factorial !!!

[Revolution]

ข้อ 9 ครับ
100! = k*2^97*5^23
a = 97 , b = 23
a+b = 120 ปะคับ

[กิตติ]

ข้อ4...คิดแบบน้องคนอยากเก่งก็ได้เท่ากันครับ
$64+(-22)^2-2(118)$
$=64+484-236$
$=64+248$
$=312$

[กิตติ]

ข้อ10....คิดได้$11$

10.ให้ a,b,c,d เป็นรากที่สี่ของสมการ $x^4-3x+1 = 0$ ถ้า$f(x)=x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4$ เป็นพหุนามที่มี $\frac{a+b+c}{d^2},\frac{a+b+d}{c^2},\frac{a+c+d}{b^2},\frac{b+c+d}{a^2} $ เป็นรากที่สี่ของสมการ $f(x)=0 $ แล้ว $7+a_1+a_2+a_3+a_4$ มีค่าเท่ากับเท่าใด

จาก $x^4-3x+1 = 0$ จะได้ว่า $a+b+c+d=0$ , $ab+ac+ad+bc+bd+cd=0$ ,$abc+acd+bcd+abd=3$และ $abcd=1$
แปลง$\frac{a+b+c}{d^2}=-\frac{1}{d}$ ,$\frac{a+b+d}{c^2}=-\frac{1}{c}$ ,$\frac{a+c+d}{b^2}=-\frac{1}{b}$ ,$\frac{b+c+d}{a^2} =-\frac{1}{a} $

ดังนั้น $f(x)=(x+\frac{1}{a})(x+\frac{1}{b})(x+\frac{1}{c})(x+\frac{1}{d})$
เทียบสัมประสิทธิ์ออกมาได้$ a_1=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}$
$a_2=\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{ad}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{bd}+\frac{1}{cd}$

$a_3=\frac{1}{abc}+\frac{1}{acd}+\frac{1}{bcd}+\frac{1}{abd}$

$a_4=\frac{1}{abcd}=1$

$a_1=\frac{1}{abcd}\left\{\,abc+acd+bcd+abd\right\}=3 $

$a_2=\frac{1}{abcd}\left\{\,ab+ac+ad+bc+bd+cd\right\}=0$

$a_3=\frac{1}{abcd}\left\{\,a+b+c+d\right\}=0$

$7+a_1+a_2+a_3+a_4=7+3+0+0+1=11$

[yellow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คนอยากเก่ง

9.$ ถ้า 100!=k\times 2^a\times 5^b โดยที่ k เป็นจำนวนคี่ที่ 5 หารไม่ลงตัวแล้ว จงหา a+b$

ผมใช้วิธีแยกตัวประกอบที่เป็น 2 กับ 5 ออกมาเลย เพราะมันไม่เยอะ และคิดง่าย

จำนวน 1-100

มีพหุคูณของ $2^6 (64)$ 1 จำนวน

มีพหุคูณของ $2^5 (32)$ 3 จำนวน ลบตัวที่ใช้ไปแล้ว 1 จำนวน เหลือ 2 จำนวน

มีพหุคูณของ $2^4 (16)$ 6 จำนวน ลบตัวที่ใช้ไปแล้ว 3 จำนวน เหลือ 3 จำนวน

มีพหุคูณของ $2^3 (8)$ 12 จำนวน ลบตัวที่ใช้ไปแล้ว 6 จำนวน เหลือ 6 จำนวน

มีพหุคูณของ $2^2 (4)$ 25 จำนวน ลบตัวที่ใช้ไปแล้ว 12 จำนวน เหลือ 13 จำนวน

มีพหุคูณของ $2$ 50 จำนวน ลบตัวที่ใช้ไปแล้ว 25 จำนวน เหลือ 25 จำนวน

มี 2 เป็นตัวประกอบ 6 + (5x2) + (4x3) + (3x6) + (2x13) + 25 = 97 ตัว หรือ $2^{97}$



มีพหุคูณของ $5^2 (25)$ 4 จำนวน

มีพหุคูณของ $5$ 20 จำนวน ลบตัวที่ใช้ไปแล้ว 4 จำนวน เหลือ 16 จำนวน

มี 5 เป็นตัวประกอบ (2x4) + 16 = 24 ตัว หรือ $5^{24}$



$a+b = 97+24 = 121$

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คนอยากเก่ง

5.กำหนดให้ $b>c$
$$\forall a,b,c \in \mathbb{I}$$
$$a+b+c = 3$$
$$a+b^2+c^2 = 17$$
$$a^2+b^3+c^3 = 21$$
จงหา a ,b ,c

ถึกมากเลยครับข้อนี้
จะได้ $b+c=3-a$ ... (*)
$(*)^2 \Rightarrow b^2+c^2+2bc=a^2-6a+9$ เเล้วเเทน $b^2+c^2=17-a$ ลงไป
นั่นคือ $bc =\frac{a^2-5a-8}{2}$ เเละ
$(*)^3$ $\Rightarrow$ $b^3+c^3+3bc(b+c)=(3-a)^3$
เเล้วเเทน $b^3+c^3=21-a^2$ ลงไปเเล้วจัดรูปจะได้ $a^3-4a^2-33a+84=0$
เเละได้ว่า $a=7$ จากนั้นก็เเทนค่า หา $b,c$ ได้ $b=-1,c=-3$ $\because$ $b>c$
ดังนั้น $(a,b,c)=(7,-1,-3)$

[คนอยากเก่ง]

ขอบคุณทุกท่านครับครับ


ป.ล.@คุณกิตติ ลบเลขผิดครับ เหอๆ

[~ToucHUp~]

ขอบคุณมากมากเลยครับ _02

2. ถ้าใช้modจะใช้ยังไงครับ

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ข้อ2....ไม่ใช้modก็ได้ครับ
เรารู้ว่า....$5!=120,10!=3628800$.....เราขาดตัวคูณอีก1000 ซึ่งคือ $2\times2\times 2\times5\times5\times5$
ซึ่งในล็อคตั้งแต่$11-20$....จะมีเลข$5$ จากเลข 15กับ20 เราต้องการเลข 5อีกตัวหนึ่งซึ่งเราจะได้จากชุดถัดไปคือ $25=5\times5$.....นั่นคือ$25!$.....มีเลขศูนย์ลงท้าย6ตัว...ดังนั้นตั้งแต่ $26!$ มีเลขศูนย์ลงท้าย6ตัว ดังนั้นที่โจทย์ถามก็คือหาเลข5ตัวท้ายจากการบวก$1!+2!+3!+...+25!$
ดังนั้นถ้าเราหาผลบวกตั้งแต่$1!+2!+3!+...+25!$ เราจะได้
$1!+2!+3!+4!+5!=1+2+6+24+120=153$
$6!+7!+8!+9!+10!=6!(1+7+56+504+5040)=720(5608)=4037760$
$11!+12!+13!+14!+15!=11!(1+12+132+1848+27720)=(39916800)(29713)$

วิธีนี้ท่าทางจะยาว....ใครมีวิธีที่สั้นกว่าลองเสนอแนวคิดหน่อยครับ มึนแล้ว

ขอลองทำต่อจากคุณกิตติละกันนะครับ
เนื่องจากต้องการเลข 5 หลักสุท้าย เราหาแค่ $1!+2!+3!+...+24!$ ก็พอครับ
$1!+2!+3!+...+9!=1+2+6+24+120+720+5040+40320+362880$
จะเห็นว่า $9!$ เป็นเลข 6 หลักแล้ว แต่เราต้องการเพียงแค่ 5 หลักสุดท้ายเท่านั้น จึงต้องใช้ mod ช่วย
$9!(mod100000)\equiv 62880(mod100000)$ จากนี้ผมขอละ $(mod100000)$ และใช้เครื่องหมาย = แทน$\equiv $ นะครับ
$10!=628800=28800$
$11!=316800=16800$
$12!=201600=01600$
$13!=20800$
$14!=291200=91200$
$15!=1368000=68000$
$16!=1088000=88000$
$17!=1496000=96000$
$18!=1728000=28000$
$19!=532000=32000$
$20!=640000=40000$
$21!=840000=40000$
$22!=880000=80000$
$23!=1840000=40000$
$24!=960000=60000$
เฮ้อ...เยอะครับ แต่ก็คูณเลขง่ายๆไม่ยากมาก ที่เหลือก็บวกกันให้หมด
ได้เลข 5 หลักสุดท้ายคือ 79513
ผิดถูกอย่างไรช่วยแนะด้วยครับ

[กิตติ]

ขอบคุณครับคุณpoperที่ช่วยทำต่อจนครบ....ผมหมดแรงไปเสียก่อนครับ

[Arnonzaa]

ข้อ7 คำตอบของสมการเท่ากัน

ดังนั้น bยกกำลัง2−4ac=0

จัดรูปสมการ (3−k)x2−28x+(30−19k)=0

(−28)2−4(3−k)(30−19k)=0

-56-4(90-87k+19kยกกำลัง2)=0

-360+348k-76kยกกำลัง2=56

-12=76kยกกำลัง2+348k

-3=19kยกกำลัง2+87k

19kยกกำลัง2+87k+3=0

(19k+30)(k+3)-87=0

(19k+30)(k+3)=87

แล้วคิดต่อเอง