ตัวอย่างโจทย์สิรินธร

[nongtum]

ในขณะที่ผมมั่นใจว่าผมคิดข้อ 1.2 และ 1.6 ไม่ผิด ผมก็ได้แปะแผ่นแก้ของข้อ 2.8 ในหน้าเดิมแล้วครับ ยังไงรบกวนสมาชิกท่านอื่นช่วยตรวจทานข้อ 1.2 และ 1.6 อีกครั้งด้วยครับ

อนึ่ง ในเฉลยข้อ 2.2 ไม่ได้บอกว่า f(143) คืออะไร และข้อ 1.7 ไม่ชัดเจนว่าจุด D อยู่ที่ใดอย่างที่ผมทำให้ดูแล้ว

เสียดายที่ผลคะแนนไม่ได้แยกคะแนนส่วนแรกกับส่วนที่สองไว้ ซึ่งขอปรบมือให้คนที่ทำสองส่วนแรกนี้ได้ 52/76 ครับ เพราะข้อสอบชุดนี้มันคำนวณเยอะจริงๆ ในขณะที่ข้อแสดงวิธีทำ ดูเหมือนว่าข้อแรกจะเป็นข้อเดียวที่ผู้เข้าสอบส่วนมากทำได้ โดยทิ้งสามข้อหลังไปเกือบทุกคน ข้อสองมีคนทำได้ไม่น่าเกินยี่สิบคนทั้งที่จริงๆแล้วไม่ได้มีอะไรซับซ้อน ข้อสี่และข้อสามน่าแปลกที่มีคนทำได้เต็มเพียงข้อละหนึ่งคน ทั้งที่จริงสองข้อนี้น่าจะเป็นข้อสอบม.ต้นด้วยซ้ำไป แต่ทั้งนี้และทั้งนั้น นี่เป็นความเห็นส่วนตัวผมนะครับ

[warut]

1.2 ข้อใดเป็นจํานวนของพหุนามกําลังสอง $p(x)$ ทั้งหมดที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจํานวนเต็ม โดยที่รากทั้งสองของ $p(x)$ เป็นจํานวนเต็มและ $p(8)=1$

ให้ $p(x)=a(x-b)(x-c)$ โดยที่ $a,b,c$ เป็นจำนวนเต็ม

เนื่องจาก $p(8)=1$ ดังนั้น $a(8-b)(8-c)=1$ แสดงว่า $a\mid1$ นั่นคือ $a=\pm1$

ถ้า $a=1$ จะได้ $(8-b)(8-c)=1$ นั่นคือ $8-b=8-c=1$ หรือ $8-b=8-c=-1$ รวม 2 แบบ

ถ้า $a=-1$ จะได้ $(8-b)(8-c)=-1$ นั่นคือ $8-b=1$ และ $8-c=-1$ หรือ $8-b=-1$ และ $8-c=1$ รวมอีก 2 แบบ

สรุปว่ามีทั้งหมด 4 แบบ แต่ไม่มีตัวเลือกนี้ ดังนั้นคำตอบจึงคงคิดเฉพาะพหุนามที่มี leading coefficient เป็นบวก ซึ่งถ้าคิดแบบนี้ก็คงต้องเลือก ข้อ 2. คือ 2 แบบ เช่นเดียวกับคุณ nongtum ครับ ส่วนเฉลยคือ ข้อ 3. 3 แบบ

ข้อนี้ถ้าผมคิดไม่ผิดก็แสดงว่าทั้งโจทย์และตัวเลือกที่ให้มามีปัญหาทั้งคู่ครับ

ข้อ 1.6 นี่คุณ nongtum เลือกข้อ 2. ตอนที่ตอบแต่คำตอบ แต่ตอนที่แสดงวิธีทำคุณ nongtum เลือกข้อ 1. แต่รูปที่วาดไม่น่าจะถูกนะครับ ถนนเชื่อมมันตั้งฉากกับถนนมอเตอร์เวย์ ไม่ใช่กับถนนสายหลัก ส่วนเฉลยคือข้อ 2. และผมทำได้ข้อ 1. เหมือนคุณ RedfoX ครับ

[nongtum]

ข้อ 1.2 คุณ warut คิดได้กระทัดรัดกว่าผมแฮะ ผมลืม -1 ได้ยังไง งั้นผมไม่แก้ของผมข้อนี้ละกัน

ส่วนข้อ 1.6 ขออภัยครับที่วาดผิด โชคดีที่ตอบข้อ 1 เหมือนกัน สรุปว่าเฉลยทางการผิด (ฮา)

ของม.ต้นผมก็คิดได้ไม่ตรงเฉลยหลายข้อ แต่งานที่ดองไว้ก็รอผมเหมือนกัน เอาเป็นว่าว่างแล้วค่้อยแก้ละกัน

[RedfoX]

ไปดูคะแนนสอบตัวเองมาครับ เฮ้อเซ็งมากครับ ทำแบบแสดงวิธีทำไปแต่เขาให้คะแนนผมน้อยมากครับ(ทำถูกนะ)
สำหรับข้อ 2.9 นะครับ ผมคิดว่าแนวคิดของโจทย์ข้อนี้ไม่ได้ให้เราคิดเลขหรอกครับ แค่ใช้คุณสมบัติหาเซตคร่าวๆแล้วนำมายูเนียนก็ได้นะครับ(ถูกด้วยละ)
สำหรับข้อ 2.7 นี่ผมยังไม่ค่อยเข้าใจนะครับ รบกวนคุณ warut ช่วยอธิบายเพิ่มทีนะครับ

ขออีกนิดครับ สงสัยว่าข้อ2.1 นั้น ลืมคำตอบ 0 ไปหรือเปล่า ครับ เพราะ ในเฉลยเขาไม่มีครับ

[nongtum]

แบบนี้แปลว่าต่างคนต่างลืมแน่ เพราะศูนย์ก็เป็นคำตอบข้อ 2.1 ด้วย ขออู้ไม่แก้แผ่นเฉลยอีกตามฟอร์ม

ส่วนข้อ 2.7 ผมก็สนใจนะว่าคุณ warut ทำอย่างไร

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ RedfoX:
สำหรับข้อ 2.9 นะครับ ผมคิดว่าแนวคิดของโจทย์ข้อนี้ไม่ได้ให้เราคิดเลขหรอกครับ แค่ใช้คุณสมบัติหาเซตคร่าวๆแล้วนำมายูเนียนก็ได้นะครับ(ถูกด้วยละ)

คุณ RedfoX ทำยังไงล่ะ สนใจครับ

ข้อความเดิมของคุณ RedfoX:
สำหรับข้อ 2.7 นี่ผมยังไม่ค่อยเข้าใจนะครับ รบกวนคุณ warut ช่วยอธิบายเพิ่มทีนะครับ

ข้อความเดิมของคุณ nongtum:
ส่วนข้อ 2.7 ผมก็สนใจนะว่าคุณ warut ทำอย่างไร

เอ...ทำไมสนใจข้อที่ผมไม่รู้วิธีทำดีๆกันจัง

ก็ลุยตรงๆเลยครับ เนื่องจาก $z$ อยู่บนเส้นตรงที่เชื่อม $(0,0)$ กับ $(-3,-4)$ ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว ดังนั้น $z$ ต้องอยู่ในรูป $x+\frac43xi$ แทนค่า $z$ ลงใน $|z-\frac1z|=2$ แล้วแก้สมการอย่างหฤหรรษ์ (จริงๆนะ) จะได้ $x=\frac{9+3\sqrt{34}}{25}$ และจากที่ $|z|=\frac53x$ เราก็จะหา $|z|+\frac{1}{|z|}$ ได้ไม่ยากครับ

แต่ถ้ารู้มาก่อนว่าสมการ $|z-\frac1z|=2$ เป็นวงกลมรัศมี $\sqrt2$ หน่วย 2 วงที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $(\pm1,0)$ อะไรๆก็จะง่ายขึ้นเยอะ (แต่ถ้าไม่รู้มาก่อน แล้วมาหาในห้องสอบก็คงสาหัสไม่แพ้กันครับ) เพราะแทนที่เราจะแทนค่า $z=x+\frac43xi$ ใน $|z-\frac1z|=2$ เราก็แทนค่าใน $|z-1|^2=2$ แทนได้ครับ ซึ่งจะทำให้แก้สมการได้ง่ายขึ้นมากๆ

อย่างไรก็ตามผมคิดว่าวิธีที่ผมพูดมาทั้งสองอัน คงไม่ใช่วิธีที่ดีที่สุดแน่ ดังนั้นก็อย่างที่ผมขอร้องเอาไว้คือ ถ้าใครทราบวิธีฉลาดๆที่จะใช้กับข้อนี้ได้ ก็ช่วยชี้แนะด้วยครับ

[warut]

เพิ่งรู้ตัวว่าวิธีทำข้อ 2.7 ของผมยังมีช่องโหว่อยู่อีกดังนี้ครับ

ถ้าทำแบบแรกจะมีคำตอบ $x>0$ อยู่อีกอันคือ $x=\frac{3\sqrt{34}-9}{25}$ (ที่ $x$ ต้องมากกว่าศูนย์ เพื่อให้ $z$ อยู่ใน quadrant ที่ 1 ตรงข้ามกับจุด $(-3,-4)$ ซึ่งอยู่ใน quadrant ที่ 3 จริงๆแล้วยังมีคำตอบที่ $x<0$ อีก 2 คำตอบ แต่อันนั้นมันจะทำให้ $(-3,-4)$ เป็นจุดบนวงกลม $|w|=5$ ที่ใกล้ที่สุด ไม่ใช่ไกลที่สุด วาดรูปแล้วจะเข้าใจครับ) แต่ที่แปลกก็คือ แม้ $x$ จะเป็นค่าใหม่นี้ เราก็ยังคงได้ $|z|+\frac{1}{|z|}= \frac25\sqrt{34}$ เหมือนเดิม และนี่คือสิ่งที่ทำให้ผมยิ่งเชื่อมั่นว่า มันควรจะมีวิธีทำที่ฉลาดกว่านี้ครับ

ถ้าใช้วิธีที่ 2 ค่า $x$ อีกค่านี้จะมาจากจุดตัดกับอีกวงกลมหนึ่ง นั่นคือวงกลม $|z+1|^2=2$ ครับ

[nooonuii]

2.7 My Solution :

ให้ $z=re^{i\theta}$ จะได้ว่า $|z-\frac{1}{z}|=2 \Rightarrow |z^2-1|^2=4|z|^2$
นั่นคือจะได้ว่า
$$(r^2\cos{2\theta}-1)^2+(r^2\sin{2\theta})^2=4r^2$$
จัดรูปจะได้
$$(r+\frac{1}{r})^2 = 6 + 2\cos{2\theta}$$
ดังนั้น
$|z|+\frac{1}{|z|} = r + \frac{1}{r} = \sqrt{6 + 2\cos{2\theta}}$

ต่อไปพิจารณาค่าของฟังก์ชัน $|z-w|^2$ ซึ่งมองให้เป็นฟังก์ชันในตัวแปร $\alpha$ เมื่อกำหนดให้ $w=5e^{i\alpha}$ เราจะได้ว่า

$$|z-w|^2 = r^2+25 - 10r\cos{(\alpha - \theta)}$$

จะเห็นว่าค่าของฟังก์ชันมีค่าสูงสุดเมื่อ $\cos{(\alpha - \theta)}= - 1$
แต่โจทย์บอกว่าค่าสูงสุดเกิดเมื่อ $\alpha = \pi + \arctan{(\frac{4}{3})}$
ดังนั้นเราจะได้ว่า $\theta = \arctan{(\frac{4}{3})}$
เพราะฉะนั้น $\cos{2\theta} = -\frac{7}{25}$
เราจึงได้ว่า $$|z|+\frac{1}{|z|} = \frac{2\sqrt{34}}{5} $$

[warut]

สุดยอดๆ ขอบคุณมากครับคุณ nooonuii นึกว่าจะไม่มีอัศวินม้าขาวมาช่วยคิดซะแล้ว

แต่ตอนหามุม $\theta$ ผมว่าถ้าใช้วาดรูป + geometry แทบจะไม่ต้องออกแรงคิดเลยนะครับ เพราะเรารู้ว่า $z$ ต้องอยู่ด้านตรงข้ามกับ $(-3,-4)$ เมื่อมองเทียบกับจุด $(0,0)$

[RedfoX]

[quote]ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
[QB]2.7 My Solution :

ให้ $z=re^{i\theta}$ จะได้ว่า $|z-\frac{1}{z}|=2 \Rightarrow |z^2-1|^2=4|z|^2$
นั่นคือจะได้ว่า
$$(r^2\cos{2\theta}-1)^2+(r^2\sin{2\theta})^2=4r^2$$

มาไงอะครับงง

[nongtum]

มันมาจาก $z=re^{i\theta}=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ ครับ

[RedfoX]

กำผมจัดรูปผิดเองครับ ขอโทษทีครับ