ข้อสอบเตรียมอุดมศึกษา ปี 2556

[Hero13]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ เทพเวียนเกิด

ตอบ $\frac{1}{2}$ ครับ

ผมได้ $-\frac{1}{2}$อะครับ เเต่ผมว่าเพื่อนผมน่าจะจดมาผิด ผมว่าน่าจะเป็น $P(n+1)=(-1)^{n+1}n+3P(n)$ มากกว่า

[เทพเวียนเกิด]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Hero13

ผมได้ $-\frac{1}{2}$อะครับ เเต่ผมว่าเพื่อนผมน่าจะจดมาผิด ผมว่าน่าจะเป็น $P(n+1)=(-1)^{n+1}n+3P(n)$ มากกว่า

ครับ ถึงเปลี่ยนโจท ก็ยังไม่ยากเกินไปครับ

[pogpagasd]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Hero13

ผมได้ $-\frac{1}{2}$อะครับ เเต่ผมว่าเพื่อนผมน่าจะจดมาผิด ผมว่าน่าจะเป็น $P(n+1)=(-1)^{n+1}n+3P(n)$ มากกว่า

ขอวิธีคิดหน่อยได้ปะคับ งงมาก

[Hero13]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ pogpagasd

ขอวิธีคิดหน่อยได้ปะคับ งงมาก

เเทนค่า1-99 เเล้วเอามาบวกกันหมด จะได้อนุกรมเลขคณิตครับผม

[artty60]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Hero13

วงกลมAเเละวงกลมBตัดกันที่ P,R PAR=90องศา พื้นที่ซ้อนทับของ วงกลมAกับB=112 จงหาความยาวAB

โจทย์ข้อนี้ไม่น่าจะครบถ้วน ให้มาเท่านี้ ค่าของABซึ่งคิดว่าเป็นจุดศก.ของวงกลมทั้งสองมีได้หลายค่า
แต่ถ้าวงกลมA,Bรัศมีเท่ากัน ระยะAB=14/3

[Pheng]

ข้อแรก สมมุติให้ส่วนสูงของพีรมิต=h รัศมีทรงกระบอก=r
จะได้ปริมาตรพีรมิต= 1/3xhx2rx2r
จะได้ปริมาตรทรงกระบอก= rxrx3h
ดังนั้นปริมาตรพีรมิตต่อปริมาตรทรงกระบอก= 4ต่อ9

[Euler-Fermat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pheng

ข้อแรก สมมุติให้ส่วนสูงของพีรมิต=h รัศมีทรงกระบอก=r
จะได้ปริมาตรพีรมิต= 1/3xhx2rx2r
จะได้ปริมาตรทรงกระบอก= rxrx3h
ดังนั้นปริมาตรพีรมิตต่อปริมาตรทรงกระบอก= 4ต่อ9

ค่า $\pi$ หายไปไหนหรอครับ ในปริมาตรทรงกระบอก

[เทพเวียนเกิด]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pheng

ข้อแรก สมมุติให้ส่วนสูงของพีรมิต=h รัศมีทรงกระบอก=r
จะได้ปริมาตรพีรมิต= 1/3xhx2rx2r
จะได้ปริมาตรทรงกระบอก= rxrx3h
ดังนั้นปริมาตรพีรมิตต่อปริมาตรทรงกระบอก= 4ต่อ9

ตกม้าตายตอนจบ ลืมค่าพาย

[artty60]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Hero13

เพิ่มเติมนะครับ
$P(n+1)=(-1)^{n+1}+3P(n)$ โดย $P(1)=P(100)$ จงหาค่าของ $P(1)+P(2)+...P(99)$

$P_2=1+3P_1$

$P_3=-1+3+3^2P_1$

$P_4=1-3+3^2+3^3P_1$

$P_5=-1+3-3^2+3^3+3^4P_1$
.
.
.
$P_{99}=-1+3-3^2+3^3-...+3^{97}+3^{98}P_1$

$P_{100}=1-3+3^2-3^3+3^4-...+3^{98}+3^{99}P_1$

โจทย์ให้หา $\sum_{n = 1}^{99}P_{(n)}$

$\sum_{n = 1}^{99}P_{(n)}=\sum_{n = 1}^{100}P_{(n)}-P_{100}$

$\sum_{n = 1}^{100}P_{(n)}=1+3^2+3^4+...+3^{98}+P_1+3P_1+3^2P_1+...3^{99}P_1$

$\sum_{n = 1}^{99}P_{(n)}=3+3^3+3^5+...+3^{9+7}+P_1+3P_1+3^2P_1+...+3^{98}P_1$

$P_1=P_{100}=\sum_{n = 1}^{100}P_{(n)}-\sum_{n = 1}^{99}P_{(n)}$

$\quad\quad\quad P_1=3^{99}P_1+2(3^{97}+3^{95}+...+3^3+3)+1$

$\Longrightarrow (3^{99}-1)P_1=-[1+2(3^{97}+3^{95}+...+3^3+3)]$

$\Longrightarrow P_1=\frac{-[1+2(3^{97}+3^{95}+...+3^3+3)]}{(3^{99}-1)}$

ดังนั้น $\sum_{n = 1}^{99}P_{(n)}=(3+3^3+3^5+...+3^{95}+3^{97})-\frac{(1+3+3^2+3^3+...3^{98})(1+2(3^{97}+3^{95}+...+3^3+3)}{2(3^{98}+3^{97}+...+3^2+3+1)}=-\frac{1}{2}$

หรือให้กระชับขึันดังข้างล่าง

$P_2=1+3P_1$

$P_3=-1+3P_2$

$P_4=1+3P_3$
.
.
.
$P_{99}=-1+3P_{98}$

$P_{100}=1+3P_{99}$

$P_1+P_2+...+P_{99}=P_2+...+P_{99}+P_{100}$ เพราะ $P_1=P_{100}$

เนื่องจาก $P_2+...+P_{100}=1+3(P_1+P_2+...+P_{99})$

$\therefore P_1+P_2+...+P_{99}=-\frac{1}{2}$

[เทพเวียนเกิด]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

$P_2=1+3P_1$

$P_3=-1+3+3^2P_1$

$P_4=1-3+3^2+3^3P_1$

$P_5=-1+3-3^2+3^3+3^4P_1$
.
.
.
$P_{99}=-1+3-3^2+3^3-...+3^{97}+3^{98}P_1$

$P_{100}1-3+3^2-3^3+3^4-...+3^{98}+3^{99}P_1$

โจทย์ให้หา $\sum_{n = 1}^{99}P_{(n)}$

$\sum_{n = 1}^{99}P_{(n)}=\sum_{n = 1}^{100}P_{(n)}-P_{100}$

$\sum_{n = 1}^{100}P_{(n)}=1+3^2+3^4+...+3^{98}+P_1+3P_1+3^2P_1+...3^{99}P_1$

$\sum_{n = 1}^{99}P_{(n)}=3+3^3+3^5+...+3^{9+7}+P_1+3P_1+3^2P_1+...+3^{98}P_1$

$P_1=P_{100}=\sum_{n = 1}^{100}P_{(n)}-\sum_{n = 1}^{99}P_{(n)}$

$\quad\quad\quad P_1=3^{99}P_1+2(3^{97}+3^{95}+...+3^3+3)+1$

$\Longrightarrow (3^{99}-1)P_1=-[1+2(3^{97}+3^{95}+...+3^3+3)]$

$\Longrightarrow P_1=\frac{-[1+2(3^{97}+3^{95}+...+3^3+3)]}{(3^{99}-1)}$

ดังนั้น $\sum_{n = 1}^{99}P_{(n)}=(3+3^3+3^5+...+3^{95}+3^{97})-\frac{(1+3+3^2+3^3+...3^{98})(1+2(3^{97}+3^{95}+...+3^3+3)}{2(3^{98}+3^{97}+...+3^2+3+1)}=-\frac{1}{2}$

ขอบคุณครับ สงสัยผมลืมดูเครื่องหมาย ตกม้าตายอีกรอบ

[booksk]

อยากได้เฉลยข้อสมการ25x^3+ax^2+bx^2-12=0..ประมาณนี้อะครับ

[booksk]

ขอเฉลย25x^3+ax^2+bx-12=0...ครับ

[Sirius]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Hero13

อีกข้อ $z^x= y^{2x}$ , $4^x=2(2^z)$ เเละ $x+y+z=16$ จอหาค่าของ x-y+z

จาก $z^x=y^{2x}$ จะได้ $z=y^2$
จาก $4^x=2(2^z)$ จะได้ $2x=z+1$
ดังนั้น $16=x+y+z=y^2+y+\frac{y^2+1}{2}$
$\frac{3}{2}y^2+y-\frac{31}{2}=0$
$y = \frac{1}{3}(-1\pm \sqrt{94})$
ดังนั้น $x-y+z=(x+y+z)-2y=\frac{50\pm 2\sqrt{94}}{3}$

[Plainwalker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ เทพเวียนเกิด

\hat a
ผมไม่แน่ใจว่า 4.5 หรือเปล่า

ได้ความยาวเส้นรอบรูป EDC = 18 หน่วยครับ

[Plainwalker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ booksk

ขอเฉลย25x^3+ax^2+bx-12=0...ครับ

จาก $-1,-cos\theta$ และ $sin\theta $ เป็นคำตอบของสมการจะได้ว่า
$(x+1)(x+cos\theta )(x-sin\theta )=0$
$x^3+(cos\theta -sin\theta +1)x^2+(cos\theta -sin\theta -sin\theta cos\theta )x-sin\theta cos\theta =0$
จาก $25x^3+ax^2+bx-12=0$ จะได้ $x^3+\frac{a}{25} x^2+\frac{b}{25} x-\frac{12}{25} =0$
เทียบ ส.ป.ส. ;
$cos\theta -sin\theta +1=\frac{a}{25}$
$cos\theta -sin\theta -sin\theta cos\theta =\frac{b}{25}$
$sin\theta cos\theta =\frac{12}{25}$
ดังนั้น $cos\theta -sin\theta=\frac{a-25}{25} =\frac{b+12}{25} $
ยกกำลัง2 ;
$cos^2\theta +sin^2\theta -2sin\theta cos\theta =(\frac{a-25}{25})^2=(\frac{b+12}{25})^2$
$\therefore \frac{1}{25} =(\frac{a-25}{25})^2=(\frac{b+12}{25})^2$
แก้สมการได้ $(a,b)=(30,-7) และ (20,-17)$
แต่ $ \theta < 45^๐$ ; $cos\theta >sin\theta $ นั่นคือ $cos\theta -sin\theta >0$
ดังนั้น $(a,b)=(30,-7)$ เท่านั้น
$\therefore \frac{a}{b} (sin\theta cos\theta)=(\frac{-30}{7})(\frac{12}{25}) =\frac{-72}{35}$