Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > อสมการ
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 06 กรกฎาคม 2014, 17:28
ฟินิกซ์เหินฟ้า ฟินิกซ์เหินฟ้า ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 28 พฤศจิกายน 2012
ข้อความ: 295
ฟินิกซ์เหินฟ้า is on a distinguished road
Default อสมการค่าตำ่สุด

ให้ $a,b,c,d,e,f,g$ เป็นจำนวนจริงบวกใดๆ
จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ $\dfrac{a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2+g^2}{ab+bc+cd+de+ef+fg}$
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 06 กรกฎาคม 2014, 17:42
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Default

ค่าต่ำสุดคือ $k=\sec\left(\dfrac{\pi}{8}\right)$

นิยามลำดับของจำนวนจริง $k_1,k_2,...,k_{10}$ ดังนี้

$k_1=\dfrac{k}{2}$

$k_2=\sqrt{1-k_1^2}$

$k_3=\dfrac{k}{2k_2}$

$k_4=\sqrt{1-k_3^2}$

$k_5=\dfrac{k}{2k_4}$

$k_6=\sqrt{1-k_5^2}$

$k_7=\dfrac{k}{2k_6}$

$k_8=\sqrt{1-k_7^2}$

$k_9=\dfrac{k}{2k_8}$

$k_{10}=\sqrt{1-k_9^2}$

จะได้ว่าอสมการ

$\dfrac{a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2+g^2}{ab+bc+cd+de+ef+fg}\geq k$

สมมูลกับ

$(a-k_1b)^2+(k_2b-k_3c)^2+(k_4c-k_5d)^2+(k_6d-k_7e)^2+(k_8e-k_9f)^2+(k_{10}f-g)^2\geq 0$

ต่อไปนี้เป็น conjecture ที่ผมคาดว่าจะจริงแต่ยังพิสูจน์ไม่ได้ครับ

Conjecture ให้ $a_1,a_2,...,a_n$ เป็นจำนวนจริงบวก จะได้ว่า
$$
\dfrac{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}{a_1a_2+a_2a_3+\cdots+a_{n-1}a_n}\geq\sec\left(\dfrac{\pi}{n+1}\right)
$$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น

06 กรกฎาคม 2014 22:36 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 02 พฤศจิกายน 2014, 23:01
น้องเจมส์'s Avatar
น้องเจมส์ น้องเจมส์ ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ไว
 
วันที่สมัครสมาชิก: 09 กันยายน 2010
ข้อความ: 199
น้องเจมส์ is on a distinguished road
Default

ค่าต่ำสุดคือ 1 ครับ จัดรูปกำลังสองสมบูรณ์
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 02 พฤศจิกายน 2014, 23:12
FranceZii Siriseth's Avatar
FranceZii Siriseth FranceZii Siriseth ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 03 พฤษภาคม 2013
ข้อความ: 344
FranceZii Siriseth is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ น้องเจมส์ View Post
ค่าต่ำสุดคือ 1 ครับ จัดรูปกำลังสองสมบูรณ์
ยังไงหรอครับ ยังไม่เห็นพจน์ ac ad ae ..... เลยครับ
__________________
Hope is what makes us strong.
It's why we are here.
It is what we fight with when all else is lost.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 05 พฤศจิกายน 2014, 10:24
Aquila Aquila ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 ตุลาคม 2013
ข้อความ: 412
Aquila is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii View Post
ค่าต่ำสุดคือ $k=\sec\left(\dfrac{\pi}{8}\right)$

จะได้ว่าอสมการ

$\dfrac{a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2+g^2}{ab+bc+cd+de+ef+fg}\geq k$

สมมูลกับ

$(a-k_1b)^2+(k_2b-k_3c)^2+(k_4c-k_5d)^2+(k_6d-k_7e)^2+(k_8e-k_9f)^2+(k_{10}f-g)^2\geq 0$
มายังไงน่ะครับท่าน กำลังสองมาเป็นพรวน
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #6  
Old 05 พฤศจิกายน 2014, 10:52
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Aquila View Post
มายังไงน่ะครับท่าน กำลังสองมาเป็นพรวน
มาจากทฤษฎีบทของ Artin ที่ว่าทุกอสมการพหุนามจะสามารถจัดเป็น sum of squares ได้ครับ

ก็เลยลองเดาว่าจะจัดรูปให้เป็น SOS ได้ยังไงโดยใช้วิธี undetermined coefficients ครับ

ผมคิดว่า conjecture ที่ตั้งไว้เป็นจริงโดยการจัดให้เป็น SOS แบบที่แสดงไว้

แต่ความยากอยู่ที่จะต้องพิสูจน์เอกลักษณ์บางอย่างของ $\sec$ ครับ

ใครว่างๆลองเอาไปคิดต่อดูนะครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #7  
Old 07 พฤศจิกายน 2014, 05:04
Aquila Aquila ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 ตุลาคม 2013
ข้อความ: 412
Aquila is on a distinguished road
Default

อีกคำถามนึงครับ ไปเสกค่า bound ขวาในรูปของ sec ออกมาได้ยังไงครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #8  
Old 07 พฤศจิกายน 2014, 11:06
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Aquila View Post
อีกคำถามนึงครับ ไปเสกค่า bound ขวาในรูปของ sec ออกมาได้ยังไงครับ
มาจากการสังเกตน่ะครับ

ถ้าจำนวนตัวแปรน้อยๆจะพบว่าอสมการต่อไปนี้เป็นจริงทุกตัวแปรที่เป็นจำนวนจริงใดๆ

$a^2+b^2 \geq 2ab$

$a^2+b^2+c^2 \geq \sqrt{2}(ab+bc)$

$a^2+b^2+c^2+d^2\geq (\sqrt{5}-1)(ab+bc+cd)$

$a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\geq \dfrac{2}{\sqrt{3}}(ab+bc+cd+de)$

ซึ่งจะพบว่าตัวเลขที่เห็นทางขวามือคือค่าของ $\sec\left(\dfrac{\pi}{n+1}\right)$ เมื่อ $n=2,3,4,5$

สำหรับวิธีพิสูจน์ก็สามารถใช้ SOS ได้ทุกอสมการครับ เช่น

$a^2+b^2+c^2 \geq \sqrt{2}(ab+bc)$ จะสมมูลกับ $\left(a-\dfrac{b}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\dfrac{b}{\sqrt{2}}-c\right)^2\geq 0$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #9  
Old 07 พฤศจิกายน 2014, 14:44
Mr.Com Mr.Com ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 20 พฤศจิกายน 2007
ข้อความ: 58
Mr.Com is on a distinguished road
Default

ล้ำลึกยิ่งนัก
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 22:06


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha