|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
Algebra : linear transformation
ช่วยพิสูจน์ทีครับ จนปัญญาแล้ว พยายามคิดแล้ว งง
-Let V be a finite-dimensional vector space,and let T: V$\rightarrow $V Prove that $V=R(T^k) \oplus N(T^k)$ for some integers k, where $\oplus $ denote direct sum,R(T) denote range of T and N(T) denotes null space of T -Let V be a vector space. Determine all linear transformation T : V $\rightarrow $ V such that $T=T^2$ (Hint : notice that x = T(x) + (x-T(x)) for all x in V and show that V={$y|T(y)=y$} $ \oplus N(T)$$(hint มันเอาไปใ้อะไรอ่ะครับ งง )
__________________
เรื่อยๆ เฉื่อยๆ 16 สิงหาคม 2012 21:13 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ B บ .... |
#2
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
$R(T)\supseteq R(T^2)\supseteq R(T^3)\supseteq\cdots$ และ $N(T)\subseteq N(T^2)\subseteq \cdots$ เนื่องจาก $V$ เป็น finite-dimensional vector space จะต้องมีบาง $k$ ที่ทำให้ $R(T^k)=R(T^{k+1})$ และ $N(T^k)=N(T^{k+1})$ เพราะ dimension ของสองอย่างนี้ไม่เกิน dimension ของ $V$ (เป็นสมบัติของจำนวนเต็มบวก) ที่เหลือก็แค่พิสูจน์ตามที่โจทย์กำหนดครับ ข้อสอง เหมือนข้อแรกใช้ไอเดียเดียวกัน พิสูจน์ว่า $T^2=T$ ก็ต่อเมื่อ $V=R(T)\oplus N(T)$ จริงๆแล้วโจทย์ข้อสองน่าจะมาก่อนข้อแรก
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#3
|
||||
|
||||
ข้อแรก งงๆ นิดนึงอ่ะครับ คือ $R(T^k)=R(T^{k+1})$ และ $N(T^k)=N(T^{k+1})$ เพราะ dimension ของสองอย่างนี้ไม่เกิน dimension ของ V (เป็นสมบัติของจำนวนเต็มบวก) เป็นผลมาจาก $R(T)⊇R(T^2)⊇R(T^3)⊇··· และ N(T)⊆N(T^2)⊆···$ $หรอครับ หรือ เป็นผลมาจากสมบัติของจำนวนเต็มบวก(เห็นวงเล็บไว้ : มันคือสมบัติอะไรของจำนวนเต็มบวกหรอครับ งง ไม่เคยเห้นมาก่อนเลย)
__________________
เรื่อยๆ เฉื่อยๆ 17 สิงหาคม 2012 16:01 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 5 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ B บ .... |
#4
|
||||
|
||||
แล้วพอ ได้ว่า $R(T^k)=R(T^{k+1})$ และ $N(T^k)=N(T^{k+1})$ เอาไปใช้พิสูจน์ Direct sum ไงอ่ะครับ คือ ที่ผมเคยคิดไว้คร่าวๆ ถ้าเราแสดงได้ว่า $R(T^k) \cap N(T^k)$ = {0} จะได้ต่อมาจาก Dimension Theorem เลยว่า V = $R(T^k) + N(T^k) $ แล้วก็สรุปได้ว่า V = direct sum ของ $R(T^k)$ กับ $ N(T^k) $
__________________
เรื่อยๆ เฉื่อยๆ 17 สิงหาคม 2012 16:09 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ B บ .... |
#5
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
การที่ $R(T)⊇R(T^2)⊇R(T^3)⊇···$ จะเห็นว่า dimension ของแต่ละเซตจะลดลงหรือคงที่ ดังนั้น จะมีบางค่า $k_1$ ที่ทำให้ dimension คงที่ แต่ถ้า $dim R(T^K)=dim R(T^{k+1})$ จะบังคับว่า $R(T^k)=R(T^{k+1})$ ด้วยเพราะมีเซตนึงเป็นสับเซตของอีกเซตนึงอยู่ ถ้า dimension เท่ากันก็แสดงว่าจะต้องเป็นเซตเดียวกัน ในทำนองเดียวกัน $N(T)⊆N(T^2)⊆···$ จะบอกว่า dimension ของแต่ละเซตเพิ่มขึ้น แต่ไม่ได้เพิ่มขึ้นตลอดเนื่องจากมีเพดานอยู่ทืี่ $dim V$ ดังนั้นจะต้องมีบาง $k_2$ ที่ทำให้ dimension คงที่ เราสามารถเลือก $k=\max\{k_1,k_2\}$ เพื่อทำให้เงื่อนไขทุกอย่างที่ผมเขียนไว้เป็นจริง
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#6
|
||||
|
||||
อ้อ ขอบคุณมากๆครับ พอเข้าใจมากขึ้นบาง มีการเลือก max ด้วย ออกแนว analysis จัง -*-
__________________
เรื่อยๆ เฉื่อยๆ |
#7
|
|||
|
|||
#4 ที่คิดไว้ถูกแล้วครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Linear Algebra | B บ .... | พีชคณิต | 3 | 29 พฤษภาคม 2012 12:24 |
ถามเกี่ยวกับ Linear transformation ค่ะ | khlongez | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 3 | 21 กุมภาพันธ์ 2012 17:32 |
โจทย์ Linear Algebra (ภาษาอังกฤษ) แปลแล้วงง ๆ ช่วยหน่อยครับ | MathNewbie | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 8 | 09 มีนาคม 2011 15:13 |
linear algebra ช่วยหาคำตอบหน่อยนะ เรื่อง สมการเชิงเส้น | แมท เทพ | พีชคณิต | 1 | 22 พฤศจิกายน 2009 22:05 |
ถามเรื่อง linear algebra หน่อยครับ | loonova | พีชคณิต | 3 | 25 ธันวาคม 2007 20:19 |
|
|