ตัวอย่างโจทย์สิรินธร

[RedfoX]

ขอบคุณครับ ตอนแรกนึงว่าจะไม่มีคนมาตอบแล้ว ผมคิดทุกวันเลยนะครับ แต่มันคิดไม่ออกแล้วจริงๆ
วันนี้ขอถามอีกข้อครับ ตอนที่ 1 ข้อ 2ทำไงอะครับ

[M@gpie]

เห็นสูตรแล้วน่ากลัวเหลือเกินครับ ผมคิดว่าเขาดัดแปลงจากโจทย์ข้อนี้รึเปล่าครับ??

ถ้า $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมใดๆ $\vec{AB}=\vec{u}, \vec{AC}=\vec{v}, \vec{BC}=\vec{w}$
พื้นที่ของสามเหลี่ยมใดๆจะมีค่าเท่ากับ ...?

คำตอบ $\frac{1}{2}\sqrt{(\vec{u}\cdot\vec{u})(\vec{v}\cdot\vec{v})-(\vec{u}\cdot \vec{w})^2}$ ซึ่งแทนค่าเวกเตอร์ด้วยจำนวนเชิงซ้อนก็จะได้ผลตามต้องการ
โดยต้องพยายามทำให้สูตรเหมือนเดิมโดยนิยาม $\; \; \vec{v} \cdot \vec{w} = Re(z_1\bar{z_2})$
เมื่อ $\; z_1 \;$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่แทนเวกเตอร์ $\vec{v}$ และ $\; z_2 \;$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่แทนเวกเตอร์ $\vec{w}$

ปล. เอ่อ ถ้าผมเขียนค่อนข้าง งงๆ ขออภัยด้วยนะขอรับ

[RedfoX]

แล้วสูตรที่ว่ามายังไงหรือครับ คุณmagpie สงสัยนะครับ

[gon]

ข้อความเดิมของคุณ RedfoX:
แล้วสูตรที่ว่ามายังไงหรือครับ คุณmagpie สงสัยนะครับ

ลองดูนี่ครับ.

เสริมประสบการณ์ ชุดที่ 2

[warut]

เย่...เข้าใจแล้ว ขอบคุณคุณ M@gpie และคุณ gon มากครับ

ป.ล. แต่ว่าสูตรและคำอธิบายข้างบนของคุณ M@gpie รู้สึกจะมีที่ผิดอยู่หลายแห่งนะครับ

[banker]

1. ขออนุญาตนะครับ ปกติข้อสอบมัธยมปลาย ไม่กล้าแหยม แต่กรณีนี้บังเอิญเคยผ่านข้อนี้มาก่อน
2. ข้อสุดท้ายของข้อสอบฉบับนี้ คือข้อ 4 ตอนที่ 3
3. ท่าน TOP ได้ทำ link ไปที่กระทู้ http://www.mathcenter.net/forum/show...p?t=279&page=1 ซึ่งก็ยังไม่ตรงคำตอบของข้อสอบฉบับนี้
4. กระทู้ที่ link ถาม ค่าที่น้อยที่สุดของ k + m + n แต่ข้อสอบของสิรินธร ถาม มากที่สุด
5. โจทย์แนวนี้เคยติวหลานก่อนไปแข่งคณิตศาสตร์โลกที่ฮ่องกง บังเอิญหลานยังอยู่ประถม ก็เลยต้องสอนแบบประถม เพื่อให้เด็กประถมเข้าใจ
6. แนวคิดแบบประถมที่ติวหลานมีดังนี้

จงหาค่าที่มากที่สุดของ k + m + n ที่ทำให้อสมการนี้เป็นจริง \[\frac{{19}}{{20}} < \frac{1}{k} + \frac{1}{m} + \frac{1}{n} < 1\]

หรือ \[0.950 < \frac{1}{k} + \frac{1}{m} + \frac{1}{n} < 1.000\]

พิจารณา \[\frac{1}{k} + \frac{1}{m} + \frac{1}{n}\]

ค่าของ k หรือ m หรือ n จะเท่ากับ 1 ไม่ได้ เพราะจะทำให้ค่าของ \[\frac{1}{k} + \frac{1}{m} + \frac{1}{n}\] มากกว่า 1 ซึ่งทำให้อสมการไม่เป็นจริง

ดังนั้น ค่าของ k หรือ m หรือ n น่าจะเป็น 2, 3, 4, 5......
ลองแทนค่าดู ก็จะได้
\[\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}\ = \frac{13}{12}\] ซึ่งมากกว่า 1
\[\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5}\ = \frac{31}{30}\] ซึ่งมากกว่า 1
\[\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}\ = \frac{6}{6}\] ซึ่งเท่ากับ 1
\[\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{7}\ = \frac{41}{42}\] ซึ่งเท่ากับ 0.976 ซึ่งมากกว่า 0.950 แต่น้อยกว่า 1
\[\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{8}\ = \frac{23}{24}\] ซึ่งเท่ากับ 0.958 ซึ่งมากกว่า 0.950 แต่น้อยกว่า 1
\[\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{9}\ = \frac{17}{18}\] ซึ่งเท่ากับ 0.944 ซึ่งน้อยกว่า 0.950

จะเห็นว่า ค่าที่เป็นไปได้ของ k หรือ m หรือ n คือ 2,3,7 หรือ 2,3,8 เท่านั้น
ดังนั้น ค่าที่น้อยที่สุดของ k + m + n = 2 + 3 + 7 = 12
และ ค่าที่มากที่สุดของ k + m + n = 2 + 3 + 8 = 13

ข้อนี้จึงตอบ 13

ผมไม่ทราบว่าเอาแนวคิดแบบนี้ไปตอบในข้อสอบมัธยมปลาย เขาจะให้คะแนนหรือเปล่า

[nongtum]

แว้บมาแปะเฉลยละเอียดครับ ผมมีปัญหากับสแกนเนอร์นิดหน่อย ไฟล์ภาพที่ได้เลยขาดเกินๆนิดอย่างที่เห็น หากใครมีข้อสงสัยหรือพบที่ผิดบอกกันได้นะครับ อ้อ ผมยังไม่ได้ทำข้อ 2.6, 2.7, 2.9 นะครับ (คิดไม่ออก) หากใครจะช่วยผมทำจะขอบคุณมากๆครับ










EDIT: เปลี่ยนรูปสุดท้ายเพื่อแก้เฉลยข้อ 2.8

[warut]

ตอบคุณ banker เรื่องข้อ 4 ตอนที่ 3 นะครับ คิดว่าวิธีทำของคุณ banker น่าจะยังมีปัญหาตรงที่ยังไม่ได้แสดงว่าไม่มีคำตอบในกรณีที่ $k,m,n\ge3$ ครับ

[RedfoX]

อืม ขอบคุณทุกคนมากครับ สุดยอดไปเลยครับ
ปล.จากการอ่าน my math ตอนนี้รู้สึกว่าน่าจะหาฟิโบนักชี ตัวที่ 144 ได้นะครับ (ฉบับล่าสุดเขียนไว้)
แต่คำตอบคงไม่สวยซักเท่าใดนัก

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ nongtum:
อ้อ ผมยังไม่ได้ทำข้อ 2.6, 2.7, 2.9 นะครับ (คิดไม่ออก) หากใครจะช่วยผมทำจะขอบคุณมากๆครับ

โอ้โห...แต่ละข้อที่เหลือไว้นี่หินจริงๆครับ ผมลองจับข้อ 2.7 มาทำข้อเดียวก็หมดแรงแล้ว

ข้อ 7. ตอนที่ 2 ให้ $z$ เป็นจํานวนเชิงซ้อนซึ่งสอดคล้องกับความสัมพันธ์ $|z-\frac1z|=2$ และถ้า $w$ เป็นจํานวนเชิงซ้อนซึ่ง $|w|=5$ แล้ว $|z-w|$ จะมีค่ามากสุดเมื่อ $w=-3-4i$ ค่าของ $|z|+\frac{1}{|z|}$ เท่ากับเท่าใด

ผมตีความโจทย์ข้อนี้ว่า $z$ เป็นจุดคงที่ที่อยู่บน curve $|z-\frac1z|=2$ และจุดบนวงกลม $|w|=5$ ที่ห่างจากจุด $z$ นี้มากที่สุดคือ $w=-3-4i$

ดังนั้นจุด $z$ นี้ต้องอยู่บนเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุด $w=-3-4i$ กับจุดศูนย์กลางของวงกลม $|w|=5$ ซึ่งก็คือจุด $(0,0)$

หลังจากคิดเลขอย่างบ้าระห่ำแล้ว ผมได้คำตอบออกมาว่า $$|z|+\frac{1}{|z|}= \frac25\sqrt{34}$$ ถ้าต้องทำแบบนี้โดยไม่มีคอมพิวเตอร์ เวลาสอบทั้งหมด 3 ชม. ก็คงไม่พอสำหรับผมทำข้อนี้ข้อเดียวหรอกครับ ดังนั้นถ้าใครมีความเห็นหรือข้อแนะนำสำหรับข้อนี้ก็ช่วยหน่อยนะครับ

[nongtum]

งั้นผมแว้บมาแปะแนวคิดข้อ 2.9 ดีกว่า

อสมการแรกเมื่อแทน $x=1$ จะพบว่าทางซ้ายมือมากกว่าทางขวามือ
เพราะ log เป็นฟังก์ชันเพิ่มบน $(0,\infty)$ และกราฟของ $y_1=\log_2(1+\sqrt{x})$ ตัดกับ $y_2=\log_3{x}$ เพียงจุดเดียว
เราจะได้ว่ามี $x\in(0,1)$ ที่ทำให้ $y_1=y_2$
แต่ผมนึกไม่้ออกว่าจะแสดงให้มันแจ่ม (rigorous) กว่านี้ได้อย่างไร ใครรู้ช่วยบอกทีครับ

สำหรับอสมการหลังผมคิดแบบนี้ครับ
$\begin{eqnarray}
0.5^{\log_5(\log_{0.3}(x-0.7))}&\le&1\\
\log_5(\log_{0.3}(x-0.7))&\ge&0\\
\log_{0.3}(x-0.7)&\ge&1\\
0\le x-0.7&\le&0.3\\
0.7\le x&\le&1\\
\end{eqnarray}$
(ขอบคุณคุณ warut ที่ช่วยท้วงครับ)

เพราะ $A$ และ $B$ disjoint กัน ดังนั้น $A'\cup B'=(A\cap B)'=\mathbb{R}$

ส่วนข้อ 2.6 ผมคิดได้ถึงแค่ $\det D=27/625$ แล้วก็ไปต่อไม่เป็นแล้วครับ ใครทำได้ช่วยทำต่อที

ข้อ 2.7 ผมว่าลองมอง $z,w$ เป็นจุดบน $\mathbb{R}^2$ ก็ได้ แต่ก็ไม่น่าจะง่ายกว่าเดิมเท่าไหร่ แต่จะว่าไปมันก็แนวคิดเดียวกับคุณ warut ล่ะนะ

หมายเหตุ: ในเฉลยด้านบนผมเขียนตกเขียนผิดไปเท่าทีเจอมี 7 จุด คือ
ข้อ 1.6 path 2-4 ตอนคำนวณ หน่วยต้องเป็น km/(km/h)
ข้อ 1.9 บรรทัดก่อนสุดท้ายต้องเป็น $(\det^3A-8)^4$
ข้อ 1.8 สองบรรทัดสุดท้ายต้องเป็น ... of the form $(y-k)^2=4c(x-h)$ (why?).
ข้อ 2.1 บรรทัดก่อนสุดท้ายที่หายไปตอนสแกนคือ For $x^2-x-1>1$ and ...
ข้อ 2.10 ตอบ 0.56 นะครับ เขียนไว้กันคนอ่าน 0, เป็นเลขเก้า
ข้อ 3.4 บรรทัดที่สามจากล่าง $\frac{1}{9}\approx\frac{6.6}{60}$
ข้อ 3.3 บรรทัดที่ห้า ให้เ้ติม $\triangle{ABC}$ หลัง $\frac13\times\frac14$

phew... แก้เยอะชมัด

[warut]

ได้ลองทำข้อ 6. ตอนที่ 2 ดูแล้ว ไม่ยากอย่างที่คิดครับ

2.6 กำหนดให้ $$A=\pmatrix{ 2 & -3 & 4 \\ -4 & 2 & 1 \\ 3 & 0 & -1},B=\pmatrix{ 0 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ -1 & 3 & 5},C=\pmatrix{ 1 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1}$$ และ $I_3$ เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ขนาด $3\times3$ ถ้า $D$ เป็นเมตริกซ์ขนาด $3\times3$ ซึ่ง $$[(C^tB^{-1}A^t)(DAB)C^{-1}]^t=3I_3$$ แล้วผลรวมของสมาชิกในแถวที่สองของ $D^{-1}$ เท่ากับเท่าใด

จะเห็นว่า $C$ เป็น symmetric matrix นั่นคือ $C^t=C$ จากนั้น simplify expression ยุ่งๆข้างบนนั่นแล้วจะเหลือแค่ $A^tDA=3I_3$ ย้ายข้างไปมาจะได้ว่า $D^{-1}=\frac13AA^t$ ออกแรงคูณอีกนิดหน่อยเพื่อหาเฉพาะแถวที่ 2 ของ $D^{-1}$ แล้วจะพบว่าผลรวมที่ต้องการคือ $$\frac13(-10+21-13)=-\frac23$$

2.9 ถ้า $A$ เป็นเซตคําตอบของอสมการ $\log_2(1+\sqrt x)\le\log_3x$ และ $B$ เป็นเซตคําตอบของอสมการ $$0.5^{\displaystyle{ \log_5(\log_{0.3} (x-0.7))}} \le1$$ จงเขียนเซต $A'\cup B'$

จากอสมการหลังเราจะได้ว่า $\log_{0.3}(x-0.7)\ge1$ ดังนั้น $0<x-0.7\le0.3$ แสดงว่า $B=(0.7,1]$
ให้สังเกตว่าถ้า $x\in B$ แล้ว $\log_2(1+\sqrt x)>0$ แต่ $\log_3x\le0$ แสดงว่าถ้า $x\in B$ แล้ว $x\notin A$
ดังนั้น $A\cap B=\emptyset$ นั่นคือ $A'\cup B'=(A\cap B)'=\mathbb R$ ภายใต้สมมติฐานว่าเอกภพสัมพัทธ์คือ $\mathbb R$ นะครับ

[banker]

ท่าน warut ครับ ไม่เข้าใจความหมายที่ท่านท้วงติงครับ ที่ว่า

"ยังไม่ได้แสดงว่าไม่มีคำตอบในกรณีที่ k,m,n≥3 "

ผมคิดอย่างนี้ครับ
ค่าของ k,m,n อยู่ในเงื่อนไขว่า เมื่อใส่ค่าของ k,m,n แล้ว ผลรวมของเศษส่วนต้องมากกว่า 0.950 แต่น้อยกว่า 1.000

กรณีที่ k=m=n
กรณีที่ k=m=n มากว่า 3 อสการนี้ก็ไม่เป็นจริง เพราะผลรวมของเศษส่วนน้อยกว่า 0.950
กรณีที่ k=m=n เท่ากับ 3 k+m+n ก็ยังไม่ใช่ค่าที่มากที่สุดตามที่โจทย์ถาม

กรณีที่ k,m,n มีค่าไม่เท่ากัน ยิ่งมีค่ามาก ผลรวมของเศษส่วนทั้งสามก็จะยิ่งน้อยลง จะน้อยกว่า 0.950 ไปเรื่อยๆ

ดังนั้น ค่าที่เป็นไปได้ของ k หรือ m หรือ n คือ 2,3,7 หรือ 2,3,8 เท่านั้นที่ทำให้อสมการเป็นจริง

ค่าที่มากที่สุดของ k + m + n = 2 + 3 + 8 = 13

ข้อนี้จึงตอบ 13

[nongtum]

ผมเข้าไปดูเฉลยทางการมาแล้วที่ http://www.psc.ac.th/MATH/INDEX.htm ก็ยังเป็นสไตล์ไทยๆเหมือนเดิม มีแต่คำตอบ ไร้วิธีทำ ทั้งผมและคุณ warut ต่างมีข้อที่เฉลยไม่ตรงกับเฉลยทางการสามข้อและหนึ่งข้อตามลำดับ เดี่ยวจะลองเช็คดูอีกรอบครับว่าใครผิด

[warut]

ถ้าอธิบายเพิ่มอย่างที่คุณ banker เขียนตอนหลังนี่ก็โอเคแล้วครับ

ข้อความเดิมของคุณ nongtum:
ทั้งผมและคุณ warut ต่างมีข้อที่เฉลยไม่ตรงกับเฉลยทางการสามข้อและหนึ่งข้อตามลำดับ เดี่ยวจะลองเช็คดูอีกรอบครับว่าใครผิด

ข้อที่เฉลยไม่ตรงกับที่ผมทำได้คือ ข้อ 2.6 ซึ่งเขาเฉลยว่า -6 ของผมได้ -2/3 แต่ผมค่อนข้างมั่นใจในคำตอบของผมครับ เพราะผมเช็คด้วยคอมพิวเตอร์แล้ว (โจทย์ทุกข้อที่ผมทำ ถ้าสามารถเช็คด้วยคอมพ์ได้ ผมจะเช็คก่อนโพสต์ทุกครั้ง ยกเว้นเวลาที่รีบมากๆ) ส่วนเฉลยของข้อ 2.7 คือ $\frac{\sqrt{136}}{5}$ อันนั้นยังไม่ได้ simplify ให้เป็น $\frac25\sqrt{34}$ ซึ่งเป็นคำตอบของผมครับ