|
|
|||||||
| สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
  |
|
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
|
#1
08 ตุลาคม 2009, 23:33
|
|||
|
|||
โจทย์ปิดตู้เปิดตู้
ไม่ทราบใครเคยเห็นหรือไม่ ผมแปลจากภาษาอังกฤษอีกที เอามาให้ลองคิดครับสนุกดี ปกติผมเอาไว้สอนเด็กเรื่อง factor
โจทย์ โรงเรียนแห่งหนึ่งมีนักเรียนอยู่ร้อยคน มีตู้ locker เก็บของเท่าจำนวนนักเรียนเรียงยาวไปตามเลขที่ 1-100 เดิมทีตู้ปิดหมด แล้วปล่อยนักเรียนเข้าไปในห้อง locker ตามลำดับเลขที่ นักเรียนคนแรก เดินเข้ามาก็เปิดทุกตู้ออกหมด นักเรียนคนที่สอง เดินเข้ามาที่ตู้ของตัวเอง ก็ปิดตู้ลงและไล่ปิดต่อเนื่องไปตู้เว้นตู้นับจากตู้ของตัวเอง นักเรียนคนที่สาม เดินเข้ามาตรงไปที่ตู้ของตัวเองเห็นเปิดอยู่ก็ปิด แล้วนับไปเปลี่ยนตู้ที่ปิดเป็นเปิด ตู้ที่เปิดเป็นปิด ตามพหุคูณของสาม นักเรียนคนต่อๆ ไป ก็ทำเหมือนกัน คือ ไปที่ตู้ตัวเองก่อน ถ้าปิดอยู่ก็เปิด ถ้าเปิดอยู่ก็ปิด และทำอย่างนี้กับทุกตู้ที่เป็นพหุคูณของเลขที่ตัวเอง ถามว่าสุดท้าย หลังนักเรียนเลขที่ 100 ออกไปแล้ว อาจารย์เข้าไปตรวจ จะพบตู้ปิดกี่ตู้ 
|
|
#2
10 ตุลาคม 2009, 15:49
|
||||
|
||||
คิดออกแล้วครับ ถ้าลองสังเกตดูดี ๆ จะพบว่า คนที่ N จะมาเปิดหรือปิดตู้ล็อกเกอร์ โดยที่ N แทนตัวประกอบของลำดับของตู้ล็อกเกอร์ ถูกต้องไหมครับ ดังนั้นจำนวนครั้งที่เปิดหรือปิดตู้ล็อกเกอร์เท่ากับจำนวนตัวประกอบของลำดับที่ตู้ล็อกเกอร์ ถ้าเป็นจำนวนคู่ตู้ล็อกเกอร์จะยังปิดอยู่ แต่ถ้าเป็นจำนวนคี่ตู้ล็อกเกอร์จะเปิด
โดยทั่วไปแล้วจำนวนนับใด ๆ จะมีจำนวนตัวประกอบเป็นจำนวนคู่ (ตู้ล็อเกอร์จะปิด) เพราะจะต้องมีตัวประกอบคู่ร่วมเสมอ เช่นตัวประกอบของ 8 มี 1และ 8(มาจาก 8 หารด้วย 1) มี 2 และ 4 (มาจาก 8 หารด้วย 2) แต่มีจำนวนนับบางจำนวนที่บังเอิญตัวประกอบคู่ร่วมเป็นตัวเดียวกันกับตัวประกอบนั้น เช่น 9 มีตัวประกอบเป็น 3 ตัวประกอบคู่ร่วมก็เป็น 3 (มาจาก 9 หารด้วย 3) ดังนั้นจำนวนนับดังกล่าวจึงมีจำนวนตัวประกอบเป็นเลขคี่ (ตู้ล็อกเกอร์เปิด) จะเห็นได้ว่าจำนวนที่หารากในรูปของจำนวนเต็มได้จะมีจำนวนตัวประกอบเป็นเลขคี่ (ตู้ล็อกเกอร์จะเปิด) สรุปได้ว่า ถ้า M ตู้ล็อกเกอร์ลำดับที่ M จะปิดถ้า M เป็นจำนวนนับที่ไม่สามารถหารากในรูปของจำนวนนับได้ จะเปิดถ้า M เป็นจำนวนนับที่สามารถหารากในรูปของจำนวนนับได้ จากโจทย์นี้ตีความได้ว่า ตู้ล็อกเกอร์ลำดับที่ 1 , 4 , 9 , ... , 100 จำนวน 10 ตู้ จะเปิด ตู้ล้อกเกอร์ที่เหลือจำนวน 90 ตู้จะปิด พอจะสรุปเป็นสูตรได้ว่า ถ้ามีตู้ล็อกเกอร์ A ตู้ จำนวนตู้ล็อกเกอร์ที่จะเปิดคือ $\sqrt{A}$ ถ้า $\sqrt{A}$ ไม่เป็นจำนวนนับจะปัดลง 
|
|
#3
10 ตุลาคม 2009, 17:22
|
|||
|
|||
|
เก่งครับ แต่ผมขำประโยคแรก "คิดออกแล้วครับ" หวังว่าคุณเอกสิทธิ์คงไม่ได้อุทานเป็นสำเนียงพม่า (ล้อเล่นครับ)
เผอิญผมสอน math ให้กับห้อง EIS เป็นภาษาอังกฤษ ของให้ศัพท์อังกฤษบ้างละกันนะครับ การเดินเข้าไปกระทำใดๆ ก็คือเป็นการบอกว่าเลขประจำตู้นั้น มีเลขที่ของนักเรียนคนนั้นหารลงตัว และเมื่อเริ่มด้วยปิด ไว้ก่อน ครั้งที่ 1 มาเปิด ครั้งที่ 2 มาปิด ดังนั้น ครั้งที่คี่จะเปิด ครั้งที่คู่จะปิด แล้วเด็กที่จะไปที่ตู้นั้นก็คือจำนวนของ factorนั่นเอง 1. factor ของ $1$ มี 1 เท่านั้น ดังนั้นตู้ที่ 1 เปิด 2. factor ของ prime มี 1 กับตัวมันเองดังนั้น ตู้ $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97$ รวม 25 ตู้ ปิด 3. factor ของ perfect square numbers จะเป็นจำนวนคี่ เป็นดั่งที่ผู้ตอบอธิบายไป แต่เน้นว่า perfect square เท่านั้น perfect cube หรือ perfect อื่นๆ ไม่เกี่ยว (เผอิญเห็นผู้ตอบทำตัวหนาที่คำว่า "จำนวนที่หาราก" แต่ไม่ได้บอกว่ารากที่ 2 ) ดังนั้น ตู้ $4,9,16,25,36,49,64,81,100$ รวม 9 ตู้ จะเปิด (เอา 1 มาด้วยก็ได้ แต่อยากแยกไปโดดๆ มากกว่า) 4. factor ของ composit number ใดๆ ไม่ใช่ perfect square จะมีจำนวน factor เป็น คู่ โดยถ้าเขียนเลขในรูป "power of prime numbers" form แล้ว เช่น $24=2^3\times 3$ จำนวน factor คือ $(3+1)\times (1+1)$ นั่นคือมี 8 ตัว (จะเห็นว่ากำลังของ composit number ใน "power of prime numbers" form ที่ไม่ใช่ perfect square จะต้องมีตัวใดตัวหนึ่งเป็นเลขคี่ เพราะถ้าเป็นคู่ทุก power ของ prime ก็จะเป็น perfect square นั่นเอง) ดังนั้นตู้ที่เหลืออีก 65 ตู้ จะปิด สรุป ปิดทั้งหมด 10 ตู้ เก่งมากนะครับ ยิ่งทำเป็นสูตรมายิ่งแจ๋วใหญ่ คำถามตาม 1. ตู้แรกถูกสัมผัสน้อยที่สุดแค่ 1 ครั้ง แล้วตู้ไหน(บ้าง)ถูกสัมผัสมากที่สุด กี่ที 2. ถ้าให้สติ๊กเกอร์กับนักเรียนไปแปะตู้ที่ตัวเองไปปิดหรือเปิดด้วยแล้ว จะต้องใช้สติ๊กเกอร์ทั้งหมดรวมทุกคนเท่าไหร่ 3. ถ้าให้นักเรียนเข้ามาวนทำคล้ายเดิมอีกครั้ง คือ เปลี่ยนจากปิดเป็นเปิดจากเปิดเป็นปิด ต่อจากผลครั้งก่อน สุดท้ายจะปิดกี่ตู้ สุดท้าย ความจริงน่าจะไปวางที่ทฤษฎีจำนวนนะเนี่ย ขอโทษด้วยครับ 10 ตุลาคม 2009 17:25 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Dr.kimanatomy
|
|
#4
10 ตุลาคม 2009, 17:38
|
||||
|
||||
|
โจทย์ลักษณะนี้เคยเป็นข้อสอบแข่งขันประถมของสิรินธร คุณ gon เคยแสดงแนวคิดไว้ครับ
http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=3663
|
|
#5
10 ตุลาคม 2009, 22:32
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
|
|
#6
10 ตุลาคม 2009, 23:50
|
||||
|
||||
|
ตอบข้อ 1 ตู้ที่สัมผัสมากที่สุดคือตู้ที่มีตัวประกอบมากที่สุด จำนวนตัวประกอบของ N จะมีค่าเท่ากับ $(a_1 + 1)(a_2 + 1)(a_3 + 1)...(a_n + 1)$ โดย $N = {A_1}^{a_1} \times {A_2}^{a_2} \times {A_3}^{a_3}\times ... {A_n}^{a_n} โดย {A_1} , {A_2} , {A_3} , ... {A_n}$ เป็นจำนวนเฉพาะ
สูตรนี้มาจากกฎการนับ การที่จะเกิดตัวประกอบขึ้นมาได้นั้นจะต้องเกิดจากตัวประกอบเฉพาะ ${A_1}$ มี ${a_1}$ ตัว มีทางเลือกได้ดังนี้ เลือกมา 1 ตัว เลือกมา 2 ตัว เลือกมา 3 ตัว ... เลือกมา ${a_1}$ ตัว กับวิธีไม่เลือกเลยรวมแล้วได้ $a_1 + 1$ วิธี เพื่อมาคูณกัน ต่อมาก็เลือก ${A_2}$ มี ${a_2}$ ตัว มีทางเลือกได้ดังนี้ เลือกมา 1 ตัว เลือกมา 2 ตัว เลือกมา 3 ตัว ... เลือกมา ${a_2}$ ตัว กับวิธีไม่เลือกเลยรวมแล้วได้ $a_2 + 1$ วิธี เพื่อมาคูณกัน ต่อมาก็เลือก ${A_3}$ มี ${a_3}$ ตัว มีทางเลือกได้ดังนี้ เลือกมา 1 ตัว เลือกมา 2 ตัว เลือกมา 3 ตัว ... เลือกมา ${a_2}$ ตัว กับวิธีไม่เลือกเลยรวมแล้วได้ $a_3 + 1$ วิธี เพื่อมาคูณกัน ... ต่อมาก็เลือก ${A_n}$ มี ${a_n}$ ตัว มีทางเลือกได้ดังนี้ เลือกมา 1 ตัว เลือกมา 2 ตัว เลือกมา 3 ตัว ... เลือกมา ${a_n}$ ตัว กับวิธีไม่เลือกเลยรวมแล้วได้ $a_n + 1$ วิธี เพื่อมาคูณกัน เป็นงานที่ต่อเนื่องกันไปได้จึงได้ว่า จำนวนตัวประกอบของ N จะมีค่าเท่ากับ $(a_1 + 1)(a_2 + 1)(a_3 + 1)...(a_n + 1)$ กำหนดตัวประกอบเฉพาะตัวแรกเป็น 2 (ไม่ควรเป็นค่าเยอะ ๆ เพราะจะไปถึง 100 ได้เร็ว) ควรจะกระจายให้มีตัวประกอบเฉพาะให้มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้จะได้คูณกันหลาย ๆ ครั้งไง ถ้าจนปลักอยู่ที่จำนวนเฉพาะตัวเดิมมันก็จะกลายเป็นการบวกกันธรรมดาไม่น่าจะได้จำนวนตัวประกอยเยอะ ๆ ได้ $2 \times 3 \times 5$ จะคูณ 7 ต่อสักหน่อยแต่ดันเกิน วิเคราะห์แล้วได้ $2^2 \times 3 \times 5 = 60$ กับ $2 \times 3^2 \times 5 = 90$ ทั้งสองจำนวนมีตัวประกอบอยู่ถึง $ 3 \times 2 \times 2 = 12$ จำนวน แปลเป็นภาษาชาวบ้านคือตู้ลำดับที่ 60 กับ 90 มีข้อมูลอ้างอิงด้วยนะครับ http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=8780 11 ตุลาคม 2009 00:07 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 4 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ เอกสิทธิ์
|
|
#7
11 ตุลาคม 2009, 00:18
|
||||
|
||||
|
ตอบข้อ 2
คนที่ 1 จะใช้สติกเกอร์เท่ากับ 100 div 1 = 100 (div คือการหารโดยเอาเฉพาะผลหารไม่คำนึงถึงเศษ) คนที่ 2 จะใช้สติกเกอร์เท่ากับ 100 div 2 = 50 คนที่ 3 จะใช้สติกเกอร์เท่ากับ 100 div 3 = 33 คนที่ 4 จะใช้สติกเกอร์เท่ากับ 100 div 4 = 25 คนที่ 5 จะใช้สติกเกอร์เท่ากับ 100 div 5 = 20 คนที่ 6 จะใช้สติกเกอร์เท่ากับ 100 div 6 = 16 คนที่ 7 จะใช้สติกเกอร์เท่ากับ 100 div 7 = 14 คนที่ 8 จะใช้สติกเกอร์เท่ากับ 100 div 8 = 12 คนที่ 9 จะใช้สติกเกอร์เท่ากับ 100 div 9 = 11 คนที่ 10 จะใช้สติกเกอร์เท่ากับ 100 div 10 = 10 ... ช่วงต่อไปนี้หาจากการเล็งจากข้อมูลข้างต้น คนที่ 11 จะใช้สติกเกอร์เท่ากับ 9 อัน คนที่ 12 จะใช้สติกเกอร์เท่ากับ 8 อัน คนที่ 13 - 14 จะใช้สติกเกอร์ 7 อัน รวม 2 * 7 = 14 คนที่ 15 - 16 จะใช้สติกเกอร์ 6 อัน รวม 2 * 6 = 12 คนที่ 17 - 20 จะใช้สติกเกอร์ 5 อัน รวม 4 * 5 = 20 คนที่ 21 - 25 จะใช้สติกเกอร์ 4 อัน รวม 5 * 4 = 20 คนที่ 26 - 33 จะใช้สติกเกอร์ 3 อัน รวม 8 * 3 = 24 คนที่ 34 - 50 จะใช้สติกเกอร์ 2 อัน รวม 17 * 2 = 34 คนที่ 51 - 100 จะใช้สติกเกอร์ 1 อัน รวม 50 * 1 = 50 รวมเท่ากับ 100+50+33+25+20+16+14+12+11+10+9+8+14+12+20+20+24+34+50 = 482 อัน โจทย์ข้อนี้ยากมากที่สุดในบรรดา 3 ข้อ เพราะมันค่อนข้างถึก กลัวพลาดมาก ๆ เลยครับ 11 ตุลาคม 2009 00:43 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ เอกสิทธิ์
|
|
#8
11 ตุลาคม 2009, 00:25
|
||||
|
||||
|
ตอบข้อ 3
ง่ายมาก ๆ ตู้ที่ N โดยที่ N หาค่ารากที่สองได้เป็นจำนวนเต็มจะกลับตรงกันข้ามเมื่อผ่านกระบวนการดังกล่าว ตู้ที่เหลือเหมือนเดิม เมื่อผ่านกระบวนการไปครั้งหนึ่งมันจะเปิด ผ่านอีกครั้งมันก็จะกลายเป็นปิด สรุปปิดหมด 11 ตุลาคม 2009 00:44 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ เอกสิทธิ์
|
|
#9
11 ตุลาคม 2009, 00:58
|
||||
|
||||
|
อ้างอิง:
|
|
#10
11 ตุลาคม 2009, 04:05
|
|||
|
|||
|
อ้างอิง:
ส่วนโจทย์นี้ผมแปลของผมมาเองเลยอะครับ แปลมันหมดทั้งเล่มแล้ว ข้อนี้เป็นข้อแรก เลยเอามาลงดูน่ะครับ จากโจทย์ต้นฉบับมีแค่ 100 ตู้ ผมตั้งคำถามจากโจทย์นี้ไว้ประมาณ 20 คำถามได้ เพราะเพื่อให้เด็กใช้ทำงานกลุ่ม โดยแบ่งคำถามเป็น ม.1 กับ ม.4 ม.1 ก็จะได้คำถามเหมือน ที่ผมถามไปแล้ว ใช้สอนในเรื่อง Basic divisibilty และ Factor of the numbers คำถามอื่นๆ เช่น นักเรียนเลขที่ 12 และเลขที่ 18 ได้สัมผัสตู้ใดร่วมกันบ้าง , ในบรรดานักเรียนที่สัมผัสตู้ที่ 54 ใครเลขที่มากที่สุด ม.4 จะใช้สอนเกี่ยวกับ Mod เบื้องต้น เช่น ถ้านักเรียนที่เข้าห้องไปต้องไปต่อแถวที่ตู้สุดท้ายที่ตัวเองไปได้ (ไม่เกิน 100) ถามว่า มีกี่ตู้ที่มีนักเรียนต่อแถว และแถวไหนยาวสุด(บ้าง) , ถ้านักเรียนไปถึงตู้สุดท้ายที่นักเรียนไปได้แล้ว เดินนับตู้ต่อไปเท่ากับเลขที่ของตัวเอง โดยเมื่อนับถึงตู้ 100 ต้องนับต่อไปโดยหันหน้ากลับเข้ามา นับตู้ ที่ 99 , 98 ต่อไป เลขที่ใดหยุดอยู่ที่ตู้เบอร์ 96 บ้าง โจทย์ข้อสองที่มันถึกมากๆ เพราะผมอยากให้เด็กหารไปเรื่อยๆ จะได้เห็นภาวะทศนิยมซ้ำไม่รู้จบด้วย (สอนในบทต่อไปเรื่อง Decimal Number) ว่ามันจะเกิดจากการตั้งหารเศษด้วยส่วน ที่เมื่อทำให้เป็นอย่างต่ำแล้ว จะพบมีตัวประกอบของส่วนเป็นจำนวนเฉพาะที่นอกเหนือจาก 2 กับ 5 (ก็แน่ละเป็น decimal นี่น่า 10 ก็มีแต่ 2 กับ 5 ที่เป็น factor ไม่ใช่เลขฐานอื่น) ที่สวยๆ รู้จักกันดี เช่น ส่วน 7(เลขวน 6 ตัว) ส่วน 11(วน 2 ตัว) ส่วน 13 (วน 6 ตัว) เป็นต้น ส่วนรากที่สองผมก็เข้าใจเช่นเดียวกับที่คุณเอกสิทธิ์เรียนมาเช่นกัน ทว่าตอนสอนเด็ก ผมย้ำเด็กจนเคยชิน ต้องขอโทษด้วย อย่างไรก็ตามในการเขียนตำราถ้าไม่ระบุคงไม่ได้ เพราะถ้าไม่ระบุ แม้คนเขียนไม่ผิดแต่คนอ่านอาจจะเข้าใจคลาดเคลื่อน ซึ่งผมเปิดดิกในเน็ตดู ก็มีสองนัยยะจริงๆ Root of a Number : A term that can refer to the square root or $n^[th]$ root of a number. ขอให้การถามตอบ-ถกเถียง ด้วยจิตกุศล จงส่งผลดีแด่ผู้อ่านผู้โพสต์กระทู้ทุกท่าน
|
| |
|
|
