little combinatoric

[Siren-Of-Step]

วงเล็บคือเฉลยนะครับ
1. คู่สามีภรรยา 4 คู่ (ช1,ญ1) , (ช2,ญ2) ,(ช3,ญ3),(ช4,ญ4) สลับคู่เ้ต้นรำกัน จงหาจำนวนวิธีที่ มีอย่างน้อย 1 คู่ที่เต้นกับคู๋ของตัวเอง (15)

2.มีทหาร 3 หมู่ต่าง ๆ กันหมู่ละั 4 คนจะมีวิธีเข้าแถว 3 แถวหมู่ละแุถวได้กี่วิธี (82944)

3. ช่วยพิจารณาความแตกต่างระหว่าง โจทย์ 2 ข้อนี้ทีครับ
(1) มีหนังสือต่าง ๆ กัน 8 เล่มจะแจกให้ นักเรียน 2 คนคนหนึ่ง 5 เล่มคนหนึ่ง 3 เล่มได้กี่วิธี(112)
เฉลย $\binom{8}{5,3} + \binom{8}{3,5} = 112$
(2) แจกหนังสือต่าง ๆ กัน 8 เล่มจะแจกให้นักเรียน 3 คน คนแรก 1 เล่มคนที่สอง 3 เล่ม คนที่สาม 4 เล่มทำได้กี่วิธี(280)
ถ้าทำตาม (1) จะเกิน ถ้าเป็นแบบนี้ $\binom{8}{3,4} = 280$
งงมากๆ เลยครับ

4. โยนลูกเต๋า 3 ลูกครั้งหนึ่ง จงหาจำนวนวิธี
ก. ลูกเต๋าแต้มรวมเป็น 11 (27)
ผมตั้งเป็นสมการ $x+y+z = 11 , x,y,z \geqslant 0$
$x+y+z = 8 , x,y,z \geqslant 1$ หลังจากนั้นหาคำตอบได้$ \binom{8+3-1}{8} = 45 $ อะึีครับช่วยดูให้ทีว่าทำไมคำตอบไม่เท่ากัน

[กิตติ]

ข้อ1. วิธีที่สลับกันทั้งหมด ก็ให้ผู้ชายเลือกคู่เต้นได้ทั้งหมด$4\times 3\times 2\times 1 = 24$ วิธี
มีวิธีที่แต่ละคนจับได้คู่เต้นที่ไม่ใช่ภรรยาตัวเองเท่ากับ $9 $ วิธี......ผมแจกแจงออกมา
จำนวนวิธีที่มีอย่างน้อย1คู่ได้คู่เต้นเป็นภรรยาตัวเองเท่ากับ $24-9 = 15$
ถ้าอยากได้สูตรคิดลองอ่านวิธีอธิบายในกระทู้ส่งจดหมายถูกซอง

[กิตติ]

ข้อ 2 จัดแถวก่อนสลับกันได้$3!$
แต่ละแถวคือภายในหมู่สลับกันได้อีกแถวละ$4!$
จำนวนวิธีเท่ากับ$3!4!4!4! = 82944$

[กิตติ]

ข้อ3 (1) น่าจะใช้วิธีการจัดกลุ่มได้เป็น$\frac{8!}{3!5!} $
โจทย์ไม่เคลียร์ ถ้าโจทย์กำหนดไปเลยว่าคนแรกได้ 3 เล่ม คนที่สองได้5เล่ม ก็ตอบเท่าที่หาได้
แต่โจทย์ไม่กำหนดมันก็เลยเลือกได้อีกว่าใครจะได้3เล่ม ใครจะได้5เล่มคือสลับกันได้อีก 2 วิธีเป็น$56\times 2 = 112$
ข้อ3 (2) โจทย์ล็อคมาเลยว่าคนแรกได้เท่าไหร่คนที่สองได้เท่าไหร่คนที่สามได้เท่าไหร่ คือมีลำดับชัด สลับไม่ได้
ใช้วิธีเดิมคือ$\frac{8!}{1!3!5!} = 280$

[RM@]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

3. ช่วยพิจารณาความแตกต่างระหว่าง โจทย์ 2 ข้อนี้ทีครับ
(1) มีหนังสือต่าง ๆ กัน 8 เล่มจะแจกให้ นักเรียน 2 คนคนหนึ่ง 5 เล่มคนหนึ่ง 3 เล่มได้กี่วิธี(112)
เฉลย $\binom{8}{5,3} + \binom{8}{3,5} = 112$
(2) แจกหนังสือต่าง ๆ กัน 8 เล่มจะแจกให้นักเรียน 3 คน คนแรก 1 เล่มคนที่สอง 3 เล่ม คนที่สาม 4 เล่มทำได้กี่วิธี(280)
ถ้าทำตาม (1) จะเกิน ถ้าเป็นแบบนี้ $\binom{8}{3,4} = 280$
งงมากๆ เลยครับ

ข้อแรกนั้น โจทย์ไม่ได้กำหนดว่า หนังสือที่แบ่งแล้ว จะให้เด็กคนไหน จึงมี 2 กรณี คือ คนแรกได้ 5 เล่ม อีกคนได้ 3 เล่ม และอีกกรณีก็สลับกัน

ส่วนข้อ 2.นั้นโจทย์บังคับเลยว่า หนังสือที่แ่บ่งออกเ้ป็น 3 กอง คือ กองละ 1, 3, 4 จะต้องแจกให้เด็กคนแรก, สอง, สาม ตามลำดับ ดังนั้นเมื่อแบ่งหนังสือออกเป็นกองแล้ว หนังสือกองต่าง ๆ ต้องแจกให้เด็กที่บังคับไว้เท่านั้น

วิธีการแจกของที่ต่างกัน ลงในกล่องที่ต่างกัน มีหลักการคิดอยู่ 2 ขั้น จำไว้ให้แม่นครับ

ขั้นที่ 1. แบ่งออกเป็นกอง ๆ ทำได้ $\frac{n!}{n_1!n_2!...n_k!}$ และถ้ามี $n_i = n_j$ เป็นจำนวน m กอง ก็ให้หารด้วย m! เช่น มีหนังสือต่างกัน 11 เล่ม ถ้าเป็น 5 กอง คือ 2, 2, 2, 2, 3 จะแบ่งได้ $\frac{11!}{2!2!2!2!3!4!}$ ถ้าคิดแบบพื้นฐานแต่ลีลาก็คือ $\binom{11}{2}\binom{9}{2}\binom{7}{2}\binom{5}{2}\binom{3}{3}\cdot\frac{1}{4!}$

ขั้นที่ 2. แจกของ ให้เอาหนังสือที่แบ่งในขั้นที่ 1 นั้นดูว่ากองไหน จะแจกให้ใครได้บ้าง ทีละกอง แล้วเอาไปคูณกันให้หมด อย่างในข้อแรก ถ้าทำแบบที่ว่าก็คือ

แบ่งหนังสือเป็นกองละ 5 กับ 3 ทำได้ $\frac{8!}{5!3!}$

จากนั้นก็แจกหนังสือ ,

ขั้นที่ 2.1 หนังสือกองละ 5 เลือกว่าจะแจกให้เด็กคนไหน ทำได้ 2 วิธี เพราะมีเด็กสองคนให้เลือก

ขั้นที่ 2.2 หนังสือกองละ 3 เลือกว่าจะแจกให้เด็กคนไหน ทำได้ 1 วิธี เพราะเหลือเด็กคนเดียว

ดังนั้นทำได้ทั้งหมด $\frac{8!}{5!3!}\times 2 \times 1 $

4. โยนลูกเต๋า 3 ลูกครั้งหนึ่ง จงหาจำนวนวิธี
ก. ลูกเต๋าแต้มรวมเป็น 11 (27)
ผมตั้งเป็นสมการ $x+y+z = 11 , x,y,z \geqslant 0$
$x+y+z = 8 , x,y,z \geqslant 1$ หลังจากนั้นหาคำตอบได้$ \binom{8+3-1}{8} = 45 $ อะึีครับช่วยดูให้ทีว่าทำไมคำตอบไม่เท่ากัน

ตั้งสมการผิดครับ สมการที่ถูกคือ $x+y+z = 11 , 1\le x \le 6, 1\le y \le 6, 1\le z \le 6$

ถ้าทำถูกจะได้ $\binom{10}{2} - 3\binom{4}{2} = 45 - 18 = 27$

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RM@

ข้อแรกนั้น โจทย์ไม่ได้กำหนดว่า หนังสือที่แบ่งแล้ว จะให้เด็กคนไหน จึงมี 2 กรณี คือ คนแรกได้ 5 เล่ม อีกคนได้ 3 เล่ม และอีกกรณีก็สลับกัน

ส่วนข้อ 2.นั้นโจทย์บังคับเลยว่า หนังสือที่แ่บ่งออกเ้ป็น 3 กอง คือ กองละ 1, 3, 4 จะต้องแจกให้เด็กคนแรก, สอง, สาม ตามลำดับ ดังนั้นเมื่อแบ่งหนังสือออกเป็นกองแล้ว หนังสือกองต่าง ๆ ต้องแจกให้เด็กที่บังคับไว้เท่านั้น

วิธีการแจกของที่ต่างกัน ลงในกล่องที่ต่างกัน มีหลักการคิดอยู่ 2 ขั้น จำไว้ให้แม่นครับ

ขั้นที่ 1. แบ่งออกเป็นกอง ๆ ทำได้ $\frac{n!}{n_1!n_2!...n_k!}$ และถ้ามี $n_i = n_j$ เป็นจำนวน m กอง ก็ให้หารด้วย m! เช่น มีหนังสือต่างกัน 11 เล่ม ถ้าเป็น 5 กอง คือ 2, 2, 2, 2, 3 จะแบ่งได้ ]$\frac{11!}{2!2!2!2!3!4!}$ ถ้าคิดแบบพื้นฐานแต่ลีลาก็คือ $\binom{11}{2}\binom{9}{2}\binom{7}{2}\binom{5}{2}\binom{3}{3}\cdot\frac{1}{4!}$

เห็นบางข้อ เขาไม่หารด้วย m! เพราะอะไรหรอครับ

[RM@]

ที่ไม่หารด้วย m! เพราะว่า ไม่มีกลุ่มใดเลยที่มีจำนวนคนในกลุ่มเท่ากัน เช่น มีคน 12 คน ถ้าแบ่งเป็นกลุ่มละ 3, 4, 5 จะแบ่งได้ $\frac{12!}{3!4!5!}$ วิธี

ไม่ก็เป็นกรณีโชคดีที่ตัวเศษกับตัวส่วนจะตัดกันได้หมดพอดี เลยดูเหมือนว่าไม่หารด้วย m!

เช่น จัดคน 12 คน เข้าห้องพัก 3 ห้อง โดยที่ห้องพักแต่ละห้องรับคนได้ห้องละ 4 คน

แบบนี้เราจะถูกบังคับโดยปริยายว่าต้องแบ่งคนออกเป็นกลุ่มละ 4, 4, 4 ทำได้ $\frac{12!}{4!4!4!(3!)}$

จากนั้นเมื่อเลือกห้องทำได้อีก $3\times2\times1$ วิธี

ดังนั้นจะจัดคนตามเงื่อนไข ทำได้ $\frac{12!}{4!4!4!(3!)}\times3\times2\times1 = \frac{12!}{4!4!4!}$

ถ้าไม่เป็นตามนี้ก็แสดงว่าคิดผิดแล้วล่ะครับ.

[Siren-Of-Step]

ต่อเลยนะครับ
1. จัดคน 12 คน นั่งเก้าอี้รอบโต๊ะอาหารกลมต่าง ๆ กัน 3 โต๊ะ โต๊ะละ 4 คนกระทำได้กี่วิธี
2.
2.1มีกล้วย 6 ผล และส้ม 8 ผล จะให้ลิงตัวหนึ่งอย่างน้อย 1 ผลกระทำได้กี่วิธี
2.2 มีผลไม้ต่าง ๆ กัน8 ผลจะให้ลิงตัวหนึ่งอย่างน้อย 1 ผลกระทำได้กี่วิธี
2.3 มีผลไม้ต่าง ๆ กัน7ผลจะให้ลิง3ตัว อย่างน้อย 1 ผลกระทำได้กี่วิธี โดย ผลไม้เหลือบ้างก็ได้

พี่ RM@ ครับ
โจทย์ข้อนี้
มีผลไม้ต่าง ๆ กัน 7 ผลให้ลิง 3 ตัว ตัวละ 2 ผลกระทำได้กี่วิธี
มันได้ $\dfrac{7!}{2!2!2!1!}$ ทำไมมันไม่ไปหารด้วย 3! อีกอะครับ

[MiNd169]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

เห็นบางข้อ เขาไม่หารด้วย m! เพราะอะไรหรอครับ

แต่ละกองไม่เหมือนกันไงครับ

[กิตติ]

สำหรับเรื่องการจัดหมู่....เราจำสูตรเบื้องต้นอย่างที่คุยกันไปคือแยกก่อนว่า แจกของเหมือนกันหรือต่างกัน แล้วมาดูต่อว่าการแจกออกไปนั้นสร้างความแตกต่าง
อย่างเช่นเรามีคน 7 คนต้องการจัดทีมเทนนิสแข่งเป็นทีมหนึ่งกับทีมสอง ทีมละ 3 คน เราก็ใช้สูตรคิดออกมาว่าเท่ากับ$\frac{7!}{3!3!} $ จะเห็นว่าเราไม่เอา $2!$ หารเพราะว่าการได้อยู่ทีมหนึ่งหรือทีมสองนั้นมีความแตกต่างกัน แต่ถ้าจัดคนเข้าทีมสองทีมทีมละ 3 คน คำตอบจะเป็น$\frac{7!}{3!3!2!}$ เพราะลำดับของทีมไม่มีความแตกต่างกัน และแต่ละคนใน7คนก็เป็นของที่แตกต่างกัน
ถ้าเราแบ่งของเหมือนกัน อย่างแบ่งผลส้ม10ผล ก็คงเป็นไปตามที่เขียนกัน

มีผลไม้ต่าง ๆ กัน 7 ผลให้ลิง 3 ตัว ตัวละ 2 ผลกระทำได้กี่วิธี

ผลไม้ต่างกันก็คิดแบบของต่างกัน จึงไม่มีการนำ$3!$มาหาร

ข้อ2 ขอทราบจำนวนลิงด้วยครับ ไม่งั้นคิดไม่ได้ครับ

[MiNd169]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

ต่อเลยนะครับ
1. จัดคน 12 คน นั่งเก้าอี้รอบโต๊ะอาหารกลมต่าง ๆ กัน 3 โต๊ะ โต๊ะละ 4 คนกระทำได้กี่วิธี

เลือกคน $4$ คนลงโต๊ะ 3 โต๊ะเลือกได้$\dfrac{12!}{4!4!4!}$

แต่ละโต๊ะนั่งได้ $3!$ มี $3$ โต๊ะจึงเป็น $3!3!3!$

$\therefore$ $\dfrac{12!3!3!3!}{4!4!4!} $

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ข้อ2 ขอทราบจำนวนลิงด้วยครับ ไม่งั้นคิดไม่ได้ครับ

โจทย์ในชีส มันมีแค่นี้อะครับ

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

ต่อเลยนะครับ
1. จัดคน 12 คน นั่งเก้าอี้รอบโต๊ะอาหารกลมต่าง ๆ กัน 3 โต๊ะ โต๊ะละ 4 คนกระทำได้กี่วิธี

ได้จำนวนวิธีคือ
$$\binom{12}{4}\binom{8}{4}\binom{4}{4}(4-1)!(4-1)!(4-1)!$$
$$\frac{12!}{4^3} $$ วิธี อะครับ

ช่วยเช็คให้ทีครับ

[Slurpee]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

ได้จำนวนวิธีคือ
$$\binom{12}{4}\binom{8}{4}\binom{4}{4}(4-1)!(4-1)!(4-1)!$$
$$\frac{12!}{4^3} $$ วิธี อะครับ

ช่วยเช็คให้ทีครับ

อย่าลืมโต๊ะครับ 3! ครับ

[RM@]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

มีผลไม้ต่าง ๆ กัน 7 ผลให้ลิง 3 ตัว ตัวละ 2 ผลกระทำได้กี่วิธี
มันได้ $\dfrac{7!}{2!2!2!1!}$ ทำไมมันไม่ไปหารด้วย 3! อีกอะครับ

หารครับ แต่มันตัดกันได้พอดี หลังจากแจกผลไม้

1. แบ่งกลุ่ม $\frac{7!}{2!2!2!1!(3!)}$
2. แจกผลไม้ $3\times2\times1$

โดยกฎการคูณ ทำได้ $\frac{7!}{2!2!2!1!(3!)}\times3\times2\times1 = \frac{7!}{2!2!2!1!}$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

ได้จำนวนวิธีคือ
$$\binom{12}{4}\binom{8}{4}\binom{4}{4}(4-1)!(4-1)!(4-1)!$$$$\frac{12!}{4^3} $$ วิธี ช่วยเช็คให้ทีครับ

ข้อนี้ทำถูกแล้วครับ แต่ไม่รู้ว่าบังเอิญตรงหรือเปล่า เพื่อความมั่นใจ ลองดูปัญหาที่น้อง bakured ถามไว้ในนี้ครับ. แล้วจะเข้าใจว่าทำไมต้องแบ่งกลุ่มให้ถูกก่อน

http://www.mathcenter.net/forum/show...658#post101658

1. แบ่งกลุ่ม ทำได้ $\frac{12!}{4!4!4!(3!)}$

2. แต่ละกลุ่มเลือกโต๊ะ ทำได้ $3\times2\times1$ (ต้องเลือกโต๊ะ เพราะโจทย์กำหนดให้โต๊ะต่างกัน)

3. แต่ละโต๊ะจัดเป็นวงกลมทำได้ $3!3!3!$

นำมาคูณกันทั้งหมดจะได้ $\frac{12!3!3!3!3!}{4!4!4!(3!)} = \frac{12!}{4^3}$

สิ่งสำคัญ ต้องทำความเข้าใจการแบ่งกลุ่มให้ชัดเจนก่อนนะครับ ไม่อย่างนั้นจะสับสนไปตลอด โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าของที่แบ่งนั้นมีจำนวนกลุ่มเท่ากัน เช่น มีคน 4 คน สมมติว่าคือ นาย p, q, r, s แบ่งเป็น 2 กลุ่ม กลุ่มละ 2 คน (แบ่งเฉย ๆ) จะแบ่งได้กี่วิธี

ถ้าตอบว่า $\binom{4}{2}\binom{2}{2} = 6$ จะผิดนะครับ

ที่ถูกคือ $\binom{4}{2}\binom{2}{2}\times \frac{1}{2!} =\frac{4!}{2!2!(2!)} = 3$

3 วิธีที่ว่าได้แก่
{pq}, {rs}
{pr}, {qs}
{ps}, {qr}