ถามวิธีการทำแบบขั้นฐานและอุปนัย

[bakured]

$\frac{1+3+5+...+2n-1}{2+4+6+...2n}$ < $\frac{1}{2n+1}$
โจทย์ข้อนี้ช่วยพิสูจน์แบบขั้นฐาน-อุปนัยให้ดูหน่อยสิครับ

[★★★☆☆]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ bakured

$\frac{1+3+5+...+2n-1}{2+4+6+...2n}$ < $\frac{1}{2n+1}$
โจทย์ข้อนี้ช่วยพิสูจน์แบบขั้นฐาน-อุปนัยให้ดูหน่อยสิครับ

ถ้า n = 1, L.H.S = 1/2 , R.H.S. = 1/3

ดังนั้นข้อความดังกล่าวเป็นเท็จ ไม่ต้องพิสูจน์ครับ.

[TuaZaa08]

จัดรูปก่อนดีไหม ??

$ \frac{n}{n+1} < \frac{1}{2n+1} $
n=1
1/2 < 1/3

เท็จง่ะ ??

[bakured]

เอ่อคือ
จริงหรือเท็จนั่นผมย่อมทำได้อยุแล้วละครับ
ผมแค่ต้องการวิธีพิสูจน์ครับเพราะตอนนี้ทางโรงเรียนสอนเรื่องนี้อยู่และผมก็ติดปัญหาตรงนี้

[★★★☆☆]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ bakured

เอ่อคือ
จริงหรือเท็จนั่นผมย่อมทำได้อยุแล้วละครับ
ผมแค่ต้องการวิธีพิสูจน์ครับเพราะตอนนี้ทางโรงเรียนสอนเรื่องนี้อยู่และผมก็ติดปัญหาตรงนี้

ก็โจทย์มันผิดนี่ครับ ถ้าต้องการวิธีก็ต้องยกตัวอย่างอสมการที่ถูก จะให้พิสูจน์ข้อความที่ผิดว่าถูก ไม่มีใครทำได้หรอกครับ

จงพิสูจน์ว่า $n! > n^2$ ทุกจำนวนเต็ม $n \ge 4$

ให้ p(n) แทนข้อความ $n! > n^2$ ทุกจำนวนเต็ม $n \ge 4$

ขั้นฐาน , p(4) แทน $4! > 4^2$ ซึ่งเป็นจริง เพราะ 24 > 16

ขั้นอุปนัย , สมมติให้ p(k) แทน $k! > k^2$ ทุกจำนวนเต็ม $k \ge 4$

จะแสดงว่า p(k+1) เป็นจริง ดังนี้

จาก $k! > k^2$ ทุกจำนวนเต็ม $k \ge 4$

ดังนั้น $(k+1)k! > (k+1)k^2$ ทุกจำนวนเต็ม $k \ge 4$

$(k+1)! > k^3 + k^2$ ทุกจำนวนเต็ม $k \ge 4$ ...(*)


แต่จาก $k \ge 4$ จะได้

$k^3 \ge 4k^2$ (เอา $k^2$ คูณทั้งสองข้าง)

และ $k^2 \ge 4k$

และ $4k \ge 16$

ดังนั้น $k^3 + k^2 \ge 4k^2 + 4k = k^2 + 3k^2 + 4k \ge k^2 + 12k + 16 > k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2$

จากสมการ (*) จึงได้ว่า $(k+1)! > k^3 + k^2 > (k+1)^2$

นั่นคือ $(k+1)! > (k+1)^2$

แสดงว่า p(k+1) เป็นจริง

โดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์จึงสรุปได้ว่า p(n) เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนเต็ม n $\ge$ 4

[bakured]

ขอโทษครับ
ลืมใส่รูทที่ตัวหลังครับ

[~king duk kong~]

โจทย์ผิดครับ โจทย์ ต้องคูณกันไม่ใช่หรอ

[★★★☆☆]

$$(\frac{1}{2})(\frac{3}{4})(\frac{5}{6})...(\frac{2n-1}{2n})<\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$$

p(1) เป็นจริง เพราะ $1/2 < 1/\sqrt{3}$

ให้ p(k) จริง $$(\frac{1}{2})(\frac{3}{4})(\frac{5}{6})...(\frac{2k-1}{2k})<\frac{1}{\sqrt{2k+1}} ...(*)$$

ต้องการพิสูจน์ว่า

$$(\frac{1}{2})(\frac{3}{4})(\frac{5}{6})...(\frac{2k-1}{2k})(\frac{2k+1}{2k+2})<\frac{1}{\sqrt{2k+3}} ...(ก)$$

เป็นการเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า
$$\frac{2k+1}{2k+2}\frac{1}{\sqrt{2k+1}}<\frac{1}{\sqrt{2k+3}}$$
(ใช้้อสมการ (*) และสมบัิติการถ่ายทอด ถ้า a<b และ b<c แล้ว a<c)

อสมการข้างต้นจะเป็นจริงเมื่อ
$8k^3+20k^2+14k+3<8k^3+20k^2+16k+4$

(คูณไขว้แล้วยกกำลังสอง)

ซึ่งเป็นจริง เพราะ 0 < 2k + 1

ดังนั้นจากอสมการ (ก) แสดงว่า p(k+1) เป็นจริง

จึงสรุปได้ว่า p(n) เป็นจริงทุกจำนวนเต็มบวก n

[nooonuii]

โจทย์ข้อนี้ยังลด bound ได้อีกครับ ลองพิสูจน์อันนี้ ใช้แนวคิดเดียวกัน

$\dfrac{1}{2\sqrt{n}}\leq \Big(\dfrac{1}{2}\Big)\Big(\dfrac{3}{4}\Big)\Big(\dfrac{5}{6}\Big)\cdots\Big(\dfrac{2n-1}{2n}\Big)\leq \dfrac{1}{\sqrt{3n+1}}$

[bakured]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ★★★☆☆

$$(\frac{1}{2})(\frac{3}{4})(\frac{5}{6})...(\frac{2n-1}{2n})<\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$$

p(1) เป็นจริง เพราะ $1/2 < 1/\sqrt{3}$

ให้ p(k) จริง $$(\frac{1}{2})(\frac{3}{4})(\frac{5}{6})...(\frac{2k-1}{2k})<\frac{1}{\sqrt{2k+1}} ...(*)$$

ต้องการพิสูจน์ว่า

$$(\frac{1}{2})(\frac{3}{4})(\frac{5}{6})...(\frac{2k-1}{2k})(\frac{2k+1}{2k+2})<\frac{1}{\sqrt{2k+3}} ...(ก)$$

เป็นการเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า
$$\frac{2k+1}{2k+2}\frac{1}{\sqrt{2k+1}}<\frac{1}{\sqrt{2k+3}}$$
(ใช้้อสมการ (*) และสมบัิติการถ่ายทอด ถ้า a<b และ b<c แล้ว a<c)

อสมการข้างต้นจะเป็นจริงเมื่อ
$8k^3+20k^2+14k+3<8k^3+20k^2+16k+4$

(คูณไขว้แล้วยกกำลังสอง)

ซึ่งเป็นจริง เพราะ 0 < 2k + 1

ดังนั้นจากอสมการ (ก) แสดงว่า p(k+1) เป็นจริง

จึงสรุปได้ว่า p(n) เป็นจริงทุกจำนวนเต็มบวก n

ตรงสีแดงนี้ งง อะครับ
มาได้ไงอะครับ