ถามว่า.....

[M@gpie]

ลำดับเป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่อง หรือเปล่าคับ พิสูจน์ได้ยังไง

[gon]

ถ้าโดเมนเป็นจำนวนเต็ม ก็ไม่ต่อเนื่องแน่ ๆ อยู่แล้ว ไม่ต้องพิสูจน์อะไร

[M@gpie]

ถามต่อคับ
เวลาเราหาลิมิตของลำดับเช่นลำดับ
{ n/2ⁿ } ถ้าเราจะหาลิมิตโดยใช้กฏของโลปิตาลต้องกำหนดฟังก์ชันที่ทำให้ f(n)=a_n แล้ว ทำการหาลิมิตของ f(x) ออกมาแล้วค่อยสรุปว่า ลิมิตของลำดับ เท่ากับ ลิมิตของฟังก์ชัน
แต่เหตุผลที่ต้องกำหนดฟังก์ชัน เพราะว่า
ลำดับไม่มีอนุพันธ์บนช่วงเปิดใดๆ ไม่ใช่ที่ว่า ลำดับเป็นฟังก์ชันไม่ต่อเนื่อง
จึงถามว่า ทำไมเหตุผลหลังไม่ถูก

[gon]

ไม่แน่ใจว่าตอบตรงคำถามหรือเล่านะครับ. กฏของโลปิตาล จะใช้ได้เมื่อมันหาอนุพันธ์ได้และต่อเนื่องบนช่วงที่พิจารณา ลำดับที่พิจารณาถึงแม้ว่าไม่ต่อเนื่อง แต่ถ้าเปลี่ยนโดเมนเป็น R มันก็ต่อเนื่องบน R และ ที่สำคัญการหาลิมิตมันของลำดับโดยทั่วไหมายถึงการพิจารณาเมื่อ n เข้าใกล้ infinite ไม่ว่า n จะเป็น ฮ ของจำนวนจริงหรือจำนวนเต็มบวก ผลลัพธ์ของลิมิตที่ infinte ก็ไม่ต่างกันตรงไหน ซึ่งกฏของโลตาลก็ใช้ได้เมื่อโดเมนมันเข้าใกล้ infinite เราไม่มีทฤฎีบทที่ใช้ได้กับฟังก์ชันไม่ต่อเนื่อง ทฤษฎีบทต่าง ๆ ที่มีใช้ได้กับฟังก์ชันต่อเนื่องเท่านั้น ดังนั้นการที่พิจารณาลิมิตโดยใช้โลปิตาล ก็เพื่อให้สอดคล้องกับทฤษฎีบทที่มีอยู่เท่านั้นเอง

[M@gpie]

โอ จิงด้วย ลืมข้อกำหนดของกฏของโลปิตาลไป เลย ขอบคุณครับพี่ gon

[SOS_math]

ขอเริ่มที่บทนิยามของฟังก์ชันต่อเนื่อง จะเรียก f:N->R ว่าต่อเนื่องที่ aฮ R เมื่อกำหนด e>0 จะมี d>0 ที่ทำให้
ถ้า xฮN และ |x-a|<d แล้ว |f(x)-f(a)|<e
ดังนั้น ลำดับเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง เพราะเราสามารถเลือก d=0.5>0 แล้วทำให้ข้อความดังกล่าวเป็นจริง

[SOS_math]

ส่วนคำถามเรื่องการใช้ L'Hopital ก็ OK ใช้ได้เพราะสอดคล้องเงื่อนไข ไม่ปัญหาอะไรที่จะตอบว่า lim a_n=0

[M@gpie]

ตกลงว่า ต่อเนื่องหรือไม่ต่อเนื่องกันแน่ง่ะ

[warut]

ต่อเนื่องครับ ตามเหตุผลอย่างที่คุณ SOS_math ตอบนั่นแหละ เราเรียกความต่อเนื่องแบบนี้ว่า degenerate case of continuity ครับ

[Counter Striker]

Every subsequence of a convergent sequence is convergent

[kungfu]

ทำรายงานเรื่องลิมิตของฟังก์ชันแต่พิมพ์สัญลักษณ์ของลิมิตไม่ได้

[nooonuii]

กระทู้เก่าขุดมาเล่าใหม่ครับ

ถ้ามองในแง่ Topology แล้ว ฟังก์ชันใดๆก็ตามที่ส่งจากเซตของจำนวนนับ(หรือจำนวนเต็ม) จะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องทั้งนั้นครับ เพราะว่า เซตของจำนวนนับ(และจำนวนเต็ม) เป็น discrete topological space (ทุกสับเซตเป็นเซตเปิด หรือ topology ของเซตนี้ก็คือ powerset ของมันนั่นเอง)