ข้อสอบสมาคมคณิตศาสตร์ ม.ปลาย 2553 ฉบับสแกน

[bakured]

ข้อ17ผมคิดไม่ตรงอะครับ
ช่วยบอกแนวหน่อยได้หรือเปล่าครับ
คือของผมเอาAไปหารสองเสร็จแล้วนำมาบวกA
จะได้ว่า3/2A=1แล้วA=2/3
ส่วนBผมแยก3/2-3/4-5/4+5/6+7/6-7/8....มันจะได้=3/2อะครับ
พอรวมA+B=2/3+3/2=13/6อะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

35. ตอบ $\dfrac{7\pi}{4}$ ครับ

เปลี่ยนตัวแปรโดยให้ $u=x-\dfrac{25\pi}{4}$ จะได้

$\displaystyle{\int_{\frac{25\pi}{4}}^{\frac{53\pi}{4}}\dfrac{1}{(1+2^{\cos{x}})(1+2^{\sin{x}})}\,dx=\int_0^{7\pi}\dfrac{1}{(1+2 ^{\cos{(x+\frac{\pi}{4})}})(1+2^{\sin{(x+\frac{\pi}{4})}})}\,dx}$

ให้

$f(x)=\dfrac{1}{(1+2^{\cos{(x+\frac{\pi}{4})}})(1+2^{\sin{(x+\frac{\pi}{4})}})}$

$g(x)=\dfrac{1}{(1+2^{\cos{x}})(1+2^{\sin{x}})}$

จะได้ว่า

$\displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{4}}f(x)\,dx=\int_0^{\frac{\pi}{4}}f(x)\,dx}$

$\displaystyle{\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}f(x)\,dx=\int_0^{\frac{\pi}{4}}2^{\sin{x}}g(x)\,dx}$

$\displaystyle{\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}}f(x)\,dx=\int_0^{\frac{\pi}{4}}2^{\sin{(x+\frac{\pi}{4})}}f(x)\,dx}$

$\displaystyle{\int_{\frac{3\pi}{4}}^{\pi}f(x)\,dx=\int_0^{\frac{\pi}{4}}2^{\sin{x}+\cos{x}}g(x)\,dx}$


$\displaystyle{\int_{\pi}^{\frac{5\pi}{4}}f(x)\,dx=\int_0^{\frac{\pi}{4}}2^{\sin{(x+\frac{\pi}{4})}+\cos{(x+\frac{\pi}{4})}}f(x) \,dx}$

$\displaystyle{\int_{\frac{5\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{2}}f(x)\,dx=\int_0^{\frac{\pi}{4}}2^{\cos{x}}g(x)\,dx}$

$\displaystyle{\int_{\frac{3\pi}{2}}^{\frac{7\pi}{4}}f(x)\,dx=\int_0^{\frac{\pi}{4}}2^{\cos{(x+\frac{\pi}{4})}}f(x)\,dx}$


$\displaystyle{\int_{\frac{7\pi}{4}}^{2\pi}f(x)\,dx=\int_0^{\frac{\pi}{4}}g(x)\,dx}$

บวกทุกเทอมเข้าด้วยกันจะได้

$\displaystyle{\int_{0}^{2\pi}f(x)\,dx=\int_0^{\frac{\pi}{4}}2\,dx}$

$~~~~~~~~~~~~~~~=\dfrac{\pi}{2}$

แต่สังเกตว่า $f(x)=f(2\pi-x)$ ดังนั้นถ้าแทนค่าตัวแปร $u=2\pi-x$ จะได้ว่า

$\displaystyle{\int_{\pi}^{2\pi}f(x)\,dx=\int_0^{\pi}f(x)\,dx}$

ดังนั้น $\displaystyle{\int_0^{\pi}f(x)\,dx=\dfrac{\pi}{4}}$

สุดท้ายจะได้ว่า

$\displaystyle{\int_0^{7\pi}f(x)\,dx=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{4}}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~=\dfrac{7\pi}{4}$

I'm sorry for my silly solution. I've just found a better approach.

It makes sense to split the integral into 4 parts because the function $f$ has only $4$ components.

$\displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(x)\,dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(x)\,dx}$

$\displaystyle{\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}f(x)\,dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}2^{\sin{(x+\frac{\pi}{4})}}f(x)\,dx}$

$\displaystyle{\int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}}f(x)\,dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}2^{\sin{(x+\frac{\pi}{4})}+\cos{(x+\frac{\pi}{4})}}f(x) \,dx}$

$\displaystyle{\int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi}f(x)\,dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}2^{\sin{(x+\frac{\pi}{4})}}f(x)\,dx}$

บวกทุกเทอมเข้าด้วยกันจะได้

$\displaystyle{\int_{0}^{2\pi}f(x)\,dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}1\,dx}$

$~~~~~~~~~~~~~~~=\dfrac{\pi}{2}$

[tongkub]

ข้อ 17 $ผมได้ \frac{13}{6}$ เหมือนกันครับ มีอีกข้อคือข้อ 33 ครับ ผมคิดได้ไม่ตรงกับใครเลยครับ น่าจะผิดชัวร์ รบกวนขอแนวคิดด้วยครับ

[passer-by]

มาเก็บตกข้อที่ผมสนใจครับ

ข้อ 14 (ก) ตัวอย่าง singular matrix A ที่สอดคล้อง เช่น $ A = \bmatrix{ 2 & 1 \\ 0 & 0} $ ส่วนข้อ (ข) แค่ย้าย $2A$ ไปขวามือแล้ว take det ก็จบครับ

ข้อ 25 สมมติมัธยฐาน a และฐานนิยม b

ถ้า $ \sum (x_i-a)^2 = \sum (x_i- b)^2$ และ SD = 5 กระจายแล้วจะได้ 2 อย่างคือ

(1) ค่าเฉลี่ยเลขคณิต คือ $ \frac{a+b}{2}$ และ (2) $ \frac{1}{n} \cdot \sum x^2 = 25 +ab $

ที่เหลือไม่ยากแล้วครับ

ข้อ 34

ข้อนี้เดาคำตอบสมการง่าย แต่วิธีคิดสำคัญกว่าครับ

ให้ $z_i$ แทนรากสมการ ดังนั้น จากสมการ เราได้ $ \sum z_i = \sum z_iz_j =0 \Rightarrow \sum z_i^2 =0 $

คำนวณได้ไม่ยากว่า ขนาดของ $z_i$ คือ $2553^{1/5}$ จากนั้น take sigma รากทั้ง 5 ตลอดสมการ จะได้ $$ \sum z_i^5 +a\sum z_i^2 + b\sum z_i + 5(2553i) =0 \Rightarrow \sum z_i^5 = -5(2553i)$$

เปลี่ยนรากสมการเป็นพิกัดเชิงขั้ว จะได้ $$ -5(2553i)= 2553\sum z_i^5 = \sum \cos 5\theta_i + i \sum \sin 5\theta_i $$

หลังจากเทียบส่วนจินตภาพจะได้ $ \sum \sin 5\theta_i = -5 $ แต่ว่าปกติ $ \sin 5\theta_i \geq -1 $ ดังนั้น $ \sin 5\theta _i =-1$ ทุกค่า i

แสดงว่า $ \theta_i = \frac{3\pi}{10} \,\, ,\frac{7\pi}{10} \,\, ,\frac{11\pi}{10} \,\, ,\frac{15\pi}{10} \,\, ,\frac{19\pi}{10} \,\, $

ปิดท้ายด้วยการหาค่าสูงสุด และต่ำสุดที่ไม่ใช่ 0 ของ $ |z_i-z_j| = 2| \sin \frac{\theta_i-\theta_j}{2}| $

ดังนั้นค่าสูงสุดที่โจทย์ถามคือ $2\cos 36^{\circ}$ แล้วก็เอาไปหา r,s ต่อได้แล้วครับ

ข้อ 35 ขอเสนออีกวิธีแล้วกันครับ

ให้ I แทนสิ่งที่โจทย์ต้องการหา แตกช่วงที่จะอินทิเกรตเป็น 4 ช่วง ช่วงละ $\frac{7\pi}{4}$

ที่เหลือลองไปทดตามที่ผมเขียนข้างล่างดูนะครับ

ช่วงที่ 1 ให้ $ u= x- \frac{11\pi}{2}$
ช่วงที่ 2 ให้ $ u= \frac{21\pi}{2} -x $
ช่วงที่ 3 ให้ $ u= x- 9\pi$
ช่วงที่ 4 ให้ $ u= 14\pi-x$

จากนั้นทั้ง 4 ก้อนจะให้ขอบเขตการอินทิเกรตเหมือนกัน คือ $ \frac{3\pi}{4}$ ถึง $\frac{5\pi}{2}$

นอกจากนี้ integrand ข้างใน 4 ก้อน รวมกันได้ 1 พอดิบพอดี แสดงว่า $$ I= \int_\frac{3\pi}{4}^ \frac{5\pi}{2} \,\, dx = \frac{7\pi}{4}$$

[nooonuii]

33. สมมติ $n=2^tm$ เมื่อ $t\geq 0$ และ $m$ เป็นจำนวนคี่

จากนิยามของ $f$ จะได้

$f(n)=t+1$

จากนั้นก็พิจารณาว่าจำนวนตั้งแต่ $2010$ ถึง $2553$ มีตัวประกอบในรูป $2^t$ เป็นอะไรได้บ้าง

และมีอยู่อย่างละเท่าไหร่ จะพบว่า $t=0,1,...,11$

คำนวณแล้วจะได้ผลบวกเท่ากับ $1088$

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

35. ตอบ $\dfrac{7\pi}{4}$ ครับ

ใช้เวลาไปทั้งหมด $3$ ชั่วโมงครับข้อนี้ ใครทำข้อนี้ได้ในห้องสอบผมยกสองนิ้วโป้งให้เลย

เท่าที่รู้ไม่ต่ำกว่า 2 คนครับ

[Influenza_Mathematics]

ผมทำแบบนี้ได้ปะครับ มีปัญหาตรง $B$ อะครับ
$$B = \frac{3}{2*4} - \frac{5}{4*6} + \frac{7}{6*8} - \frac{9}{8*10}+...$$

จาก $\dfrac{1}{ab}= \dfrac{1}{b-a}(\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b})$ โดยที่ $a<b$

จะได้ $$\frac{3}{2}(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}) - \frac{5}{2}(\frac{1}{4}-\frac{1}{6}) +\frac{7}{2}(\frac{1}{6}-\frac{1}{8}) - \frac{9}{2}(\frac{1}{8}-\frac{1}{10}) + ....$$

$$\frac{3}{4} - \frac{3}{8} - \frac{5}{8}+\frac{5}{12} + \frac{7}{12} - \frac{7}{16} - \frac{9}{16}+\frac{9}{20}-....$$
$$\frac{3}{4} - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +....$$ (เราจะสรุปว่ามันเท่ากับ$\frac{3}{4}$ เลยได้ไหมครับ )

[MiNd169]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Influenza_Mathematics

ผมทำแบบนี้ได้ปะครับ มีปัญหาตรง $B$ อะครับ
$$B = \frac{3}{2*4} - \frac{5}{4*6} + \frac{7}{6*8} - \frac{9}{8*10}+...$$

จาก $\dfrac{1}{ab}= \dfrac{1}{b-a}(\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b})$ โดยที่ $a<b$

จะได้ $$\frac{3}{2}(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}) - \frac{5}{2}(\frac{1}{4}-\frac{1}{6}) +\frac{7}{2}(\frac{1}{6}-\frac{1}{8}) - \frac{9}{2}(\frac{1}{8}-\frac{1}{10}) + ....$$

$$\frac{3}{4} - \frac{3}{8} - \frac{5}{8}+\frac{5}{12} + \frac{7}{12} - \frac{7}{16} - \frac{9}{16}+\frac{9}{20}-....$$
$$\frac{3}{4} - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +....$$ (เราจะสรุปว่ามันเท่ากับ$\frac{3}{4}$ เลยได้ไหมครับ )

จะได้รูปแต่ละ loop คือ

$\dfrac{n-1}{(n-2)(n)} - \dfrac{n+1}{(n)(n+2)} = \dfrac{(n-1)(n+2)}{(n-2)n(n+2)} - \dfrac{(n+1)(n-2)}{(n-2)n(n+2)} = \dfrac{2n}{(n-2)n(n+2)} = \dfrac{2}{(n-2)(n+2)}$

จากนั้นก็แทน 4 8 12 16 20 ...

จะได้ $\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{30} + \dfrac{1}{70} + \dfrac{1}{126} + ... $

$= \dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{15} + \dfrac{1}{35} + \dfrac{1}{63} + ...)$

$= (\dfrac{1}{2})(\dfrac{1}{2})(1 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{7} - ...) $

$= (\dfrac{1}{2})(\dfrac{1}{2})(1)$

$= \dfrac{1}{4}$

[jabza]

พี่nooonuiiช่วยเฉลยข้อ33 ให้ละเอียดอีกสักนิด ผมยังไม่เข้าใจ เรื่องฟังชั่น ผมยังออ่นอยู่ข้อนี้ตอบ1088 ถ้าใครว่างช่วยเฉลยข้อนี้ด้วยครับ.

[MiNd169]

ข้อ 33

ทำไมมีผมคิดได้ 1086 คนเดียวหว่า

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ jabza

พี่nooonuiiช่วยเฉลยข้อ33 ให้ละเอียดอีกสักนิด ผมยังไม่เข้าใจ เรื่องฟังชั่น ผมยังออ่นอยู่ข้อนี้ตอบ1088 ถ้าใครว่างช่วยเฉลยข้อนี้ด้วยครับ.

คำนวณให้ดูคร่าวๆครับ

สมมติว่า เราต้องการหาจำนวนเต็ม ตั้งแต่ $2010$ ถึง $2553$ ที่อยู่ในรูป $2^{10}m$ เมื่อ $m$ เป็นคี่

จำนวนในรูปนี้มีอะไรบ้างก็ลองไล่ดู $1024,3072,....$ ไม่มีจำนวนใดอยู่ในช่วง

ดังนั้นไม่มีจำนวนในรูปแบบดังกล่าว

ถ้าต้องการหาจำนวนในรูป $2^9m$ บ้างก็ลองไล่ดู

$512,1536,2048,2560,...$

สรุปว่ามีจำนวนเดียว คือ $2048$ เนื่องจาก $t=9$ จะได้ $f(2048)=10$

ทำแบบนี้ทุกแบบก็จะได้ค่าผลบวกครับ

[tongkub]

ขอบคุณ คุณ nooonuii มากครับ ข้อ 33 นับจนตาลายเลย รบกวนขอข้อ 25 อีกข้อด้วยครับ

[jabza]

ข้อ33ที่ตอบ1088 ผมยังไม่เข้าใจวิธีที่พีnooonuii อธิบายมา ใครก็ได้ช่วยแสดงวิธีทำให้ละเอียดกว่าหน่อยครับ. ผมยังโง่อยู่ ผลบวกของฟังช้นที่ค่าnเป็นคี่ได้=271 แต่ฟังชั่นคู่ไล่หาไม่ได้. ใครก๋ได้ช่วยแสดงวิธีข้อ33นี้ด้วย. คุณtongkub นับยังไงครับ ?

[Influenza_Mathematics]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

คำนวณให้ดูคร่าวๆครับ

สมมติว่า เราต้องการหาจำนวนเต็ม ตั้งแต่ $2010$ ถึง $2553$ ที่อยู่ในรูป $2^{10}m$ เมื่อ $m$ เป็นคี่

จำนวนในรูปนี้มีอะไรบ้างก็ลองไล่ดู $1024,3072,....$ ไม่มีจำนวนใดอยู่ในช่วง

ดังนั้นไม่มีจำนวนในรูปแบบดังกล่าว

ถ้าต้องการหาจำนวนในรูป $2^9m$ บ้างก็ลองไล่ดู

$512,1536,2048,2560,...$

สรุปว่ามีจำนวนเดียว คือ $2048$ เนื่องจาก $t=9$ จะได้ $f(2048)=10$

ทำแบบนี้ทุกแบบก็จะได้ค่าผลบวกครับ

ตรงสีแดงผมอยากรู้อะครับ ว่ามันเกี่ยวกับ $f(n)$ ยังไงครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Influenza_Mathematics

ตรงสีแดงผมอยากรู้อะครับ ว่ามันเกี่ยวกับ $f(n)$ ยังไงครับ

ผมใช้ความจริงที่ว่า ทุกจำนวนเต็มบวก $n$ สามารถเขียนในรูป $n=2^tm$ เมื่อ $t\geq 0$ และ $m$ เป็นจำนวนคี่ได้เสมอ

จากที่ผมแสดงไว้เราจะได้ว่า $f(n)=t+1$ ดังนั้นค่าของฟังก์ชัน $f$ จะขึ้นกับกำลังสูงสุดของ $2$ ที่เป็นตัวประกอบใน $n$

เราจึงมาดูว่า จำนวนในช่วง 2010 ถึง 2553 จะเขียนในรูป $2^tm$ ได้กี่แบบ

ก็พบว่าเขียนได้ $12$ แบบ เมื่อ $t=0,1,2,...,11$ แต่ละค่าของ $t$ จะให้ค่าฟังก์ชัน $f$ เท่ากันคือ $1,2,3,...,12$ ตามลำดับ

ถ้าเราให้ $n_t$ แทนจำนวนของจำนวนเต็มในช่วง 2010 ถึง 2553 ที่อยู่ในรูป $2^tm$

เราจะได้ว่า

$\displaystyle{\sum_{n=2010}^{2553}f(n)=\sum_{t=0}^{11}(t+1)n_t}$

ที่เราจำเป็นต้องหาจริงๆก็คือค่า $n_t$ สำหรับแต่ละ $t$

ผมหา $n_t$ จากการนับจำนวนเทอมในลำดับเลขคณิตครับ