Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > ข้อสอบโอลิมปิก
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 21 เมษายน 2015, 22:51
กขฃคฅฆง's Avatar
กขฃคฅฆง กขฃคฅฆง ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 เมษายน 2015
ข้อความ: 419
กขฃคฅฆง is on a distinguished road
Default [สอวน. สวนกุหลาบ 2558] ข้อสอบค่าย3 /2558

Algebra

http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=22392

1. กำหนดให้ $P(x),Q(x)$ เป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนและมีสัมประสิทธิ์นำเป็น $\pm 1$ ซึ่ง $deg(P(x))>deg(Q(x))$
จงหาจำนวนของคู่อันดับ $(P(x),Q(x))$ ที่ทำให้ ${(P(x))}^2 + {(Q(x))}^2 = x^8 + 1 \qquad$ (10 คะแนน)

2. กำหนดให้ $$\displaystyle{f(x) = \frac{x^5}{5} + \frac{x^4}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x}{30} - \left\lfloor\ \frac{x^5}{5} + \frac{x^4}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x}{30}\right\rfloor} $$
จงหาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $f(n)$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ $\qquad$ (15 คะแนน)

3. จงหาพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง $P(x)$ ทั้งหมดซึ่ง $$P(a-b) + P(b-c) + P(c-a) = 2P(a+b+c)$$ สำหรับทุกจำนวนจริง $a,b,c$ และ $ab+bc+ca=0 \qquad$ (25 คะแนน)

Geometry ช่วงเช้า

http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=22394

1. จงพิสูจน์ว่า จุดเจอโกน (Gergonne point) ของ $\triangle ABC$ เป็นจุดซิมมีเดียน (จุดเลอมวน) ของรูปสามเหลี่ยมเจอโกน (Gergonne triangle) $\qquad$ (10 คะแนน)

2. จงแสดงว่า เส้นตรงที่ลากผ่านจุดศูนย์กลางวงกลมแนบนอกและจุดกึ่งกลางด้านของ $\triangle ABC$ จะตัดกันที่จุดจุดหนึ่ง $\qquad$ (15 คะแนน)

Geometry ช่วงบ่าย

http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=22395

1. ให้ $\triangle DEF$ และ $G$ เป็นรูปสามเหลี่ยม Gergonne และจุด Gergonne ของ $\triangle ABC$ โดยที่ $D,E$ และ $F$ อยู่ตรงข้ามจุด $A,B$ และ $C$ ตามลำดับ
ลากส่วนของเส้นตรง $PS$ ผ่านจุด $G$ และขนานกับด้าน $DE$ ไปตัด $BC$ และ $AC$ ที่ $P$ และ $S$
ลากส่วนของเส้นตรง $RU$ ผ่านจุด $G$ และขนานกับด้าน $FE$ ไปตัด $AC$ และ $AB$ ที่ $R$ และ $U$
ลากส่วนของเส้นตรง $QT$ ผ่านจุด $G$ และขนานกับด้าน $FD$ ไปตัด $BC$ และ $AB$ ที่ $Q$ และ $T$
ต่อส่วนของเส้นตรง $QR$ และ $UP$ ไปตัดกันที่ $X$ ต่อส่วนของเส้นตรง $QR$ และ $ST$ ไปตัดกันที่ $Y$ และต่อส่วนของเส้นตรง $PU$ และ $ST$ ไปตัดกันที่ $Z$
จงแสดงว่า $\triangle DEF$ คล้ายกับ $\triangle XYZ$ $\qquad$ (13 คะแนน)

2. ให้ $T$ เป็นจุดศูนย์กลางของ Taylor circle จงแสดงว่า $$AT^2 - h_a^2 = BT^2 - h_b^2 = CT^2 - h_c^2$$ เมื่อ $h_a,h_b$ และ $h_c$ เป็นความสูงของ $\triangle ABC$ ที่ลากจากจุด $A,B$ และ $C$ ตามลำดับ $\qquad$ (12 คะแนน)

*บทนิยาม
ให้ $D,E$ และ $F$ เป็นจุดปลายส่วนสูงของ $\triangle ABC$ ที่อยู่ตรงข้ามจุด $A,B$ และ $C$
จาก $D$ ลาก $DP$ และ $DQ$ ไปตั้งฉากกับด้าน $AB$ และ $AC$ ที่ $P$ และ $Q$ ตามลำดับ
จาก $E$ ลาก $ER$ และ $ES$ ไปตั้งฉากกับด้าน $BC$ และ $AB$ ที่ $R$ และ $S$ ตามลำดับ
จาก $F$ ลาก $FT'$ และ $FU$ ไปตั้งฉากกับด้าน $AC$ และ $BC$ ที่ $T'$ และ $U$ ตามลำดับ
จะได้ว่า $P,Q,R,S,T'$ และ $U$ อยู่บนวงกลมเดียวกัน เรียกว่า "Taylor Circle"

Inequality

http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=22403

1. กำหนดให้ $a,b$ และ $c$ เป็นด้านของรูปสามเหลี่ยม ให้ $s = \displaystyle{\frac{a+b+c}{2}}$ และ $n\geqslant1$ จงแสดงว่า $$\displaystyle{\frac{a^n}{b+c} + \frac{b^n}{c+a} + \frac{c^n}{a+b} \geqslant \left(\frac{2}{3}\right)^{n-2}s^{n-1}}$$ (13 คะแนน)

2. ให้ $0<x_1 \leqslant x_2 \leqslant \ldots \leqslant x_{2558}$ และ $\displaystyle{\frac{1}{1+x_1} + \frac{1}{1+x_2} +\cdots+ \frac{1}{1+x_{2558}} = 1}$ จงแสดงว่า $$\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+\cdots+\sqrt{x_{2558}} \geqslant 2557\displaystyle{\left(\frac{1}{\sqrt{x_1}} + \frac{1}{\sqrt{x_2}} +\cdots+ \frac{1}{\sqrt{x_{2558}}}\right)}$$ (12 คะแนน)

Functional

http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=22404

3. จงหา $f:\mathbb{R} \rightarrow\mathbb{R} $ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับอสมการ $$\displaystyle{\frac{f(xy)}{2} + \frac{f(xz)}{2} - f(x)f(yz) \geqslant \frac{1}{4}}$$ สำหรับทุก $x,y,z\in\mathbb{R} $ $\qquad$ (12 คะแนน)

4. กำหนดให้ $f:\mathbb{R} \rightarrow\mathbb{R} $ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม (strictly increasing) จงหาฟังก์ชันทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน $$f(x) + f^{-1}(x) = 2x$$ (13 คะแนน)

Number Theory

1. จงหา $QR_{15} , QR_{16} , QR_{17}$

2. กำหนด $ord(Z_n^*) = \{ord_n(x) | x \in Z_n^*\}$ จงหา $ord(Z_{15}^*) , ord(Z_{16}^*) , ord(Z_{17}^*)$

3. จงหาจำนวนเต็ม $n$ ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องกับ
$\quad 1.\ 2 \leqslant n \leqslant 30$
$\quad 2.\ ord_n(x) < \phi(n)$ ทุก $x \in Z_n^*$

4. จงหาค่าของ $\displaystyle{\left(\frac{5!}{17}\right) , \left(\frac{12!}{13}\right) , \left(\frac{2}{17}\right) , \left(\frac{2}{41}\right)}$

5. สำหรับจำนวนเฉพาะ $p \geqslant 17$ จงพิสูจน์ว่า
$\quad 1. ถ้า \displaystyle{\left(\frac{a}{p}\right)} = 1$ แล้ว $ord_p(a) < p-1$
$\quad 2.$ มี $a \in Z_p^*$ ซึ่ง $ \displaystyle{\left(\frac{a}{p}\right)} = -1$ และ $ord_p(a) < p-1$

6. ให้ $X = \{53,59,61,67,71,73,79,83,89,97\}$
$\quad$ ให้ $P = \{p | p \in X , ord_p(2) = p-1\}$
$\quad$ ให้ $Q = \{p | p \in X , \displaystyle{\left(\frac{2}{p}\right)} = -1\}$
จงหา $|P| , |Q|$

Combinatorics

1. จงหา $O_{15}$
ปล. $O_n = \{|\sigma | \,|\, \sigma \in S_n\}$

2. จำไม่ได้ครับ

3.1 จงหา $\alpha ,\beta \in S_4$ ซึ่ง $|\alpha | = |\beta | = 2$ และ $|\alpha \beta | = 4$
3.2 จงหา $\alpha ,\beta \in S_{10}$ ซึ่ง $|\alpha | = |\beta | = 2$ และ $|\alpha \beta | = 10$

4. จำไม่ได้ครับ

5. ให้ $X_n = \{\sigma | \sigma ^2(i) = i$ ทุก $i=1,2,\ldots ,n \}$ จงหาสูตรของ $|X_n|$

6. จงหา $\sigma ,\beta \in S_8$ ที่สอดคล้องกับ $|\sigma | = |\beta | = 4 , \sigma ^2 = \beta ^2$ และ $\beta ^{-1}\sigma\beta = \sigma ^{-1}$

22 เมษายน 2015 13:53 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 8 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กขฃคฅฆง
เหตุผล: รูปไม่ชัด
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 22 เมษายน 2015, 11:43
gon's Avatar
gon gon ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎขั้นสูง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 มีนาคม 2001
ข้อความ: 4,605
gon is on a distinguished road
Default

มีโจทย์แบบชัด ๆ หรือเปล่าครับ เพ่งแล้วเสียสายตามาก.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 22 เมษายน 2015, 13:46
กขฃคฅฆง's Avatar
กขฃคฅฆง กขฃคฅฆง ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 เมษายน 2015
ข้อความ: 419
กขฃคฅฆง is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon View Post
มีโจทย์แบบชัด ๆ หรือเปล่าครับ เพ่งแล้วเสียสายตามาก.
พิมพ์โจทย์ให้แล้วนะครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 22 เมษายน 2015, 16:37
polsk133's Avatar
polsk133 polsk133 ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 14 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 1,873
polsk133 is on a distinguished road
Default

ขอบคุณมากครับ
ปล. คอมบิอ่านโจทย์ไม่รู้เรื่องเลย คือไรไม่รู้5555
__________________
เพจรวมโจทย์คอมบินาทอริกที่น่าสนใจ
https://www.facebook.com/combilegends
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 22 เมษายน 2015, 17:09
กขฃคฅฆง's Avatar
กขฃคฅฆง กขฃคฅฆง ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 เมษายน 2015
ข้อความ: 419
กขฃคฅฆง is on a distinguished road
Default

เป็นเรื่องใหม่ครับ เรียนตอนแรกก็งงๆ แต่พอเข้าใจแล้วเป็นเรื่องที่ง่ายสุดในค่าย3เลยครับ
__________________
เหนือฟ้ายังมีอวกาศ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #6  
Old 22 เมษายน 2015, 17:15
gon's Avatar
gon gon ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎขั้นสูง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 มีนาคม 2001
ข้อความ: 4,605
gon is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กขฃคฅฆง View Post
พิมพ์โจทย์ให้แล้วนะครับ
เยี่ยมครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #7  
Old 02 พฤษภาคม 2015, 16:19
Pitchayut Pitchayut ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 20 มกราคม 2015
ข้อความ: 352
Pitchayut is on a distinguished road
Default

NT ผมทำได้แต่ข้อ 4 ที่เหลือไม่รู้ว่ามันคืออะไร

4. เพราะว่า $5!=120\equiv 1 \mod 17$ และ $1^2 \equiv 1 \mod 17$ ดังนั้น $\left(\dfrac{5!}{17}\right)=1$

เพราะว่า $12! \equiv -1 \mod 13$ (โดย wilson theorem) และ $5^2 \equiv -1 \mod 13$ ดังนั้น $\left(\dfrac{12!}{13}\right)=1$

เพราะว่า $11^2 \equiv 2 \mod 17$ ดังนั้น $\left(\dfrac{2}{17}\right)=1$

เพราะว่า $17^2 \equiv 2 \mod 41$ ดังนั้น $\left(\dfrac{2}{41}\right)=1$
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


หัวข้อคล้ายคลึงกัน
หัวข้อ ผู้ตั้งหัวข้อ ห้อง คำตอบ ข้อความล่าสุด
สพฐ 2558 รอบ 1 butare ข้อสอบในโรงเรียน ประถมปลาย 20 18 มกราคม 2016 22:43
ท่านใดมีข้อสอบ สพฐ 2558 ช่วยลงหน่อยคะ naam ปัญหาคณิตศาสตร์ ประถมปลาย 2 03 ธันวาคม 2015 21:06
ประกาศผล สพฐ2558. ม.ต้น รอบ 1 เขต สพม. 1 PoomVios45 ข่าวคราวแวดวง ม.ต้น 4 05 กุมภาพันธ์ 2015 15:34
ข้อสอบ สพฐ. 2558 รอบที่ 1 (เขต) gon ข้อสอบในโรงเรียน ม.ต้น 31 05 กุมภาพันธ์ 2015 05:07
สพฐ. 2558 รอบเขตพื้นที่ คณิตสระบุรี ข้อสอบในโรงเรียน ประถมปลาย 3 26 มกราคม 2015 19:13

เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 04:20


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha