จำนวนเต็ม 3 ตัวที่ผลบวกและผลต่างเป็นจำนวนเต็มกำลังสอง

[Switchgear]

ข้อ 1:
จงหาจำนวนเต็ม 3 ตัวที่มีค่าแตกต่างกัน (x, y และ z) ซึ่งผลบวกและผลต่างแต่ละคู่ต่อไปนี้
$x+y, x+z, y+z, x-y, x-z, y-z$
สามารถเขียนอยู่ในรูปของจำนวนเต็มยกกำลังสองได้

Note: ถ้าง่ายไปสำหรับสมาชิกใน MathCenter ก็ต้องขออภัยด้วย :-)

[nooonuii]

อย่างน้อยก็ยากสำหรับผมแล้วล่ะครับ ผมว่าที่นี่โจทย์ค่อนข้างจะยากเกินไปด้วยซ้ำเลยทำให้คนที่อยากเล่นมีน้อยมากๆ จริงๆอยากให้มีคนมาเล่นกันเยอะๆ จะได้ช่วยกันแบ่งปันความรู้ที่แต่ละคนมีี ถึงจะมีมากมีน้อยต่างกันแต่ก็ได้ประโยชน์ร่วมกันครับ

[warut]

จริงๆแล้ว ที่นี่ก็ไม่ได้มีข้อแม้ว่าต้องเป็นโจทย์ยากๆเท่านั้น ถึงจะโพสต์ได้นะครับ เพราะฉะนั้นโพสต์ได้ตามสบาย ไม่ต้องเกรงใจครับ

ผมก็ยังทำข้อนี้ไม่ได้เลย แต่ผลจาก computer search เจอนี่ครับ

$x=2843458, y=2040642, z=1761858$

[Switchgear]

คำตอบของคุณ warut เช็คแล้วถูกต้องครับ สำหรับโจทย์ข้อนี้มีคำตอบได้เยอะแยะ

คำตอบหนึ่งที่ตัวเลขน้อยกว่าของคุณ warut คือ
x = 434657, y = 420968 และ z = 150568

คำตอบชุดที่ผมให้ไว้ มาจากการคำนวณปกติ (ไม่ใช่ computer search)

[gon]

เห็นแค่คำตอบ ผมแล้วก็หนาวแล้วครับ... .. .

[kanakon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Switchgear

คำตอบของคุณ warut เช็คแล้วถูกต้องครับ สำหรับโจทย์ข้อนี้มีคำตอบได้เยอะแยะ

คำตอบหนึ่งที่ตัวเลขน้อยกว่าของคุณ warut คือ
x = 434657, y = 420968 และ z = 150568

คำตอบชุดที่ผมให้ไว้ มาจากการคำนวณปกติ (ไม่ใช่ computer search)

คุณ Switchgear

รบกวนแนะวิธีคิดด้วยครับ (ยังเริ่มไม่ได้เลย)

[Switchgear]

ตามที่คุณ Kanakon ขอให้แนะวิธีคิด ผมก็แนะไม่ค่อยถูกเพราะมันยาวพอดู

ผมมีอยู่ 2 Solutions
แบบแรกจะให้คำตอบตามตัวเลขที่ผมบอกไว้ในความเห็นที่ 4
แบบที่สองจะให้คำตอบเป็น General Solution แทนค่าเพื่อหาคำตอบได้อีกมากมายหลายชุด

แบบแรก: เริ่มด้วยการสมมติ x-y = p^2, x-z = q^2, y-z = r^2 จากนั้นต้องไล่ต่ออีกพอสมควร

แบบที่สอง: เริ่มด้วยการสมมติ x = p^2+q^2, y = 2pq และ x = r^2+s^2, z = 2rs
ทำให้ได้ p^2+q^2 = r^2+s^2 จากนั้นต้องไล่ต่ออีกยาวเหมือนกัน :-)

[Switchgear]

ผมให้ข้อที่ตั้งเป็นกระทู้เป็นข้อ 1 นะครับ แวะมาเพิ่มโจทย์ให้อีก :-)

ข้อ 2:
จงหาจำนวนเต็ม 3 ตัวที่มีค่าแตกต่างกัน (x, y และ z) ซึ่ง $x^2+y^2, x^2+z^2$ และ $y^2+z^2$
สามารถเขียนอยู่ในรูปของจำนวนเต็มยกกำลังสองได้

ข้อ 3:
จงหาจำนวนเต็ม 3 ตัวที่มีค่าแตกต่างกัน (x, y และ z) ซึ่ง $x+y+z = u^2$ และ $x^2+y^2+z^2 = v^4$
โดย u และ v เป็นจำนวนเต็มด้วย

[warut]

ข้อ 3. นี่ search ได้ง่ายกว่า ข้อ 1. เยอะเลยครับ ตัวเลขก็เล็กกว่ามาก ดังนั้นเอา primitive solutions (i.e., $\gcd(x,y,z)$ เป็น square-free) ที่ $x<y<z$ ไป 30 อันเลย (เรียงตามขนาดของ $v$)

$x,y,z$

8, 49, 64
4, 60, 105
52, 145, 164
460, 625, 764
576, 1096, 1137
612, 961, 1236
249, 1080, 1480
510, 1158, 1581
36, 1041, 1948
465, 1276, 1980
1321, 1552, 1616
1324, 1540, 1625
361, 1548, 2316
1797, 1914, 1914
1806, 1878, 1941
480, 2169, 2680
492, 2121, 2716
105, 2304, 2920
132, 2196, 3001
804, 2380, 2745
841, 2232, 2856
69, 2382, 3174
114, 2229, 3282
469, 2170, 3290
536, 2017, 3376
160, 2136, 3945
948, 3169, 3804
25, 3396, 4860
864, 3337, 4824
204, 4369, 4452

ป.ล. วิธี search ของผมจะทำให้ missed บางคำตอบไปนะครับ

[kanakon]

แล้วอย่างงี้เราจะมีคำตอบในรูปทั่วไปหรือเปล่าครับ

แล้วหากไม่มีจะตอบยังไงให้สมบูรณ์ที่สุด

[Switchgear]

ผมเองก็อยากเขียนโปรแกรม Search เหมือนกัน แต่ทิ้งการเขียนโปรแกรมไปนานแล้ว
จะฟื้นอีกทีก็หาเวลายากเต็มที (ขี้เกียจ...)

ความเห็นคุณ warut ถูกต้องครับ ที่บอกว่าข้อ 3 ให้คำตอบค่าเล็กกว่าข้อ 1 :-)

[Switchgear]

วิธีทำแบบที่สอง:

เริ่มด้วยการสมมติ $x = p^2+q^2, y = 2pq$ และ $x = r^2+s^2, z = 2rs$
ทำให้ได้ $p^2+q^2 = r^2+s^2$ จากนั้นต้องไล่ต่ออีกยาว ...

นี่คือผลการคำนวณที่ออกมาในรูปของสูตรทั่วไป (แต่ไม่ยืนยันว่าครบทุกชุดจำนวน)

เลือกแทนค่าจำนวนเต็ม $f$ และ $g$ ตามแต่ใจต้องการ เพื่อหา $a, b, c, d$ ต่อไปนี้
$a = d = -4f^2g^2, b = f^4-2f^2g^2+9g^4, c = f^4+2f^2g^2+9g^4$

จากนั้นก็แทน $a, b, c, d$ เพื่อหา $p, q, r, s$ ดังนี้
$p = ac+bd, q = ad-bc, r = ad+bc, s = ac-bd$

ถึงตอนนี้เราก็แทนค่าหา $x, y, z$ ที่ต้องการได้แล้ว ... ลองดูนะครับ

ผมก็ยังสงสัยอยู่ว่า สูตรสำเร็จที่ให้นี้จะครอบคลุมคำตอบของคุณ warut หรือเปล่า ?

[Switchgear]

ลืมบอกไปว่า...โจทย์ทั้งหมดที่ตั้งใจโพสต์ในกระทู้นี้ เป็นผลงานการแก้ Diophantine Problems โดยฝีมือ Euler

ข้อมูลที่ผมมีอยู่ในเอกสารชุดนี้ เป็นการรวมโจทย์พร้อมเฉลยทั้งหมด 17 ข้อ (ข้อ 16 แบ่งเป็น 7 ข้อย่อย)
หากมีเวลาผมจะทยอยโพสต์โจทย์และเฉลยให้เพื่อนผู้รักคณิตศาสตร์ได้อ่านกันนะครับ :-)

ส่วนกระทู้ "ปัญหา Diophantine ที่แก้ยากมาก 24 ข้อ" เป็นผลงาน Diophantist หลายคน (แต่ไม่รวม Euler)
ผมจึงแยกไปตั้งกระทู้ต่างหาก

[จตุราชา]

ยอมรับครับ นับถือผมยังคิดไม่ออก(อยู่ม.3) แล้วใช่เรื่องอะไรส่วนใหญ่ครับในการคิดข้อนี้(ผมเด็กใหม่)

[Switchgear]

สำหรับใครที่ชอบศึกษา Diophantine Problems ผมแนะนำให้ศึกษาพื้นฐานจากหนังสือแนว ทฤษฎีจำนวน ทั้งหลายก่อน

แต่หนังสือทฤษฎีจำนวนที่มีอยู่ทั่วไป ศึกษาแล้วก็ยังไม่มีทางแก้โจทย์ซับซ้อนอย่างในกระทู้นี้ได้ (เว้นแต่หัวดี และคิดต่อได้เอง)
ฉะนั้นขอแนะนำให้ใช้ Google ค้นหาและ Download หนังสือชื่อ Diophatine Analysis ของ Robert D. Carmichael
มาอ่านเพิ่มเติม ซึ่งเล่มนี้แหละที่จะช่วยให้แก้โจทย์ระดับยากขึ้นของ Diophantine Problems ได้

ที่สำคัญหนังสือ Diophatine Analysis ของ Robert D. Carmichael หมดลิขสิทธิ์ไปแล้ว จึง Download ได้เลย
ส่วนว่าจะค้นเจอหรือไม่ ผมทิ้งไว้ให้ลองฝึกเอง เพื่อให้เกิดทักษะในการค้นหาเล่มอื่นต่อไป (ไม่ฝึกก็ไม่เก่ง )
.