[หนังสือ สอวน.] จำนวนเชิงซ้อน

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

1. จงพิสูจน์ว่าถ้า $z^5=1$ แล้ว $\dfrac{z}{1+z^2}+\dfrac{z^2}{1+z^4}+\dfrac{z^3}{1+z}+\dfrac{z^4}{1+z^3}=2$

2. จงหาผลบวกของ $\displaystyle \binom{n}{1}-3\binom{n}{3}+3^2\binom{n}{5}-3^3\binom{n}{7}+...$

3. ให้ $a,b,c,d$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงหา $a+b+c+d$ ถ้าผลบวกของความยาวทุกด้านและเส้นทแยงมุมของรูป $12$ เหลี่ยมด้านเท่าแนบในวงกลมรัศมี $12$ หน่วย อยู่ในรูป $a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6}$

4.(อันนี้ไม่เกี่ยวกับเชิงซ้อน)
จงแสดงว่าจะไม่มีพหุนาม $P(x)$ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มซึ่ง $P(10)+P(10^2)+P(10^3)+...+P(10^9)=10^{10}$

5.จงหาทุกคู่อันดับคำตอบของสมการ (ถ้า $\in C$ รวมด้วย) ของ
$y^4+y^3+y^2+y=x^2+x$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ฟินิกซ์เหินฟ้า

1. จงพิสูจน์ว่าถ้า $z^5=1$ แล้ว $\dfrac{z}{1+z^2}+\dfrac{z^2}{1+z^4}+\dfrac{z^3}{1+z}+\dfrac{z^4}{1+z^3}=2$

เอ...ถ้าเอาสองเทอมแรกมาบวกกันจะได้อะไรนะ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ฟินิกซ์เหินฟ้า

2. จงหาผลบวกของ $\displaystyle \binom{n}{1}-3\binom{n}{3}+3^2\binom{n}{5}-3^3\binom{n}{7}+...$

ถ้าเริ่มจาก

$(1+x)^n = \binom{n}{0} + \binom{n}{1}x+\binom{n}{2}x^2+\cdots$

จะต้องแทน $x$ เป็นเท่าไหร่นะจึงจะได้อะไรแบบนี้

$\binom{n}{0} - \binom{n}{1}x +\binom{n}{2}x^2+\cdots$

ถ้าเอาสองอันนี้มาลบกันเทอมที่เป็นเลขคู่จะหายไปหมดเลยแฮะ

เอ..แล้วจะต้องแทน $x$ เป็นเท่าไหร่อีกนะจึงจะได้สิ่งที่โจทย์ต้องการ

[Thgx0312555]

4. $P(10) \equiv P(10^2) \equiv \cdots \equiv P(10^9) \pmod 9$

$9 \mid (P(10)+P(10^2)+\cdots + P(10^9))$ จึงเป็น $10^{10}$ ไม่ได้ครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ฟินิกซ์เหินฟ้า

5.จงหาทุกคู่อันดับคำตอบของสมการ (ถ้า $\in C$ รวมด้วย) ของ
$y^4+y^3+y^2+y=x^2+x$

ข้อนี้นี่หาจำนวนเต็มทั้งหมดเหรอครับ

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ข้อนี้นี่หาจำนวนเต็มทั้งหมดเหรอครับ

คือตอนนี้ได้ $y$ ได้ $3$ ตัว คือ $-1,0,1$ (มาจากวิชาทฤษฎีจำนวน)
แต่อยากทราบทุกคำตอบในจำนวนจริง หรือในจำนวนเชิงซ้อนนะครับ

[polsk133]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ฟินิกซ์เหินฟ้า

คือตอนนี้ได้ $y$ ได้ $3$ ตัว คือ $-1,0,1$ (มาจากวิชาทฤษฎีจำนวน)
แต่อยากทราบทุกคำตอบในจำนวนจริง หรือในจำนวนเชิงซ้อนนะครับ

ถ้าคิดในระบบเชิงซ้อน ก็มีเป็นอนันต์เลยสิครับ ไม่ว่า x จะเป็นจำนวนใด ก็จะหา y ได้เสมอ

จำนวนจริงก็มีอนันต์เหมือนกัน แต่ต้องคิดที่ x,y ต้องไม่เป็นจำนวนเชิงซ้อนด้วย

[tngngoapm]

[quote=ฟินิกซ์เหินฟ้า;172564]1. จงพิสูจน์ว่าถ้า $z^5=1$ แล้ว $\dfrac{z}{1+z^2}+\dfrac{z^2}{1+z^4}+\dfrac{z^3}{1+z}+\dfrac{z^4}{1+z^3}=2$

1) จาก $\dfrac{z}{1+z^2}=\dfrac{z\times z^{3}}{(1+z^2)\times z^{3}}=\dfrac{z^4}{1+z^3}$
2) จาก $\dfrac{z^2}{1+z^4}=\dfrac{(z^2)\times z}{(1+z^4)\times z}=\dfrac{z^3}{1+z}$
3) $\therefore\dfrac{z}{1+z^2}+\dfrac{z^2}{1+z^4}+\dfrac{z^3}{1+z}+\dfrac{z^4}{1+z^3}=2(\dfrac{z}{1+z^2}+\dfrac{z^2}{1+z^4})$
$\dfrac{z}{1+z^2}+\dfrac{z^2}{1+z^4}+\dfrac{z^3}{1+z}+\dfrac{z^4}{1+z^3}=2(\dfrac{z(1+z^4)+(1+z^2)(z^2)}{(1+z^2)(1+z^4)})$
$\dfrac{z}{1+z^2}+\dfrac{z^2}{1+z^4}+\dfrac{z^3}{1+z}+\dfrac{z^4}{1+z^3}=2(\dfrac{z+z^5+z^2+z^4}{1+z^2+z^4+z^6})$
$\dfrac{z}{1+z^2}+\dfrac{z^2}{1+z^4}+\dfrac{z^3}{1+z}+\dfrac{z^4}{1+z^3}=2(\dfrac{1+z+z^2+z^4}{1+z+z^2+z^4})$
$\dfrac{z}{1+z^2}+\dfrac{z^2}{1+z^4}+\dfrac{z^3}{1+z}+\dfrac{z^4}{1+z^3}=2(1)=2$