Alternating series (and Abel's theorem)

[Punk]

หลังจากโดนขับไล่จากหัวข้ออื่น ... เอ้ยไม่ช่าย

1. อนุกรมอนันต์
$$
1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots
$$
เรียกว่าอนุกรมสลับ (alternating series) เพราะเทอมมีลักษณะเครื่องหมายสลับกันระหว่างบวกและลบ

2. เนื่องจากเทอมลู่เข้าหาศูนย์ ดังนั้นอนุกรมลู่เข้า (ความรู้แคลเบื้องต้นครับ )

Q: คำถามคือให้หาค่าของอนุกรมข้างบน hint ให้ว่าเหมือนกับการหาค่าของลิมิต (ทำไม )
$$
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}\right)
$$
แล้วลิมิตข้างบนได้เท่าไหร่ละ

ปล. ถ้าใครต้องการ hint เพิ่มก็บอกนะครับ กระทู้จะได้ไม่เดี้ยง

[Coco]

ขอลองทำข้อนี้หน่อยครับพี่ Punk
ให้ $a_{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - ... + (-1)^{n+1}\frac{1}{n} $

$ a_{1} = 1 $
$ a_{2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$ a_{3} = a_{2} + \frac{1}{3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} $
$ a_{4} = a_{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4}$
$ a_{5} = a_{4} + \frac{1}{5} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} $
$ a_{6} = a_{5} - \frac{1}{6} = \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} $

จากการสังเกตและตรวจสอบโดยหลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์พบว่า
$$ a_{2n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{2n}$$

เนื่องจาก {$a_{n}$} เป็นลำดับลู่เข้า จึงได้ว่า
$$ \lim_{n \to \infty}a_{n} = \lim_{n \to \infty}a_{2n} $$

ในการหา $ \lim_{n \to \infty}a_{2n} $ ให้พิจารณาพื้นที่ใต้กราฟ $ y = \frac{1}{x+1}$ บนช่วง [0, 1]

แบ่งช่วง [0, 1] ออกเป็น n ส่วนเท่า ๆ กันโดยใช้ผลแบ่งกั้น {$ 0, \frac{1}{n} , \frac{2}{n}, ... ,\frac{n}{n} = 1$}

ให้ $x_{0} = 0$ และสำหรับ $1 \leq i \leq n $ ให้ $x_{i} = \frac{i}{n}$ และ $\Delta x_{i} = x_{i} - x_{i-1}$ จะได้ $\Delta{x_{i}}f(x_{i}) = (\frac{1}{n})(\frac{n}{n + i}) = \frac{1}{n + i}$

ดังนั้นพื้นที่ใต้กราฟคือ $ \lim_{n \to \infty}(\Delta x_{1}f(x_{1}) + \Delta x_{2}f(x_{2}) + ... + \Delta x_{n}f(x_{n}))$ ซึ่งมีค่าเท่ากับ
$$ \lim_{n \to \infty}(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}) = \lim_{n \to \infty} a_{2n}$$
แต่โดย Fundamental Theorem of Calculus ได้ว่า พื้นที่ดังกล่าวมีค่าเท่ากับ ₀$\int^{1} \frac{1}{x+1} dx = ln(2)$

ทำให้ได้ว่า $ \lim_{n \to \infty} a_{2n} = ln(2)$ และ $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - ... + (-1)^{n+1}\frac{1}{n} + ... = ln(2) $

[เทพเวียนเกิด]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Punk

หลังจากโดนขับไล่จากหัวข้ออื่น ... เอ้ยไม่ช่าย

1. อนุกรมอนันต์
$$
1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots
$$
เรียกว่าอนุกรมสลับ (alternating series) เพราะเทอมมีลักษณะเครื่องหมายสลับกันระหว่างบวกและลบ

ใช้อนุกรมเทย์เลอร์เลยครับ โดย$In(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}-...ได้เลย$

[เทพเวียนเกิด]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Punk

หลังจากโดนขับไล่จากหัวข้ออื่น ... เอ้ยไม่ช่าย

2. เนื่องจากเทอมลู่เข้าหาศูนย์ ดังนั้นอนุกรมลู่เข้า (ความรู้แคลเบื้องต้นครับ )

Q: คำถามคือให้หาค่าของอนุกรมข้างบน hint ให้ว่าเหมือนกับการหาค่าของลิมิต (ทำไม )
$$
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}\right)
$$
แล้วลิมิตข้างบนได้เท่าไหร่ละ

ตอบว่า In2 หรือป่าวครับ