Sequences and Series Marathon

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ Mastermander:
10.$$\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{n^4+4}$$

จากที่ $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{n^4+4} $$ $$ = \frac14 \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{n-1}{(n-1)^2+1} - \frac{n+1}{(n+1)^2+1} \right) $$ $$ + \frac14 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n-1)^2+1} + \frac14 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n+1)^2+1} $$
จะเห็นว่า อนุกรมอันแรกเป็น telescoping series ส่วนอนุกรมสองอันหลังสามารถหาผลบวกได้ โดยใช้ผลจากข้อ 6. ที่ว่า
$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2+1} = \frac{\pi}{2} \coth\pi - \frac{1}{2} $$ ดังนั้น $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{n^4+4} = \frac{\pi}{4} \coth\pi $$

[Mastermander]

18. แต่งเอง (ไม่รู้จะมีจริงรึเปล่า)

$$a_n = \frac{n}{\ln|a_{n-1}+n|}\quad,a_0 =1$$

Evaluate

$$\lim_{n\to\infty} a_n$$

[Timestopper_STG]

ขอโทษจริงๆครับคุณwarut ผมพิมพ์ผิดเองครับไปแก้ให้ละนะครับ
ส่วนโจทย์ข้อนี้มีคนเอามาถามอีกทีน่ะครับไม่ได้แต่งเอง

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ Timestopper_STG:
\[
\begin{array}{l}
15)Let\;a_{n + 1} \;be\left\{ \begin{array}{l}
a_n + \frac{1}{n},a_n^2 < 2 \\
a_n - \frac{1}{n},a_n^2 > 2 \\
\end{array} \right.and\;also\;given\;a_0 = 1 \\
Show\;that\left| {a_n - \sqrt 2 } \right| < \frac{1}{n},\forall n \in N \\
\end{array}
\]

ในโจทย์ข้อ 15. ฉบับแก้ไขครั้งที่ 1 นี้ $a_1$ หาค่าไม่ได้นะครับ (เจอหารด้วย 0)

ถือโอกาสนี้ขอถามด้วยเลยว่าคุณ Timestopper_STG มีวิธีทำข้อ 6. อย่างไรครับ

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ Mastermander:
18. แต่งเอง (ไม่รู้จะมีจริงรึเปล่า)

$$a_n = \frac{n}{\ln|a_{n-1}+n|}\quad,a_0 =1$$

Evaluate

$$\lim_{n\to\infty} a_n$$

แม้จะยุ่งยากสักหน่อย แต่เราสามารถใช้ induction + calculus พิสูจน์ได้ครับว่ามี $n_0$ ที่เมื่อ $n\ge n_0$ แล้ว $\ln n<a_n<n$ ดังนั้น $$ \lim_{n\to\infty} a_n = \infty $$

[passer-by]

ดีใจสุดๆ ที่หาเวลามาตอบได้ก่อนปีใหม่

สำหรับ คำตอบข้อ 16,17 ก็ถูกต้องแล้วครับ

ในข้อ 17 เกี่ยวกับ cesaro mean ผมเพิ่งได้เห็นว่ามันไปเกี่ยวกับ Fourier series ด้วย เดี๋ยวให้ผ่าน1 เดือนอันตรายนี้ไปก่อน แล้วจะกลับมาเล่าแบบเต็มๆให้ฟังแน่นอน พร้อมคำถามภาคต่อจากข้อ 17 ด้วย(จากวิชา Functional analysis)

หลังจากวันนี้ คงจะสาบสูญจาก board แบบของแท้แน่นอน แล้วเจอกันอีกทีกลางเดือนหน้าครับ

p.s. วันนี้ ผมเพิ่งได้ของจากสิงคโปร์มา กะว่าจะเก็บไว้ใช้เป็นของรางวัลตอน แจกเฉพาะกิจ เฟส 2 ประมาณ กลางเดือนกุมภาพันธ์ รายละเอียดการแจกในเฟส 2 นี้ จะมาบอกอีกทีตอนใกล้ๆนะครับ

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ Timestopper_STG:
\[
\begin{array}{l}
15)Let\;a_{n + 1} \;be\left\{ \begin{array}{l}
a_n + \frac{1}{n},a_n^2 < 2 \\
a_n - \frac{1}{n},a_n^2 > 2 \\
\end{array} \right.and\;also\;given\;a_1 = 1 \\
Show\;that\left| {a_n - \sqrt 2 } \right| < \frac{1}{n},\forall n \in N,n>2 \\
\end{array}
\]

สำหรับโจทย์ข้อ 15. ฉบับแก้ไขครั้งที่ 2 นี้ ก็ยังไม่เป็นจริงนะครับ ยกตัวอย่างเช่น $$ a_6 = 1 +\frac11 -\frac12 -\frac13 +\frac14 -\frac15 = \frac{73}{60} $$ $$ \therefore \, |a_6-\sqrt2| = \sqrt2-\frac{73}{60} > 0.19 > \frac16 $$

[Timestopper_STG]

สำหรับข้อ6นั้นตอนแรกผมกะจะหารูปแบบปิดของ$\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}x^{n^2}}$เมื่อ$|x|<1$
ละจะอินทิเกรตตั้งแต่0ถึง1เอาหน่ะครับเพื่อให้ได้ค่าของอนุกรมออกมาแต่ว่า...ผมหารูปแบบปิดไม่เจอครับ

[warut]

คิดว่าไม่มี closed form สำหรับผลบวกของอนุกรมที่คุณ Timestopper_STG สนใจนะครับ

แล้วโจทย์ข้อ 15. นี่จะยังมีฉบับแก้ไขครั้งที่ 3 อีกไหมครับ

ผมแถมโจทย์ให้ข้อนึงละกัน เป็นภาคต่อจากข้อ 4. ของคุณ passer-by ครับ

19. จงหาค่าของ $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{F_{2n-1}F_{2n+1}} $$ โดยที่ $F_n$ แทน Fibonacci number ตัวที่ $n$ นั่นคือ $F_1=F_2=1$ และ $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ เมื่อ $n\ge3$

[passer-by]

ตอนแรกว่าจะแปะภาคต่อของ Cesaro mean แต่ดูแล้วข้อที่จะแปะนี่ คงจะสาหัสเกินไป งั้นผมเปลี่ยนเป็น แปะภาคต่อของข้อ 13 แทนแล้วกันครับ

20. Evaluate $$ \int_0^1 \bigg \{ \frac{2}{x} \bigg \}^2 \,\, dx $$

NOTE: {a} แทน fractional part of a เช่น {5.187}= 0.187

[warut]

ข้อ 20. นี่ผมก็ยังคงต้องทำแบบข้อ 13. คือกลับเศษเป็นส่วนก่อน แล้วค่อยคิด (ไม่งั้นงงตาย) แต่ข้อนี้ผมต้องใช้ Stirling's formula ด้วย ยุ่งยากกว่าข้อ 13. มากเลยครับ คำตอบที่ผมได้คือ $$2\ln8\pi-2\gamma-5$$ แต่ตอนนี้ขี้เกียจพิมพ์วิธีทำครับ ใครขยันเชิญก่อนได้เลย

[Mastermander]

ข้อความเดิมของคุณ passer-by:

20. Evaluate $$ \int_0^1 \bigg \{ \frac{2}{x} \bigg \}^2 \,\, dx $$

NOTE: {a} แทน fractional part of a เช่น {5.187}= 0.187

ข้อนี้สามารถใช้ Mathematica หรือ Maple คำนวนได้หรือไม่ / อย่างไรครับ

[passer-by]

ผมเพิ่งลองใน MATLAB รู้สึกจะขึ้น error เต็มไปหมดเลยครับ แต่ใน mathematica กับ maple ไม่รู้ได้หรือเปล่า

ยังไง น้อง mastermander ลอง เปลี่ยน $ \bigg \{ \frac{2}{x} \bigg \}^2 $ เป็น $ \bigg ( \frac{2}{x}- \lfloor\frac{2}{x} \rfloor \bigg )^2 $ แล้ว input เข้าไปใน mathematica /maple ดูแล้วกันครับ ว่าเกิดอะไรขึ้น


ถ้ายังมีปัญหาอยู่ ก็อาจต้องพึ่ง numerical integration แล้วล่ะครับ

p.s. คำตอบคุณ Warut ถูกแล้วครับ

[Mastermander]

[passer-by]

จากที่น้อง mastermander แปะให้ดู แสดงว่า โปรแกรมทำให้เฉพาะกรณี numerical integration เท่านั้น ซึ่งจะได้แค่ค่าประมาณ (แต่รู้สึกจะ error เยอะไปนิดนะครับ)

ผมสันนิษฐานว่า กราฟของ integrand น่าจะ ขึ้นๆลงๆ หรือ oscillate ชนิดที่ถี่สุดๆ ตรงใกล้ x= 0 เลยทำให้ ผลลัพธ์แบบ numerical มี error พอสมควร

ยังไงลอง read more ตรงที่เขาขึ้นว่า option method ดูน่ะครับ เผื่อ error จะลดลง