ช่วยเเก้ให้ทีงับไปไม่ถูก

[Krittam]

$(tan1)^2 + (tan2)^2 + (tan3)^2 + ...+(tan89)^2 มีค่าเท่าไร$

[picmy]

ลองดูจากกระทู้ข้างล่างนะครับ ถ้าอ่านไม่เข้าใจค่อยว่ากันต่อละกันนะครับ

http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=17203

[picmy]

แต่ผมอ่านวิธีทำในนั้นแล้วแอบงงๆนิดนึงเหมือนกัน ผมจะลองเขียนวิธีทำดูให้ใหม่ละกันนะครับ
จากความรู้เกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อน เราทราบว่า $(\cos\theta+i\sin\theta)^{180}=\cos{180\theta}+i\sin{180\theta}$
กระจายพจน์ที่ยกกำลัง (ด้านซ้ายมือของสมการ) และเทียบส่วนที่เป็นจำนวนจินตภาพจะได้ว่า
$\left(\matrix{
180 \\
1
}\right)(\cos\theta)^{179}\sin\theta-\left(\matrix{
180 \\
3
}\right)(\cos\theta)^{177}(\sin\theta)^3+\left(\matrix{
180 \\
5
}\right)(\cos\theta)^{175}(\sin\theta)^5-\cdots-\left(\matrix{
180 \\
179
}\right)\cos\theta(\sin\theta)^{179}=\sin{180\theta}$
หลังจากนั้นดึง $(\sin\theta)^{180}$ ออกมา (ทำกับพจน์ทางด้านซ้ายมือของสมการ) ได้ว่า
$(\sin\theta)^{180}\left(\left(\matrix{
180 \\
1
}\right)(\cot\theta)^{179}-\left(\matrix{
180 \\
3
}\right)(\cot\theta)^{177}+\left(\matrix{
180 \\
5
}\right)(\cot\theta)^{175}-\cdots-\left(\matrix{
180 \\
179
}\right)\cot\theta\right)=\sin{180\theta}$
นั่นคือ
$(\sin\theta)^{180}\cot\theta\left(\left(\matrix{
180 \\
1
}\right)(\cot\theta)^{178}-\left(\matrix{
180 \\
3
}\right)(\cot\theta)^{176}+\left(\matrix{
180 \\
5
}\right)(\cot\theta)^{174}-\cdots-\left(\matrix{
180 \\
179
}\right)\right)=\sin{180\theta}$
เมื่อแทน $\theta=1,2,3\ldots,89$ จะเห็นได้ว่า ทางขาวมือของสมการเป็นศูนย์ ($\sin{180\theta}=0$)
แต่ว่า $\sin\theta\neq 0$ และ $\cot\theta\neq 0$
ดังนั้นจากสมการด้านบน เราสรุปได้ว่า เมื่อ $\theta=1,2,3\ldots,89$ แล้ว
$\left(\matrix{
180 \\
1
}\right)(\cot\theta)^{178}-\left(\matrix{
180 \\
3
}\right)(\cot\theta)^{176}+\left(\matrix{
180 \\
5
}\right)(\cot\theta)^{174}-\cdots-\left(\matrix{
180 \\
179
}\right)=0$
แทน $x=(\cot\theta)^2$ ลงไปในพจน์ทางซ้ายมือ ได้พหุนามข้างล่างคือ
$P(x)=\left(\matrix{
180 \\
1
}\right)x^{89}-\left(\matrix{
180 \\
3
}\right)x^{88}+\left(\matrix{
180 \\
5
}\right)x^{87}-\cdots-\left(\matrix{
180 \\
179
}\right)$
ซึ่งมีรากทั้งหมดคือ $x= (\cot{1})^2,(\cot{2})^2,(\cot{3})^2,\ldots,(\cot{89})^2$
(ที่เราสรุปได้ว่าเป็นรากทั้งหมดเพราะ แต่ละตัวมีค่าไม่เท่ากันและมีทั้งหมด $89$ ตัวพอดี)
จาก Vieta's formulas เราได้ว่า
$(\cot{1})^2+(\cot{2})^2+(\cot{3})^2+\cdots+(\cot{89})^2=\frac{1}{180}\left(\matrix{
180 \\
3
}\right)=5310\frac{1}{3}$
หลังจากนั้น ใช้ $\cot{A}=\tan{(90-A)}$

[Krittam]

ขอบคุณมากครับ เข้าใจเเล้ว เเต่ผมสงสัยว่าถ้าผมกระจาย $ cis(x) กำลัง360 $ จะได้คำตอบตรงไหมงับ

[picmy]

ขอโทษทีครับที่ตอบช้า ผมลองคิดแบบคร่าวๆแล้ว ผมว่าอาจจะไม่ได้นะครับ ผมก็ไม่ได้ลองเหมือนกัน
แต่ผมแนะนำให้คุณ Krittam ลองทำดูนะครับว่าได้หรือไม่ ซึ่งก็จะช่วยให้คุณ Krittam ทดสอบตัวเองด้วยว่าเข้าใจวิธีทำจริงๆหรือไม่นะครับ