ช่วยชี้แนะอสมการข้อนี้หน่อยครับ

[ShaDoW MaTH]

กำหนดให้ a,b,c >0
พิสูจน์ว่า$ \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq\frac{c+a}{c+b}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{b+c}{b+a} $

[Keehlzver]

ลองเข้าไปใน Google แล้ว Search ด้วยคำว่า sos schur ดูครับ หรือไม่ก็ที่นี่ http://www.mathcenter.net/forum/show...?t=1465&page=4

ลองดูนะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ShaDoW MaTH

กำหนดให้ a,b,c >0
พิสูจน์ว่า$ \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq\frac{c+a}{c+b}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{b+c}{b+a} $

อสมการสมมูลกับ

$ \Big(\dfrac{a}{b}-\dfrac{c+a}{c+b}+1\Big)+\Big(\dfrac{b}{c}-\dfrac{a+b}{a+c}+1\Big)+\Big(\dfrac{c}{a}-\dfrac{b+c}{b+a}+1\Big)\geq 3$

$\dfrac{b^2+ca}{b(b+c)}+\dfrac{c^2+ab}{c(c+a)}+\dfrac{a^2+bc}{a(a+b)}\geq 3$

โดย AM-GM เพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า

$(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)\geq abc(a+b)(b+c)(c+a)$

ซึ่งสมมูลกับ

$\Big(\dfrac{a^2}{c}+\dfrac{b^2}{b}\Big)\Big(\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{c}\Big)\Big(\dfrac{c^2}{b}+\dfrac{a^2}{a}\Big)\geq (a+b)(b+c)(c+a)$

แต่จากอสมการโคชี

$\dfrac{a^2}{c}+\dfrac{b^2}{b}\geq \dfrac{(a+b)^2}{c+b}$

$\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{c}\geq \dfrac{(b+c)^2}{a+c}$

$\dfrac{c^2}{b}+\dfrac{a^2}{a}\geq \dfrac{(c+a)^2}{b+a}$

คูณกันทั้งหมดจะได้อสมการที่ต้องการ

[ShaDoW MaTH]

พี่ nooonuii ที่บอกว่าสมมูลมันหมายถึงอย่างไงหรอครับแล้วเราจะรู้ได้ไงว่าอสมการไหนสมมูลกับอสมการไหน
ช่วยอธิบายทีครับ

[nooonuii]

อสมการที่สมมูลกันคืออสมการที่สามารถจัดรูปโดยใช้การบวก ลบ คูณ หาร ย้ายข้างอสมการ ไปมาหากันได้ครับ (นิยามคร่าวๆแบบไม่เป็นทางการ)

เช่น $a+b\geq c+d$ จะสมมูลกับ $a-c\geq d-b$

[ShaDoW MaTH]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

แต่จากอสมการโคชี

$\dfrac{a^2}{c}+\dfrac{b^2}{b}\geq \dfrac{(a+b)^2}{c+b}$

$\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{c}\geq \dfrac{(b+c)^2}{a+c}$

$\dfrac{c^2}{b}+\dfrac{a^2}{a}\geq \dfrac{(c+a)^2}{b+a}$

คูณกันทั้งหมดจะได้อสมการที่ต้องการ

พี่ nooonuii ตรงมีมาอย่างไงหรอครับ(พอดีผมยังไม่เก่ง)

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ShaDoW MaTH

พี่ nooonuii ตรงมีมาอย่างไงหรอครับ(พอดีผมยังไม่เก่ง)

ผมอธิบายเเทนนะ
มาจาก อสมการของ $Cauchy$ ใน $Engel Form$ อ่ะครับ

[ShaDoW MaTH]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

ผมอธิบายเเทนนะ
มาจาก อสมการของ $Cauchy$ ใน $Engel Form$ อ่ะครับ

อสมการของ $Cauchy$ ใน $Engel Form$ คืออะไรหรอ

[จูกัดเหลียง]

ก็คือ อสมการของโคชีไงครับ เเต่อยู่ในอีกเเบบฟอร์มนึง
กล่าวไว้ว่า เมื่อ $a_1,a_2,...a_n, b_1,b_2...,b_n \in R^+$
จะได้ว่า $$\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+...+\frac{a_n^2}{b_n} \geqslant \frac{(a_1+a_2+...+a_n)^2}{b_1+b_2+...+b_n}$$

[template]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ShaDoW MaTH

กำหนดให้ a,b,c >0
พิสูจน์ว่า$ \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq\frac{c+a}{c+b}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{b+c}{b+a} $

\[\sum_{cyc}\frac{a}{b}=\sum_{cyc}(\frac{b^2+ca}{b(b+c)}+\frac{c+a}{c+b}-1)\ge 3\sqrt[3]{\frac{\prod_{cyc}(b^2+ca)}{abc\prod_{cyc}(b+c)}}+\sum_{cyc}\frac{c+a}{c+b}-3=3\sqrt[3]{\frac{\prod_{cyc}(\frac{b^2}{c}+a)}{\prod_{cyc}(b+c)}}+\sum_{cyc}\frac{c+a}{c+b}-3\]
\[\ge 3\sqrt[3]{\frac{\prod_{cyc}\frac{(b+a)^2}{c+a}}{\prod_{cyc}(b+c)}}+\sum_{cyc}\frac{c+a}{c+b}-3=\sum_{cyc}\frac{c+a}{c+b}\]