ถามเรื่องสมการ

[สายลม]

ถ้า $1+ {\sqrt{3}}$ เป็นคำตอบหนึ่งของสมการ $3{x^3} + m{x^2} + nx +12 =0 $ โดยที่ mและn เป็นจำนวนเต็ม จงหาค่า ${m^2}+ {n^2}$

[banker]

แทนค่า x ที่ทราบค่า

$3(1+\sqrt{3} )^3 +m(1+\sqrt{3} )^2 +n(1+\sqrt{3} )+12 =0$

$3(10+6\sqrt{3} ) +m(4+2\sqrt{3} ) +n(1+\sqrt{3} )+12=0$

$42+18\sqrt{3}+ m(4+2\sqrt{3} ) +n(1+\sqrt{3} )=0$

พิจารณา m กับ n ที่เป็นจำนวนเต็ม ที่ทำให้ได้ $m(4+2\sqrt{3} ) +n(1+\sqrt{3} ) = -42 -18\sqrt{3}$

พบว่า m = - 12 และ n = + 6จะได้

$m(4+2\sqrt{3} ) +n(1+\sqrt{3} )= - 42 - 18\sqrt{3}$

ดังนั้น
$m^2+n^2 = (-12)^2 + (6)^2 = 144+36 = 180$

[banker]

สิบครับ

$(1+\sqrt{3} )^3 = 10+6\sqrt{3} $

[lookket]

ขอโทษด้วยค่ะคุณลุง พอดีมึนๆค่ะ