ข้อสอบสมาคมคณิตศาสตร์ ม.ต้น 2550

[sornchai]

ผมนั่งแก้สมการได้เหมือนที่คุณ nougtum บอกมา คือทำได้ถึง
พ.ท.สามเหลี่ยม BCO = $\frac{1}{2}\times X\times(\frac{X\sqrt{2} }{2})$
พ.ท.สามเหลี่ยม ABO = $\frac{1}{2}\times\frac{4X^2-1}{4}\times1$
ฉะนั้นจะได้ $\frac{1}{2}\times X\times(\frac{X\sqrt{2}}{2})=\frac{1}{2}\times\frac{4X^2-1}{4}\times1$
$\frac{X^2\sqrt{2}} {4}=\frac{4X^2-1}{8}$
$8X^2\sqrt{2}=16X^2-4$
$2X^2\sqrt{2}=4X^2-1$
$2X^2\sqrt{2}-4X^2+1=0$
ผมสงสัยตรงนี้ครับที่คุณ nongtumจัดรูปสมการใหม่ได้ $2X^2-4X^2+1=0$ทำแบบไหนครับ

[nongtum]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ sornchai

ผมนั่งแก้สมการได้เหมือนที่คุณ nougtum บอกมา คือทำได้ถึง
พ.ท.สามเหลี่ยม BCO = $\frac{1}{2}\times X\times(\frac{X\sqrt{2} }{2})$
พ.ท.สามเหลี่ยม ABO = $\frac{1}{2}\times\color{red}{\frac{4X^2-1}{4}}\times1$
ฉะนั้นจะได้ $\frac{1}{2}\times X\times(\frac{X\sqrt{2}}{2})=\frac{1}{2}\times\color{red}{\frac{4X^2-1}{4}}\times1$
$\frac{X^2\sqrt{2}} {4}=\frac{4X^2-1}{8}$
$8X^2\sqrt{2}=16X^2-4$
$2X^2\sqrt{2}=4X^2-1$
$2X^2\sqrt{2}-4X^2+1=0$
ผมสงสัยตรงนี้ครับที่คุณ nongtum จัดรูปสมการใหม่ได้ $2X^2-4X^2+1=0$ ทำแบบไหนครับ

คุณ sornchai ทำผิดตรงที่ผมทำฟอนต์สีแดงครัีบ ที่จัดรูปต่อมาเลยผิดเรียบ
อย่าลืมว่าในสมการ แทนแค่ OD ไม่ใช่ $OD^2$ อย่างที่ทำมานะครับ
ดังนั้น ลองใส่เครื่องหมายรากครอบ $\frac{4X^2-1}{4}$ เข้าไปแล้วยกกำลังสองเพื่อจัดรูปอีกทีครับ

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ sornchai

ส่วนวิธีของคุณ Puriwatt ผมก็ยัง งงๆอยู่ครับช่วยอธิบายละเอียดอีกหน่อยนะครับ

ผมได้วาดแนวคิดอีกแบบมาให้ดู และจัดรูปแบบตัวเลขให้ดูง่ายขึ้น ตามรูปข้างล่าง

แนวคิด !!

เมื่อต่อด้านของรูปแปดเหลี่ยม 2 คู่ แล้วจะได้รูปสี่เหลี่ยมจตุรัส 1 รูป
และมีพื้นที่ที่เกินมาเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก อีก 4 รูป (มุมภายใน 90, 45, 45 องศา)

หวังว่าคงพอที่จะเข้าใจนะครับ

[sornchai]

ผมจัดรูปสมการได้แล้วครับ ผมไม่น่าสะเพร่าเลย ทีนี้มีป้ญหาตรงที่เราจะหา $x^2$ ได้อย่างไรผมแยกเป็นสองวงเล็บก็หาไม่ได้
$2x^4-4x^2+1=0$
$(2x^2-1)(x^2-1)=0 $ (แบบนี้ผิดเพราะพจน์กลางได้แค่ $-3x^2$)

สำหรับวิธีของคุณ Puriwatt ผมก็กำลังทำความเข้าใจอยู่ครับขอบคุณมากสำหรับความรู้ที่ถ่ายทอดให้ แต่อาจจะช้าหน่อยนะครับเพราะพื้นฐานผมมันไม่ค่อยแน่นผมจะค่อยๆทำความเข้าใจ หวังว่าคุณทั้ง 2 คนคงไม่เบื่อก่อนนะครับ

วิธีของคุณ Puriwatt ผมเข้าใจแล้วครับสุดยอดเลยขอบคุณครับ
ถ้าไม่หัดตั้งไข่แล้วเมื่อไหร่เราจะเดินเป็น ใช่เปล่าครับ

[nongtum]

#49 หากถามดีๆ ก็มีคนยินดีตอบให้อยู่แล้วครับ
ว่าแต่คุณ sornchai ลองประยุกต์ใช้สูตร $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ หรือยังครับ

[sornchai]

ผมขอรับรองว่าทุกคำถามที่ถามเข้ามา เพราะความไม่รู้จริงๆไม่ได้มีเจตนาอย่างอื่น ถ้ามีอะไรผิดพลาดด็ช่วยแนะนำตักเตือนมาได้ครับ ผมยินดีรับฟังและปฎิบัติตาม ผมขอชมว่าเวปนี้ดีมากๆทำให้คนมีความรู้และรักคณิตศาตร์มากขึ้น ส่วนตัวผมชอบวิชานี้มากๆ แต่พื้นฐานไม่ค่อยแน่นบางคำถามจึงดูเหมือนง่ายๆ ซึ่งผมก็คิดว่ายังมีอีกหลายๆคนที่เหมือนผมแต่ไม่ได้ถามเข้ามา ขอให้เวปนี้อยู่ไปนานๆครับ
ผมลืมไปว่ายังมีวิธีหาค่า x โดยใช้สูตรผมจะลองทำดูนะครับ
$x=\frac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^2-4(2)(1)} }{2(2)}$
=$\frac{4\pm \sqrt{16-8} }{4}$
=$\frac{4\pm 2\sqrt{2} }{4}$
=$\frac{2\pm \sqrt{2} }{2}$
ทำผิดตรงไหนครับคำตอบจึงไม่ถูก
หรือเป็นเพราะว่า รูปทั่วไปของสมการกำลังสองคือ $ax^2+bx+c แต่ในโจทย์เป็น 2x^4-4x^2+1$แล้วจะทำยังไง

[nongtum]

#51
หากมองไม่ออกว่าจะใช้อย่างไร ลองแทน $y=x^2$ ดูจะพบว่า $$2x^4-4x^2+1=2(x^2)^2-4(x^2)+1=2y^2-4y+1=0$$ ทีนี้ก็ใช้สูตรได้แล้วครับ อย่าลืมแทนกลับด้วยล่ะ

[sornchai]

ทำไมผมทำได้ $\frac{2\pm \sqrt{2} }{2} แต่คำตอบที่ถูกคือ 2+2\sqrt{2} $

[nongtum]

#53
เพราะมันยังไม่เสร็จน่ะสิครับ ตอนแรก เลือกค่า x ให้ถูก แล้วอ่าน #45 อีกรอบ
อย่างที่ผมเคยบอก ข้อนี้ไมยาก แต่ผมเลือกวิธียากและอ้อมไปหน่อยเท่านั้นเอง

[sornchai]

ยังไม่เข้าใจจริงๆครับ ติดตรง $\frac{2\pm \sqrt{2} }{2} $

[nongtum]

#55
เราได้ $x^2$ มาสองค่า แต่จะมีหนึ่งค่าี่ใช้ไม่ได้ คือค่าที่เป็น... เพราะ...
จากนั้น ก็ทำตามคำแนะนำใน #45 เลยครับ อย่าลืมว่าพื้นที่สามเหลี่ยมหนึ่งรูปไ่ม่ได้เท่ากับ $x^2$ แต่เท่ากับ ...

[sornchai]

ถึงตรงที่ $2y^2-4y+1=0$
แล้วนำมาหาโดยวิธีใช้สูตร ได้ $x^2=\frac{2\pm \sqrt{2} }{2} $
ต่อไปผมทำไม่เป็นช่วยเฉลยได้เปล่าครับ หาค่า x ไม่เป็น

[nongtum]

#57
จากด้านบนเราใช้แต่ค่า $x^2=\frac{2+ \sqrt{2} }{2}$ การตรวจสอบว่าค่าลบใช้ไม่ได้ใช้ตรีโกณม.ปลายซึ่งผมจะไม่พูดถึงที่นี่
พื้นที่สามเหลี่ยมย่อยหนึ่งรูปเป็น $\frac{X^2\sqrt{2}} {4}$ มีแปดรูปก็ $8\times\frac{X^2\sqrt{2}} {4}=2+2\sqrt2$

[sornchai]

ยูเรคา ยูเรคา.... เข้าใจแล้วครับใช้เวลานานมากกว่าจะเข้าใจ ขอบคุณมากๆนะครับคุณ nongtum

[sornchai]

ช่วยอธิบายข้อ 6.ตามที่คุณ Puriwatt เฉลยมา ผมมาติดอยู่ตรง $\sqrt{3}\times a^2=\frac{8\sqrt{3} }{4+2\sqrt{3} } $ ช่วยอธิบายหน่อยครับ