ใครจำข้อสอบ PAT 1 (ต.ค.55) วันนี้ได้บ้างครับ

[Suwiwat B]

ขอโทษครับข้อตรีโกณข้อ ข. มันเป็น - ไม่ใช่ บวก = = เเก้ให้เเล้วนะครับ

[shirouhi-lover]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ <3 Wan

A= max cos^4 - sin^4

B= max 4 sin + 3 cos


A+B เท่ากับเท่าไหร่ ในโจทให้มุมเปนลักษณ์ เดียวกันนะครับ

*ข้อB นี่ ถ้าไม่ดิฟตรีโกณเอา จะพอมีวิธีที่สั้นๆง่ายๆกว่านี้มั้ยครับ นึกไม่ออกเลยจิงๆ รบกวนเซียนหลายๆท่านในนี้ให้คำชี้แนะ ^^


$A= max[ cos^4\theta - sin^4\theta] $

$ A = (cos^2\theta + sin^2\theta)(cos^2\theta - sin^2\theta) $

$ A = (1)(cos 2\theta) $

เนื่องจาก $ -1 \leqslant cos 2\theta \leqslant 1 $

ดังนั้น ค่าสูงสุดของ A คือ 1

- - - - -

$ B= max [4 sin + 3 cos] $

พยายามจะใช้วิธีแบบ ม. ปลาย โดยไม่ diff trigon โดยตรง

$ B = 4sin\theta + 3 cos\theta $

แอบวาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากขึ้นมาหนึ่งรูป โดยมี $\theta$ อยุ่ที่มุมหนึ่ง ให้ด้านตรงข้ามยาว $a$ หน่วย ให้ด้านประชิดยาว $b$ หน่วย ดังนั้นด้านตรงข้ามมุมฉากจึงยาว $\sqrt{a^2 + b^2} $
(ต้องขออภัยที่ใส่รูปไม่เป็นคับ T-T)

$ B = 4( \frac{a}{ \sqrt{a^2 + b^2} }) + 3( \frac{b}{ \sqrt{a^2+b^2} } ) $

$ B = \frac{4a + 3b}{ \sqrt{a^2 + b^2} } $

$ B = \frac{ \frac{1}{b} }{ \frac{1}{b} } \cdot \frac{4a + 3b}{ \sqrt{a^2 + b^2} } $

$ B = \frac{ 4\frac{a}{b} + 3\frac{b}{b}}{ \sqrt{(\frac{a}{b})^2 + (\frac{b}{b})^2} } $

กำหนดให้ $\frac{a}{b} = x$ แทนค่าลงไป จะได้

$ B = \frac{4x+3}{ \sqrt{x^2 + 1} } $

ต้องการหาค่า x ที่ทำให้ได้ค่า B สูงสุดจาก

$ \begin{array}{rcl}

\frac{dB}{dx} & = & 0 \\

\frac{ \sqrt{x^2 + 1}(4) - (4x-3)( \frac{1}{2} )(x^2 + 1)^{-\frac{1}{2}}(2x) }{x^2 + 1} & = & 0 \\

\sqrt{x^2 + 1}(4) - (4x-3)( \frac{1}{2} )(x^2 + 1)^{-\frac{1}{2}}(2x) & = & 0 \\

\sqrt{x^2 + 1}(4) & = & (4x-3)( \frac{1}{2} )(x^2 + 1)^{-\frac{1}{2}}(2x) = 0 \\

4 \sqrt{x^2 + 1} & = & \frac{x(4x + 3)}{\sqrt{x^2 + 1}} \\

4(x^2 + 1) & = & 4x^2 + 3x \\

4x^2 + 4 & = & 4x^2 + 3x \\

4 & = & 3x \\

\frac{4}{3} & = & \frac{a}{b}

\end{array}$

เปลี่ยน $x$ กลับมาในรูปของ $a,b$ เหมือนเดิม

ดังนั้น ค่า สูงสุดของ $B$ จะเกิดขึ้นเมื่อ $sin \theta = \frac{a}{ \sqrt{a^2 + b^2} } = \frac{4}{ \sqrt{4^2 + 3^2} } = \frac{4}{5}$

และ $ cos\theta = \frac{b}{ \sqrt{a^2 + b^2} } = \frac{3}{ \sqrt{4^2 + 3^2} } = \frac{3}{5}$

ดังนั้น $B = max[4sin\theta + 3cos\theta]$

$B = 4(\frac{4}{5}) + 3(\frac{3}{5}) $

$B = \frac{16+9}{5} $

$B = \frac{25}{5} = 5$

ดังนั้น $A+B = 1 + 5 = 6$

[Form]

ค่าสูงสุด $ Asin\theta +Bcos\theta = \sqrt{A^2+B^2} $
พิสูจน์ได้หลายวิธีครับลองดูใครจำได้ก็ตอบได้เลย

[Suwiwat B]

มาเพิ่มให้อีกนะครับ
กำหนดให้ $f:R\rightarrow R$ เเละ $g:R\rightarrow R$
1.$(fg)(x) = 2x+3$
2. ฟังก์ชัน $f$,$g$ หาอนุพันธ์ได้ทุกค่า $x$
2.$f(x)$ มีค่าต่ำสุด = $2$ ที่ $x=1$
3.$g''(x) = 2$ สำหรับทุกๆ $x$ ที่เป็นจำนวนจริง
จงหาค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ $g$


ให้ $a_n = 2+4+6+.....+2n$
$b_n = a_1+a_2+a_3...+a_n$
หา $\lim_{x \to \infty}[\frac{2}{b_1}+\frac{3}{b_2}+ \frac{4}{b_3}+...+\frac{n+1}{b_n}]$

กำหนดฟังก์ชันพหุนาม $P(x)$ สอดคล้องกับ $P(0)=1$ เเละ
$\lim_{h \to 0}\frac{3xh+2h}{P(x+h+2)+P(h+2)-P(x+2)-P(2)} = 1 $
จงหา $P(12)$

กำหนดให้ $A={1,2,3,...,k}$ เเละ $B={(a,b)\in A \times A|0<b-a\leqslant 7}$ จงหาค่าของ $k$ เมื่อจำนวนสมาชิกของ B คือ $714$

มีข้อมูล 3 จำนวนมีผลรวมเป็น 195 มีค่ามัธยฐานเเละสัมประสิทธิ์ของพิสัยคือ 60 เเละ 0.2 ตามลำดับ จงหาความเเปรปรวนของข้อมูลนี้

[Real Matrik]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Suwiwat B

ขอโทษครับข้อตรีโกณข้อ ข. มันเป็น - ไม่ใช่ บวก = = เเก้ให้เเล้วนะครับ

เป็นลบยิ่งง่ายขึ้น

[SolitudE]

มาเติมอีกข้อนึง

ให้ $f(x)=x^3-26x^2+bx-216$ โดยมี $a_1,a_2,a_3$ เรียงกันเป็นลำดับเรขาคณิต และเป็นคำตอบของ $f(x)=0$ จงหา $f'(1)$

ปล. คิดว่าโจทย์น่าจะเป็นแบบนี้ สุดท้ายได้คำตอบเป็น 107

[Euler-Fermat]

ให้ $a_n = 2+4+6+.....+2n$

$b_n = a_1+a_2+a_3...+a_n$

หา $\lim_{n \to \infty}[\frac{2}{b_1}+\frac{3}{b_2}+ \frac{4}{b_3}+...+\frac{n+1}{b_n}]$

ได้ว่า $a_n = n(n+1)$

$b_n = \sum_{k = 1}^{n} k(k+1) = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$

$\lim_{n \to \infty}[\frac{2}{b_1}+\frac{3}{b_2}+ \frac{4}{b_3}+...+\frac{n+1}{b_n}]$

$= \lim_{n \to \infty}[\sum_{k = 1}^{n} \dfrac{k+1}{b_k}] $

ให้ $c_n = \dfrac{n+1}{b_n} = \dfrac{3}{n(n+2)} = \dfrac{3}{2}[\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}

{n+2}]$

$\therefore \lim_{n \to \infty}[\sum_{k = 1}^{n} \dfrac{k+1}{b_k}] $

$= \lim_{n \to \infty}[\sum_{k = 1}^{n} c_k]$

$= \lim_{n \to \infty}[\sum_{k = 1}^{n}\dfrac{3}{2}[\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+2}] ] $

$= \lim_{n \to \infty}[\dfrac{3}{2}[\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}]]$

$= \dfrac{9}{4}$

[lek2554]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

ข้อแรกจำนวนเชิงซ้อนนี่จดมาครบหรือเปล่าครับ
$z=a+bi$ แล้ว $(a,b)$ ที่สอดคล้องกับสมการ $2\sqrt{(a+1)^2+b^2}=\sqrt{(a+4)^2+b^2}$ มีอยู่เป็นอนันต์
$(a,b)$ จะเป็นจุดบนวงรี $4$$x^2+3y^2=12$

ทดเลขผิดครับ

[monster99]

มาเพิ่มให้ครับ :
1. ถ้า A เป็นเซตคำตอบของอสมการ $(x-2)^{x^2+2}<(x-2)^{2x+10}$ เมื่อ $x>2$
แล้ว A เป็นสับเซตของช่วงใด
1. (2,3) 2. (3.5,5) 3. (2.5,4) 4. (4,7)

2. พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. ถ้า p, q, r เป็นประพจน์โดยที่ $p\rightarrow (q\wedge r)$ มีค่าความจริงเป็นจริง
แล้ว $r\rightarrow [(p\rightarrow q)\wedge(~p\rightarrow r)] $ มีค่าความจริงเป็นจริง
ข. กำหนดเอกภพสัมพัทธ์คือ ${x\in R \left|\,\right. x^2\leqslant 2x+3}$
แล้ว $\exists x[3^x+6=3^{3-x}]$ มีค่าความจริงเป็นจริง

[lek2554]

$A= \left\{ x | x^2 \frac{log(x^2+2x-1)}{log(4)} + x \frac{log(x^2+2x-1)}{log(\frac{1}{2} )} = 2x-x^2\,\right\}$
$B=\left\{x^2|x\in A\,\right\}$
จงหาผลบวกสมาชิกทั้งหมดของเซต $B$

จากกระทู้http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=17433

[monster99]

ถ้า $arcsec x = arc sin\frac{1}{\sqrt{17} } -2arc cos \frac{2}{\sqrt{5} }$
แล้ว $cot(\frac{\pi }{2}+arc sec x) $ มีค่าเท่าใด

[Keehlzver]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lek2554

ทดเลขผิดครับ

ขอบคุณมากครับ
ปล.ข้อตรีโกณผมนึกว่ามุมต้องสอดคล้องทั้ง A,B ที่แท้แยกคิดได้นี่เอง

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Suwiwat B

กำหนดฟังก์ชันพหุนาม $P(x)$ สอดคล้องกับ $P(0)=1$ เเละ
$\lim_{h \to 0}\frac{3xh+2h}{P(x+h+2)+P(h+2)-P(x+2)-P(2)} = 1 $
จงหา $P(12)$

ข้อนี้สวยดีครับ

$$ 1= \lim_{h \to 0}\frac{3xh+2h}{P(x+h+2)+P(h+2)-P(x+2)-P(2)} = \frac{3x+2}{\lim_{h \to 0} \frac{P(x+2+h)- P(x+2)}{h} + \frac{P(2+h) - P(2)}{h}} = \frac{3x+2}{P'(x+2)+P'(2)} $$

ให้ $u= x+2 $ ดังนั้น $ P'(u) + P'(2) = 3u-4 $

แทน u=2 จะได้ $ P'(2) = 1 \Rightarrow P'(u) = 3u-5 $

integrate และ apply เงื่อนไข $P(0)=1$ จะได้ $ P(u) = \frac{3u^2}{2} - 5u+1 $

ดังนั้น P(12) = 157

[Kirito]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ shirouhi-lover

*ข้อB นี่ ถ้าไม่ดิฟตรีโกณเอา จะพอมีวิธีที่สั้นๆง่ายๆกว่านี้มั้ยครับ นึกไม่ออกเลยจิงๆ รบกวนเซียนหลายๆท่านในนี้ให้คำชี้แนะ ^^


$A= max[ cos^4\theta - sin^4\theta] $

$ A = (cos^2\theta + sin^2\theta)(cos^2\theta - sin^2\theta) $

$ A = (1)(cos 2\theta) $

เนื่องจาก $ -1 \leqslant cos 2\theta \leqslant 1 $

ดังนั้น ค่าสูงสุดของ A คือ 1

- - - - -

$ B= max [4 sin + 3 cos] $

พยายามจะใช้วิธีแบบ ม. ปลาย โดยไม่ diff trigon โดยตรง

$ B = 4sin\theta + 3 cos\theta $

แอบวาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากขึ้นมาหนึ่งรูป โดยมี $\theta$ อยุ่ที่มุมหนึ่ง ให้ด้านตรงข้ามยาว $a$ หน่วย ให้ด้านประชิดยาว $b$ หน่วย ดังนั้นด้านตรงข้ามมุมฉากจึงยาว $\sqrt{a^2 + b^2} $
(ต้องขออภัยที่ใส่รูปไม่เป็นคับ T-T)

$ B = 4( \frac{a}{ \sqrt{a^2 + b^2} }) + 3( \frac{b}{ \sqrt{a^2+b^2} } ) $

$ B = \frac{4a + 3b}{ \sqrt{a^2 + b^2} } $

$ B = \frac{ \frac{1}{b} }{ \frac{1}{b} } \cdot \frac{4a + 3b}{ \sqrt{a^2 + b^2} } $

$ B = \frac{ 4\frac{a}{b} + 3\frac{b}{b}}{ \sqrt{(\frac{a}{b})^2 + (\frac{b}{b})^2} } $

กำหนดให้ $\frac{a}{b} = x$ แทนค่าลงไป จะได้

$ B = \frac{4x+3}{ \sqrt{x^2 + 1} } $

ต้องการหาค่า x ที่ทำให้ได้ค่า B สูงสุดจาก

$ \begin{array}{rcl}

\frac{dB}{dx} & = & 0 \\

\frac{ \sqrt{x^2 + 1}(4) - (4x-3)( \frac{1}{2} )(x^2 + 1)^{-\frac{1}{2}}(2x) }{x^2 + 1} & = & 0 \\

\sqrt{x^2 + 1}(4) - (4x-3)( \frac{1}{2} )(x^2 + 1)^{-\frac{1}{2}}(2x) & = & 0 \\

\sqrt{x^2 + 1}(4) & = & (4x-3)( \frac{1}{2} )(x^2 + 1)^{-\frac{1}{2}}(2x) = 0 \\

4 \sqrt{x^2 + 1} & = & \frac{x(4x + 3)}{\sqrt{x^2 + 1}} \\

4(x^2 + 1) & = & 4x^2 + 3x \\

4x^2 + 4 & = & 4x^2 + 3x \\

4 & = & 3x \\

\frac{4}{3} & = & \frac{a}{b}

\end{array}$

เปลี่ยน $x$ กลับมาในรูปของ $a,b$ เหมือนเดิม

ดังนั้น ค่า สูงสุดของ $B$ จะเกิดขึ้นเมื่อ $sin \theta = \frac{a}{ \sqrt{a^2 + b^2} } = \frac{4}{ \sqrt{4^2 + 3^2} } = \frac{4}{5}$

และ $ cos\theta = \frac{b}{ \sqrt{a^2 + b^2} } = \frac{3}{ \sqrt{4^2 + 3^2} } = \frac{3}{5}$

ดังนั้น $B = max[4sin\theta + 3cos\theta]$

$B = 4(\frac{4}{5}) + 3(\frac{3}{5}) $

$B = \frac{16+9}{5} $

$B = \frac{25}{5} = 5$

ดังนั้น $A+B = 1 + 5 = 6$

หนึ่งในพิสูจน์ค่าสูงสุดของ $asin(\theta)\pm bcos(\theta)$
$=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{a^2+b^2}}(asin(\theta)\pm bcos(\theta))$
$=\sqrt{a^2+b^2}[\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}sin(\theta) \pm \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}cos(\theta)]$
สร้างสามเหลี่ยมที่มีด้านประกอบมุมฉากชิดยาว a และข้ามยาว b ขึ้นมาจะได้ว่า ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $\sqrt{a^2+b^2}$ (สามเหลี่ยมที่สร้างเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ ไม่ทราบค่ามุม)

$\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} = cos x$
$\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} = sin x$

$=\sqrt{a^2+b^2}[cos(x)sin(\theta) \pm sin(x)cos(\theta)$
$=\sqrt{a^2+b^2}[sin(\theta \pm x) ]$

จากขอบเขตของค่า sin ก็จะหาค่า min,max ได้แล้วครับ

[Kirito]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Euler-Fermat

ให้ $a_n = 2+4+6+.....+2n$

$b_n = a_1+a_2+a_3...+a_n$

หา $\lim_{n \to \infty}[\frac{2}{b_1}+\frac{3}{b_2}+ \frac{4}{b_3}+...+\frac{n+1}{b_n}]$

ได้ว่า $a_n = n(n+1)$

$b_n = \sum_{k = 1}^{n} k(k+1) = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$

$\lim_{n \to \infty}[\frac{2}{b_1}+\frac{3}{b_2}+ \frac{4}{b_3}+...+\frac{n+1}{b_n}]$

$= \lim_{n \to \infty}[\sum_{k = 1}^{n} \dfrac{k+1}{b_k}] $

ให้ $c_n = \dfrac{n+1}{b_n} = \dfrac{3}{n(n+2)} = \dfrac{3}{2}[\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}

{n+2}]$

$\therefore \lim_{n \to \infty}[\sum_{k = 1}^{n} \dfrac{k+1}{b_k}] $

$= \lim_{n \to \infty}[\sum_{k = 1}^{n} c_k]$

$= \lim_{n \to \infty}[\sum_{k = 1}^{n}\dfrac{3}{2}[\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+2}] ] $

$= \lim_{n \to \infty}[\dfrac{3}{2}[\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}]]$

$= \dfrac{9}{4}$

โทษนะครับ ตรงสีแดงนี่ต้องเป็น $b_n$ รึป่าวครับ

แล้วตรงนี้ไปยังไงเหรอครับถึงได้มาเป็นแบบนี้

$b_n = \sum_{k = 1}^{n} k(k+1) = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$