![]() |
|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
![]() ![]() |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
![]() กำหนดให้ ก).$\sum_{n = 1}^{\infty}a_n และ \sum_{n = 1}^{\infty} b_n เป็นอนุกรมคอนเวอร์เจนต์แล้ว \sum_{n = 1}^{\infty} {a_n}{b_n} เป็นอนุกรมคอนเวอร์เจนต์$
ข).$\sum_{n = 1}^{\infty}{a_n}^2 และ \sum_{n = 1}^{\infty} {b_n}^2เป็นอนุกรมคอนเวอร์เจนต์ แล้ว\sum_{n = 1}^{\infty} {a_n}{b_n} เป็นอนุกรมคอนเวอร์เจนต์$ ข้อใดบ้างที่เป็นจริง ขออธิบายแบบนิยาม แล้วก็ยกตัวอย่างให้ด้วยครับ
__________________
Impossible is nothing 30 กรกฎาคม 2007 21:47 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 4 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ ZiLnIcE |
#2
|
||||
|
||||
![]() ข้อ a. ไม่จริงครับ ให้ $a_n=b_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ ซึ่ง
\[ \sum_{n=0}^{\infty}a_n, \;\; \sum_{n=0}^{\infty}b_n\] ลู่เข้าแต่ \[ \sum_{n=0}^{\infty}a_nb_n = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n} \]ซึ่งลู่ออก ข้อ b. จริงโดย Cauchy-Swartz inequality ครับ \[ \mid\sum_{n=0}^{\infty}a_nb_n \mid \leq (\sum_{n=0}^{\infty}a_n^2)(\sum_{n=0}^{\infty}b_n^2)\]
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! 30 กรกฎาคม 2007 22:03 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ M@gpie |
#3
|
|||
|
|||
![]() ข้อ ข. ได้แรงกว่านี้อีกครับ
โดยอสมการ AM-GM จะได้ $|a_nb_n|\leq \dfrac{a_n^2+b_n^2}{2}$ ทุกค่า $n$ ดังนั้น $$\sum_{n=1}^{\infty}|a_nb_n|$$ ลู่เข้าโดย comparison test เราจึงได้ว่า $$\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n$$ ลู่เข้่าอย่างสัมบูรณ์ ![]()
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 30 กรกฎาคม 2007 22:23 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii |
#4
|
||||
|
||||
![]()
ถ้าเราเพิ่มเงื่อนไขว่า $\sum_{n = 1}^{\infty}a_n$ และ $\sum_{n = 1}^{\infty} b_n$ ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ แล้วข้อความจะเป็นจริงมั้ยคะ
__________________
การเรียนรู้ไม่มีวันสิ้นสุด |
#5
|
|||
|
|||
![]() จริงครับ แค่ตัวใดตัวหนึ่งลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์ก็จริงแล้วครับ
สมมติว่า $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n}$ ลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์ และ $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} b_n}$ ลู่เข้า เราจะได้ว่า $b_n\to 0$ ดังนั้น $b_n$ เป็นลำดับมีขอบเขต นั่นคือ มี $M>0$ ซึ่งทำให้ $$|b_n|\leq M$$ ทุกค่า $n$ ดังนั้น $|a_nb_n|\leq M|a_n|$ ทุกค่า $n$ เราจึงได้ว่า $$\sum_{n=1}^{\infty}|a_nb_n|$$ ลู่เข้าโดย comparison test ดังนั้น $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n}$ ลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์ ![]()
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#6
|
||||
|
||||
![]() ![]() คือถามว่า ข้อต่อไปนี้ถูกหรือผิด และพิสูจนให้ดูด้วย แต่ดีที่ยังไม่มีข้อสอบแบบว่า ต้องเพิ่มเงื่อนไขอะไรเข้าไปถึงทำให้โจทย์เป็นจริง ![]()
__________________
การเรียนรู้ไม่มีวันสิ้นสุด |
#7
|
|||
|
|||
![]() AM-GM เนี่ยมันอะไรเหรอครับ?
|
#8
|
||||
|
||||
![]() AM = Arithmetic Mean
GM = Geometric Mean
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ ![]() |
#9
|
||||
|
||||
![]() สงสัยครับ
1.ลู่เข้าอย่างสมบูรณ์นี่เป็นยังไงหรือครับ 2.comparison test คืออะไรครับ
__________________
ชอบคณิตศาสตร์ครับ |
#10
|
|||
|
|||
![]() เราจำแนกอนุกรมที่ลู่เข้าไว้สองชนิดครับ คือ
1. อนุกรมที่ลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์(Absolutely convergent series) คือ อนุกรม ซึ่ง $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n}$ และ $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}|a_n|$ ลู่เข้า ตัวอย่างของอนุกรมชนิดนี้ก็อย่างเช่น อนุกรมซึ่งลู่เข้าและแต่ละเทอมมีค่าเป็นบวก 2. อนุกรมที่ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข (Conditional Convergent series) คืออนุกรมซึ่งลู่เข้าแต่ $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}|a_n|$ ลู่ออก ตัวอย่างเช่น $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}\dfrac{(-1)^n}{n}$ การทดสอบแบบเปรียบเทียบ (Comprison Test) เป็นการทดสอบการลู่เข้าของอนุกรมแบบหนึ่งครับ ใจความมีอยู่ว่า ถ้า $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}b_n$ เป็นอนุกรมซึ่ง $|b_n|\leq a_n$ ทุกค่า $n$ เมื่อ $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}a_n$ ลู่เข้า เราจะได้ว่าอนุกรม $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}}b_n$ ลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์ อนุกรมส่วนใหญ่ที่นักคณิตศาสตร์อยากเจอและนำไปใช้งานได้ดี คือ อนุกรมที่ลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์ครับ เป็นอนุกรมที่มีคุณสมบัติอันพึงประสงค์หลายอย่าง ส่วนการทดสอบอนุกรมนั้นยังมีอีกหลายแบบครับ สำหรับเด็กมัธยมยังไม่มีการเรียนการสอนเรื่องนี้ คงต้องหาอ่านจากตำราวิชาแคลคูลัสเบื้องต้น หรือ ไม่ก็ตำราวิชา คณิตศาสตร์เชิงการวิเคราะห์ (Mathematical Analysis) ครับ ![]()
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#11
|
||||
|
||||
![]() จากที่พี่nooonuii ยกตัวอย่าง $a_n$ มานี่เป็น Alternating Seriesที่
$$\lim_{x \to \infty} a_n=0$$ แล้วสรุปได้เลยใช่มั้ยครับว่า $$\sum_{n = 1}^{\infty} a_n$$ จะ converge โดยที่เป็น monotone decreasing ปล. อ.ผมบอกว่า มัน diverge ครับ ![]()
__________________
Impossible is nothing |
#12
|
|||
|
|||
![]()
ตัวอย่างอันนี้ลู่เข้าครับ ใช้การทดสอบอนุกรมสลับมาช่วยได้ครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#13
|
||||
|
||||
![]() ขอบคุณมากครับ
__________________
Impossible is nothing |
![]() ![]() |
|
|