Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > ข้อสอบโอลิมปิก
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 18 กรกฎาคม 2015, 17:49
จูกัดเหลียง's Avatar
จูกัดเหลียง จูกัดเหลียง ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กุมภาพันธ์ 2011
ข้อความ: 1,234
จูกัดเหลียง is on a distinguished road
Default FE mini marathon

Find all function $f$ such that $f:R\rightarrow R$ satisfying $$f(x+f(y))+2f(xy)=f(x+y)+xf(y)+yf(x)$$
__________________
Vouloir c'est pouvoir
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 18 กรกฎาคม 2015, 18:58
กขฃคฅฆง's Avatar
กขฃคฅฆง กขฃคฅฆง ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 เมษายน 2015
ข้อความ: 419
กขฃคฅฆง is on a distinguished road
Default

$f(x+f(y))+2f(xy)=f(x+y)+xf(y)+yf(x) ...(1)$

สลับตัวแปรได้

$f(x+f(y)) = f(y+f(x)) ...(2)$

ถ้า $f(0) \not= 0$ แทน $y=0$ ใน (1) และใช้ (2) ได้

$f(f(x))+2f(0) = f(x)+xf(0) ...(3)$

ให้ $f(x)=f(y)$ จะได้

$f(f(x))+2f(0) = f(f(y))+2f(0)$

$f(x)+xf(0) = f(y)+yf(0)$

$x=y$ ดังนั้น $f : 1-1$

จาก(2)ได้ $x+f(y) = y+f(x)$

แทน $y=0$ ได้ $f(x) = x+f(0)$ ตรวจสอบพบว่าไม่ใช่คำตอบ

ดังนั้น $f(0)=0$ จาก (3) ได้ $f(f(x))=f(x)$

แทน $y=f(y)$ ใน(1)

$f(x+f(y))+2f(xf(y)) = f(x+f(y))+xf(y)+f(x)f(y)$

$2f(xf(y)) = xf(y)+f(x)f(y)$

แทน $x=1$ ได้ $2f(f(y)) = f(y)+f(1)f(y)$

$f(y) = f(1)f(y)$

ถ้า $f(x)=0$ ทุก $x$ จะเห็นว่าเป็นคำตอบ

ถ้ามี $a \in \mathbb{R} $ ที่ $f(a)\not= 0$

แทน $y=a$ ได้ $f(1)=1$

แทน $y=1$ ใน (1)

$f(x+1)+2f(x) = f(x+1)+x+f(x)$

$f(x) = x$ ตรวจสอบพบว่าเป็นคำตอบ

ดังนั้น $f(x) = 0$ หรือ $f(x) = x$
__________________
เหนือฟ้ายังมีอวกาศ

18 กรกฎาคม 2015 19:55 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กขฃคฅฆง
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 19 กรกฎาคม 2015, 19:30
จูกัดเหลียง's Avatar
จูกัดเหลียง จูกัดเหลียง ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กุมภาพันธ์ 2011
ข้อความ: 1,234
จูกัดเหลียง is on a distinguished road
Default

ครับ ตั้งต่อเลยครับ
__________________
Vouloir c'est pouvoir
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


หัวข้อคล้ายคลึงกัน
หัวข้อ ผู้ตั้งหัวข้อ ห้อง คำตอบ ข้อความล่าสุด
แฟนพันธุ์แท้ คณิตศาสตร์ Marathon nooonuii ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป 318 01 ตุลาคม 2021 21:29
marathon:ม.ปลาย กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย 565 05 ธันวาคม 2011 19:04
Marathon Mastermander ฟรีสไตล์ 6 02 มีนาคม 2011 23:19
Marathon - มัธยมต้น คusักคณิm ปัญหาคณิตศาสตร์ ม. ต้น 254 08 สิงหาคม 2010 20:47
Marathon ##วิทย์คำนวณ## คusักคณิm ปัญหาคณิตศาสตร์ ประถมปลาย 24 13 พฤษภาคม 2010 21:19

เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 05:36


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha