ปัญหาชิงรางวัลข้อที่ 22: Infinite Series

[warut]

ให้ $ \{ a_n \} $ เป็นลำดับที่มี $ a_1=1, a_2=4 $ และ $ a_n = 4a_{n-1} - a_{n-2} $ เมื่อ $n \ge 3$

โดยอาศัยเทคนิคในการแก้ difference equation เราจะพบว่า สำหรับทุกจำนวนนับ $n$ $$ a_n = \frac{1}{2 \sqrt 3} \left( (2 + \sqrt 3)^n - (2 - \sqrt 3)^n \right) $$ จงหาค่าของ $$ \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{ a_{ 2^n} } $$

[passer-by]

สังเกตว่า $ a_n = \frac{1}{2 \sqrt 3} \left( x^n - x^{-n} \right) =\frac{1}{2 \sqrt 3} \left( \frac{x^{2n}-1}{x^n} \right)$ เมื่อ $ x= 2+\sqrt{3} $

ดังนั้น $$ \begin{array}{rcl} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{ a_{ 2^n} } & = & 2\sqrt{3}\left( \frac{x}{x^2-1}+\frac{x^2}{x^4-1}+\frac{x^4}{x^8-1}+\cdots \right ) \\ &=& 2\sqrt{3}\left( \frac{x+1-1}{x^2-1}+\frac{x^2+1-1}{x^4-1}+\frac{x^4+1-1}{x^8-1}+\cdots \right ) \\
&=& 2\sqrt{3}\left(( \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x^2-1})+(\frac{1}{x^2-1}-\frac{1}{x^4-1})+( \frac{1}{x^4-1}-\frac{1}{x^8-1})+\cdots \right ) \\&=& 2\sqrt{3} \left (\frac{1}{x-1} \right ) \\&=& 2\sqrt{3} \left (\frac{1}{\sqrt{3}+1} \right ) \\ &=& 3- \sqrt{3} \end{array} $$

[warut]

ในเมื่อข้อนี้คุณ passer-by ยอมออกโรง มีเรอะจะเหลือ

จากเฉลยของคุณ passer-by จะเห็นว่า ข้อนี้ใช้เทคนิคพื้นๆอย่างที่ผมบอก จุดสำคัญมีอยู่สองจุดคือ อย่างแรกต้องมองออกว่าโจทย์ข้อนี้มี hint อยู่ในตัว นั่นคือผมบอก explicit formula ของ $a_n$ มาให้ แสดงว่าต้องเอาอันนี้มาใช้ (ที่ผมต้องบอกสูตรของ $a_n$ เพราะถ้าให้หาเอง มันจะเกินหลักสูตรไปไกลครับ ถ้าไม่จำเป็นต้องบอกล่ะก็ ข้อนี้จะยากขึ้นอีกเยอะทีเดียว) อีกจุดนึงคือ ต้องทราบวิธีการหาผลบวกของ $$ \sum_{n=0}^\infty \frac { x^{2^n} } { x^{2^{n+1}} -1} $$ ซึ่งจะพบเห็นได้บ่อยๆในโจทย์แข่งขัน

คุณ passer-by รับไปอีก 5 คะแนน สำหรับคำตอบนี้ครับ

ผมสร้างโจทย์ข้อนี้โดยเอาแนวคิดมาจากอนุกรม $$ \sum_{n=0}^\infty \frac {1}{F_{2^n}} $$ เมื่อ $F_k$ แทน Fibonacci number ตัวที่ $k$

อยากทราบว่าอนุกรมตัวหลังนี้มีชื่อว่าอะไร (1 คะแนน) และชื่อนี้มีความเป็นมาที่น่าสนใจอย่างไรครับ (2 คะแนน)

[nongtum]

เอาเท่าที่ผมหาเจอนะครับ น่าจะครบนะครับ ^^

อนุกรม $$\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{F_{2^n}}=\frac{7-\sqrt{5}}{2}$$คือ Millin Series พบโดย D.A.Miller ซึ่งอ้างจากที่นี่เจ้าตัวบอกไว้แบบนี้ครับ

When I published my first mathematical result as an Advanced Problem in the Fibonacci Quarterly, my name was misread as D. A. Millin. The name was corrected when a solution was printed, but it seems the misread name persists.

เอกสารอ้างอิงเพิ่มเติมหาได้จากในลิงค์ แต่ในเอกสารนี้(YSI link หมดแล้วหมดเลย)อ้างว่า Lucas ได้หาผลรวมในลักษณะนี้ตั้งแต่ศตวรรษก่อนหน้านั้นแล้วครับ

Edit: แก้คำผิดครับ

[warut]

คุณ nongtum รวดเร็วปานกามนิตหนุ่มจริงๆ ข้อมูลที่ให้มาถูกต้องครบถ้วนแล้วครับ โดยเฉพาะข้อมูลจาก paper ที่คุณ nongtum uploaded ไว้ให้ อันนั้นใหม่สำหรับผมครับ น่าสนใจจริงๆ เท่าที่อ่านดูคร่าวๆ ผมว่าสาเหตุที่ผลบวกอันที่ Lucas คิดได้ ไม่เป็นที่รู้จักกัน น่าจะเป็นเพราะไม่มี explicit example ประกอบละมั้ง ถ้ามีตัวอย่างสวยๆอย่าง Millin series น่าจะดังไปนานแล้วล่ะ

แน่นอนคุณ nongtum รับไปอีก 3 คะแนนครับ