โจทย์น่าสนใจจากคุณ passer-by(ค่าน้อยที่สุด)พร้อมเฉลย

[tngngoapm]

จงหาค่าน้อยที่สุดของ $\sqrt{x^2-4x+7-2\sqrt{2}}+\sqrt{x^2-8x+27-6\sqrt{2}}$
......ส่วนตัวผมทำวิธีนี้ครับ.........
จัดรูปใหม่ได้.......
$\sqrt{x^2-4x+7-2\sqrt{2}}+\sqrt{x^2-8x+27-6\sqrt{2}}=\sqrt{(x-2)^2+(\sqrt{2}-1)^2}+\sqrt{(x-4)^2+(3-\sqrt{2})^2}$
แล้วใช้เรขาคณิตวิเคราะห์ คือ จุด $(x,\sqrt{2})$ มีระยะห่างจากจุด $(2,1)$ และ $(4,3)$ บวกกันน้อยที่สุด เท่ากับระยะทางจากจุด $(2,1)$ ถึง $(4,3)$ ซึ่งเท่ากับ $\sqrt{(4-2)^2+(3-1)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ ครับ
......ส่วนแนวคิดอื่นมีไหมครับ......

[tngngoapm]

พิจารณาค่าต่ำสุดของ $x^2-4x+7-2\sqrt{2}$ อยู่ที่ค่า $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2}=2$
พิจารณาค่าต่ำสุดของ $x^2-8x+27-6\sqrt{2}$ อยู่ที่ค่า $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{2}=4$
$\therefore $ ค่าต่ำสุดของ $\sqrt{x^2-4x+7-2\sqrt{2}}+\sqrt{x^2-8x+27-6\sqrt{2}}$ จึงอยู่ที่ค่า $2<x<4$
............ให้ $y=\sqrt{x^2-4x+7-2\sqrt{2}}+\sqrt{x^2-8x+27-6\sqrt{2}}$
............ $y'=0$
$\frac{1}{2}\frac{(2x-4)}{(\sqrt{x^2-4x+7-2\sqrt{2}})}+\frac{1}{2}\frac{(2x-8)}{(\sqrt{x^2-8x+27-6\sqrt{2}})}=0$
$\frac{(x-2)}{(\sqrt{x^2-4x+7-2\sqrt{2}})}=-\frac{(x-4)}{(\sqrt{x^2-8x+27-6\sqrt{2}})}$
$\frac{(x-2)^2}{(x^2-4x+7-2\sqrt{2})}=\frac{(x-4)^2}{(x^2-8x+27-6\sqrt{2})}$
$(x^2-4x+4)((x^2-8x+27-6\sqrt{2})=(x^2-8x+16)(x^2-4x+7-2\sqrt{2})$
$(x^2-4x)(x^2-8x)+(27-6\sqrt{2})(x^2-4x)+4(x^2-8x)+4(27-6\sqrt{2})=(x^2-4x)(x^2-8x)+16(x^2-4x)+(7-2\sqrt{2})(x^2-8x)+16(7-2\sqrt{2})$
$(11-6\sqrt{2})(x^2-4x)=(3-2\sqrt{2})(x^2-8x)+4-8\sqrt{2}$
$11x^2-44x-6\sqrt{2}x^2 +24\sqrt{2}x=3x^2-24x-2\sqrt{2}x^2+16\sqrt{2}x+4-8\sqrt{2}$
$8x^2-4\sqrt{2}x^2-20x+8\sqrt{2}x-4+8\sqrt{2}=0$
$2x^2-\sqrt{2}x^2-5x+2\sqrt{2}x-1+2\sqrt{2}=0$
$(2-\sqrt{2})x^2+(2\sqrt{2}-5)x+(2\sqrt{2}-1)=0$
แก้สมการได้..............$x=2-\sqrt{2},\sqrt{2}+1$
แต่ค่า $2<x<4$..........$\therefore x=\sqrt{2}+1$
แทนค่า $x=\sqrt{2}+1$ ลงใน $\sqrt{x^2-4x+7-2\sqrt{2}}+\sqrt{x^2-8x+27-6\sqrt{2}}$
$=\sqrt{(\sqrt{2}+1)^2-4(\sqrt{2}+1)+7-2\sqrt{2}}+\sqrt{(\sqrt{2}+1)^2-8(\sqrt{2}+1)+27-6\sqrt{2}}$
$=\sqrt{3+2\sqrt{2}-4\sqrt{2}-4+7-2\sqrt{2}}+\sqrt{3+2\sqrt{2}-8\sqrt{2}-8+27-6\sqrt{2}}$
$=\sqrt{6-4\sqrt{2}}+\sqrt{22-12\sqrt{2}}$
$=\sqrt{4}-\sqrt{2}+\sqrt{18}-\sqrt{4}$
$=2\sqrt{2}$