(q_1...q_r)^2+1. N > qi$, for
$1 < i < r,$ hence $N$ cannot be prime. Any number of the form $a^2+1$
has, except possibly for the factor $2$, only prime factors of the form
$4m+1$. Since division into N by each prime factor of the form $4k+1$
leaves a remainder $1, N$ cannot be composite, a contradiction. Hence,
the number of primes of the form $4k+1$ must be infinite.

[Spotanus]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ dektep

hint!

3.จำนวนเฉพาะที่หาร $F_n$ ลงตัวจะอยู่ในรูป $k*2^{n+2}+1$

Proof ยังไงครับ ?

[dektep]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Spotanus

Proof ยังไงครับ ?

หาว่า $p \equiv 1 (mod 2^{n+1})$ แล้วใช้ quadric residue จะได้ว่า $p \equiv 1 (mod 2^{n+2})$

[dektep]

8k+5
แนวคิด
Lemma1. ถ้า $p \equiv -1 (mod 4)$ แล้ว $x^2 \not\equiv -1 (mod p)$
Lemma2. $4n+3 \nmid 4x^2+1 \forall n,x \in \mathbb{N}$
........
........

[mathstudent2]

ใช้ความรู้ไม่เกินค่าย 1 ของสอวน.ได้มั้ยครับ