รบกวนถามผู้รู้เกี่ยวกับ Abstract algebra หน่อยครับ

[HIGG BOZON]

ช่วยพิสูจน์ข้อนี้หน่อยครับ
Let G be a finite group with precisely two conjugacy classes. Prove that G has two elements.

hint : โจทย์ข้อนี้เป็นการบ้านของผมในบท Orbit-Stabiliser Theorem น่ะครับ การพิสูจน์น่าจะใช้ความรู้เกี่ยวกับ group action on set หรือ orbit หรือ Orbit-Stabiliser Theorem มาช่วยน่ะครับ

[Ai-Ko]

ใช้ class formula กับข้อเท็จจริง

• conjugacy class ของ 1 คือ $\{1\}$
• จํานวนสมาชิกของแต่ละ conjugacy class หาร $|G|$ ลงตัว

[kongp]

เขียนเป็นคำอธิบายภาษาชาวบ้านได้ไหมครับ ให้น้องๆ มือใหม่เข้าใจ เหมือนในนิตยสาร Mymaths น่ะครับผม

[ครูนะ]

|conjugacy classes| = |Orbit| = [G:Z(G)] = 2

จาก |Orbit| = 2 เห็นได้ชัดว่า e อยู่ใน Z(G) เพียงตัวเดียวเท่านั้น

เพราะมี e ตัวเดียวที่ |eX| = X ซึ่ง X = G

สมาชิกตัวอื่นที่ไม่ใช่ e พอ act กับ X แล้วไม่เต็ม X

ดังนั้น Z(G) = 1 เท่านั้น

เพราะฉะนั้น [G:Z(G)] = |G| = 2