ใครพิสูจน์ได้มั่งครับ

[ArchAngel]

จงแสดงว่า $2^{23}-1$ เป็นจำนวนประกอบ
ผมใช้วิธีโง่ ๆ เลยครับ ใช้ excel หารไปเรื่อย ๆ ได้เลข 47 มาตัวนึงและ แต่ไม่ทราบว่าจะพิสูจน์งัยอ่ะครับ

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ArchAngel

จงแสดงว่า $2^{23}-1$ เป็นจำนวนประกอบ
ผมใช้วิธีโง่ ๆ เลยครับ ใช้ excel หารไปเรื่อย ๆ ได้เลข 47 มาตัวนึงและ แต่ไม่ทราบว่าจะพิสูจน์งัยอ่ะครับ

ลองใช้สามเหลี่ยมปาสกาลครับ คือจัดรูป $2^{23}$ ให้อยู่ในรูปของ $(1+1)^{23}$ คือ 1 ยกกำลังอะไรก็ได้ 1 ไงครับ แล้วก็ใส่พามพจน์ของเลขยากกำลังสมบูรณ์แล้วนำมา ลบ1 ก็น่าจะได้จำนวนนั้นแล้วนำมาแยกตัวประกอบครับแต่ผมลืมลำดับของสามเหลี่ยมปาสกาลไปแล้วถ้าไง ใครเทพๆก็ช่วยเตือนความจำหน่อยครับ

[ลูกชิ้น]

ถ้าไปทางปาสคาลจะได้ไปเป็น
1+23+253+1771+8855+33649+... (บวกไปอีก18พจน์) ซึ่งดูแล้วไม่ง่ายนักนะ

อันนี้คงจะเรียนเรื่องจำนวนเฉพาะของ Mersenne
ที่เป็นจำนวนเฉพาะที่อยู่ในรูป

$$2^p-1$$

เมื่อ p เป็นจำนวนเฉพาะ

ซึ่งจำนวนเฉพาะ Mersenne ที่ค้นพบตัวล่าสุดคือตัวที่ 46
คือ $2^{43,112,609}-1$ มีความยาว 13 ล้านหลัก และผู้ค้นพบได้รางวัล 100,000ดอลลาสหรัฐ
ที่มา - latimes.com/


หากใครรู้วิธีดูจำนวนเฉพาะรูปแบบนี้ว่ามันเป็นจำนวนเฉพาะหรือจำนวนประกอบก็ช่วยหาตัวที่ 47 ด้วยนะครับ
แล้วเอาเงินมาแบ่งชาว MathCenter กัน

ผมคิดว่าไม่มีวิธีหาตรง ๆ คงต้องลองไปเรื่อย ๆ เหมือนจำนวนธรรมดาว่าจำนวนใดหารลงตัว
ใช้เครื่องคิดเลขออกมาได้ว่า
$2^{23}-1=8388607=(47)(178481)$ ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะทั้งคู่ครับ
จาก http://www.acme.com/software/factor/ ครับผม

[หยินหยาง]

คงต้องใช้ ทบ. เกี่ยวกับจำนวนเฉพาะแมร์เซน ซึ่งกล่าวไว้ว่า $M_p = 2^p-1, p$เป็นจำนวนเฉพาะ
ทบ. ถ้า $M_p$ ไม่ใช่จำนวนเฉพาะแล้ว ตัวหารของ $M_p$ จะต้องเขียนอยู่ในรูป $2kp+1$ เมื่อ $k$ เป็นจำนวนเต็มบวก จากโจทย์ให้แสดงว่า
$2^{23}-1$ เป็นจำนวนประกอบ จะได้ว่า ตัวประกอบตัวหนึ่งจะต้องอยู่ในรูป $2k(23)+1$ เมื่อแทน $k = 1$ จะได้ $47$ เมื่อนำไปหารแล้วลงตัวครับ (รู้ได้โดยการใช้ mod)

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

คงต้องใช้ ทบ. เกี่ยวกับจำนวนเฉพาะแมร์เซน ซึ่งกล่าวไว้ว่า $M_p = 2^p-1, p$เป็นจำนวนเฉพาะ
ทบ. ถ้า $M_p$ ไม่ใช่จำนวนเฉพาะแล้ว ตัวหารของ $M_p$ จะต้องเขียนอยู่ในรูป $2kp+1$ เมื่อ $k$ เป็นจำนวนเต็มบวก จากโจทย์ให้แสดงว่า
$2^{23}-1$ เป็นจำนวนประกอบ จะได้ว่า ตัวประกอบตัวหนึ่งจะต้องอยู่ในรูป $2k(23)+1$ เมื่อแทน $k = 1$ จะได้ $47$ เมื่อนำไปหารแล้วลงตัวครับ (รู้ได้โดยการใช้ mod)

โอโห พูดแล้วก็อาย ผมนังไม่เคยเรียนเลยครับ ทั้งๆที่ควรจะเรียนแล้ว