Analysis ค่ะใครทำได้ช่วยที

[เอกเลข]

Prove that, if x is an accumulation point of the set S, then every neighborhood of x contains infinitely many points of S.

ช่วยทำหน่อยนะค่ะ ขอบคุณล่วงหน้าค่ะ

[nooonuii]

ลองเริ่มจากนิยามครับ

ถ้าเราตั้ง $\epsilon$ ขึ้นมาตัวนึงเราจะสามารถหา $y\in S-\{x\}$ ที่ห่างจาก $x$ น้อยกว่า $\epsilon$ เสมอ

หมายความว่า $x$ จะมีค่าอยู่ใกล้ๆกับสมาชิกใน $S$ มากๆ ถึงแม้ว่าอาจจะไม่ได้เป็นสมาชิกใน $S$ ก็ตาม

สมมติเลือก $\epsilon=1$ เราจะมี $y_1\in S-\{x\}$ ซึ่ง $|x-y_1|<1$ อันนี้ก็ได้สมาชิกใน $S$ มาตัวนึงแล้ว

ต่อไปลองวิเคราะห์ดูซิว่าเราจะหาตัวต่อไปได้ยังไงเพื่อไม่ไห้ซ้ำกับตัวเดิม ลองวาดรูปเส้นจำนวนดูก็ได้

เป็นแบบนี้ -----$x$-----$y_1$------- หรือแบบนี้ ------$y_1$------$x$--------

แต่จะแบบไหนก็แล้วแต่ เราควรจะมองหาตัวต่อไปที่อยู่ใกล้ $x$ มากกว่า $y_1$ จากการที่ $x$ เป็น

accumulation point เราหาได้แน่ แต่จะเลือก $\epsilon$ เป็นอะไรดี? เนื่องจากเราต้องการได้จำนวนที่อยู่ใกล้

$x$ น้อยกว่า $y_1$ เราก็ควรเลือก $\epsilon=|x-y_1|=$ระยะทางระหว่าง $x$ กับ $y_1$

ดังนั้นจากนิยามเราสามารถเลือก $y_2\in S-\{x\}$ ซึ่งทำให้ $|x-y_2|<|x-y_1|$ แค่นี้เราก็รู้แล้วว่า

$y_2\neq y_1$ แน่ๆ เราก็ได้มาสองตัวตุนไว้แล้ว ถ้าจะหาตัวต่อไปล่ะทำไงดี ? ก็ทำเหมือนเดิมครับ เปลี่ยนแค่

$\epsilon$ ให้มีขนาดเล็กลงไปเรื่อยๆ ก็จะได้ $y_1,y_2,y_3,....$ เป็นจำนวนอนันต์

[It'S ME]

ไม่ใช่คนตั้งกระทู้ แต่อ่านดูแล้วกระจ่างขึ้นมากเลยคับ

ขอบคุณมากครับ ท่าน nooonuii

คาราวะหนึ่งจอก !!

[เอกเลข]

ขอบคุณ คุณ nooonuiiมากเลยค่ะ

อ่านแล้วเข้าใจมากเลย