ช่วยทีครับ โจทย์ยาก

[mark123 ^.^]

1. กำหนดให้ $(a_{n})$ เป็นลำดับเลขคณิตซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไข $\frac{1}{a_{n}}+\frac{1}{a_{n+1}} = 1$ สำหรับทุกจำนวนนับ n ถ้า $a_1+a_2+...+a_{100} = 250$ แล้ว $\left|\,a_{2552}-2.5\right| $ มีค่าเท่ากับเท่าใด
2. What is the smallest positive integer m such that the following equation holds for some polynomials $u(x)$ and $v(x)$ with integer coefficients?

$(x+2)(x+5)(x+7)u(x) - (x-2)(x-5)(x-7)v(x) = m$

3. ให้ b และ c เป็นจำนวนจริงคงที่สองจำนวน
นิยาม ลำดับ $a_n$ โดยที่ $a_1 = 1$ และสำหรับจำนวนเต็มบวก n ใดๆ

$a_{n+1} = a_n +cb^n$

ถ้าลำดับ $a_n$ มีลิมิตเท่ากับ 2 และ $a_3 = \frac{3}{2}$ แล้ว $\left|\,c-2b\right| $ มีค่าเท่าใด
4. กำหนด $f(x) = (x-1)^{2000}(x-2)^{3000}$ และ $f^{n}(a)$ แทนอนุพันธ์ลำดับที่ n ของ f ที่ x = a ค่าของ $f^{2000}(1) + f^{3000}(2) + f^{5000}(3)$

[poper]

$a_n=\frac{5+(2n-101)\sqrt5}{2}$ ครับ
คำตอบคือ $\frac{5003\sqrt5}{2}$
แก้จากอนุุกรมนะครับ จะได้ว่า $a_{50}+a_{51}=5$ จัดสมการ $\frac{1}{a_{50}}+\frac{1}{a_{51}}=1$ แล้วแก้สมการจะได้ว่า
$a_{50}=\frac{5-\sqrt5}{2} , a_{51}=\frac{5+\sqrt5}{2}$

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

$a_n=\frac{5+(2n-101)\sqrt5}{2}$ ครับ

มันจะใช้ได้จริงๆหรือครับ

[mark123 ^.^]

ขออภัยครับ ถ้าเกิดแก้โจทย์เป็นลำดับใดๆ อะครับ

[กขฃคฅฆง]

2. $(x+2)(x+5)(x+7)(x^2-14x+54)-(x-2)(x-5)(x-7)(x^2-42x+54) = 7560$

ไม่แน่ใจว่าน้อยสุดรึป่าว

[Thgx0312555]

ใบ้ๆๆๆครับ คงจะไม่เฉลย )

1.

hint

$a_n = a_{n+2}$

2. เปลี่ยนเป็นหา $m$ ที่น้อยที่สุด ที่มี $u(x)$ ซึ่งทำให้ $(x-2)(x-5)(x-7) \mid (x+2)(x+5)(x+7)u(x)-m$
นั่นคือ $(2+2)(2+5)(2+7)u(2)=m$ จะได้แบบนี้อีกสองสมการ จะได้ค่า $m$ ที่น้อยสุดด้วย
(ถ้าจะพิสูจน์ว่าน้อยสุด ลองตั้ง $u(x)=x^3+ax^2+bx+c$ แล้วแก้หาดู หรือจะใช้ lagrange interpolation formula ก็ได้ ถ้ารู้จัก)

3. ไม่มีใบ้ครับ
4. ให้ $y=x-1$ เปลี่ยนไปใช้ $dy$ แทน ดูแค่พจน์สุดท้าย

[Krittam]

$ f อนุพันธที่ 2000 ดูเเค่พจนืเเรกพอคือ 2000 ! f อนุพันธ์ที่ 3000 คือ 3000! ส่วน f อนุพันที่ 5000 คือ \binom{5000}{2000} 2000!3000! $

[Thgx0312555]

วิธีดูพจน์แรกสุด สามารถใช้กับอนุพันธ์ลำดับที่ $5000$ ได้อย่างเดียวครับ

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

มันจะใช้ได้จริงๆหรือครับ

เหมือนจะใช้ไม่ได้แฮะ เช็ค พจน์ที่ 1 กับพจน์ที่ 2 แล้วไม่สอดคล้องกับ $\frac{1}{a_n}+\frac{1}{a_{n+1}}=1$

[mark123 ^.^]

ครับ ข้อ 1 จากhint ของคุณ Thgx0312555 นะครับ จะได้ว่า $a_{n} = a_{n+2}$
ดังนั้นจะได้ว่า $a_1 + a_2 = 5$ และ $a_1a_2 = 5$ แก้สมการจะได้ $a_2 = \frac{5 \pm \sqrt5}{2}$
ดังนั้น
\begin{array}{rcl}
\left|\,a_{2552} - 2.5\right| &=& \left|\,a_2 -2.5\right| \\
&=& \left|\,\pm \frac{\sqrt5}{2}\right|\\
&=&\frac{\sqrt5}{2}
\end{array}

4. Ans $2000! + 3000! + 5000!$

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ mark123 ^.^

3. ให้ b และ c เป็นจำนวนจริงคงที่สองจำนวน
นิยาม ลำดับ $a_n$ โดยที่ $a_1 = 1$ และสำหรับจำนวนเต็มบวก n ใดๆ

$a_{n+1} = a_n +cb^n$

ถ้าลำดับ $a_n$ มีลิมิตเท่ากับ 2 และ $a_3 = \frac{3}{2}$ แล้ว $\left|\,c-2b\right| $ มีค่าเท่าใด

ช่วยตรวจให้หน่อยครับ

$\dfrac {3}{2}= a_3=a_2+cb^2 = 1+cb+cb^2 ---------1)$

และจาก$\displaystyle a_{n+1} = a_n +cb^n$ ได้

$a_{n+1} = a_1+(cb+cb^2+...+cb^n) = 1+bc(\dfrac{b^n-1}{b-1})$

assume ว่า $|b|<1$ ไม่งั้น $\lim_{n \to \infty} a_{n+1}= \infty $

$\lim_{n \to \infty} a_{n+1} =1-\dfrac{bc}{b-1} =2 --------2)$

แก้สองสมการ